Richiami di teoria dei circuiti per l'elettronica

Il corso è il seguito di Teoria dei Circuitiil corso del primo semestre del secondo anno: leggi di Kirchhoff, Thévenin, regime sinusoidale: tutte le reti degli amplificatori si risolvono con quegli strumenti. Questa nota non rifà la teoria (per quella vedi Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →, Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →) ma raccoglie quello che serve di più in elettronica e gli errori che all'esame costano punti.

Unità di misura: scrivere le equazioni in forma simbolica

In ogni equazione si guardano le unità. $V=R\cdot I$ significa $[\mathrm V]=[\Omega][\mathrm A]$. Se $R=2\ \mathrm{k\Omega}$ e $I=3\ \mathrm{mA}$, il prodotto è $2\cdot3=6$ con unità $\mathrm{k\Omega\cdot mA}=10^3\,\Omega\cdot10^{-3}\,\mathrm A=\mathrm V$: la combinazione kΩ per mA dà direttamente volt, ed è per questo che nei circuiti elettronici si lavora quasi sempre in kΩ e mA (e $\mathrm{k\Omega\cdot\mu A}=\mathrm{mV}$, $\mathrm{V/k\Omega}=\mathrm{mA}$).

Regola dell'esame: le equazioni risolutive si scrivono con i simboli e i numeri si sostituiscono solo nell'ultimo passaggio. Scrivere $V=R\cdot1$ al posto di $V=R\cdot I$ con $I=1\ \mathrm A$ rende il controllo dimensionale impossibile. Si possono sostituire in anticipo solo i numeri puri (rapporti tra resistenze).

Partitore di tensione e di corrente

• Tensione: due resistenze in serie con la stessa corrente $I$ ai capi di una tensione $V_1$: $V_2=V_1\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$. Vale solo se dal nodo centrale non esce corrente (partitore non caricato). Se il nodo alimenta un altro circuito, quel circuito va tenuto in conto (per esempio con Thévenin, vedi sotto).
• Corrente: $I$ si divide in due resistenze in parallelo: $I_{R_1}=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$, $I_{R_2}=I\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$ (la corrente più grande va nella resistenza più piccola). La resistenza parallelo si scrive $R_1\|R_2=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ e va sempre parentesizzata: $R_1\|R_2+R_3\ne R_1\|(R_2+R_3)$.

Teoremi di Thévenin e di Norton

Una rete lineare vista da due morsetti $A,B$ è equivalente a un generatore di tensione $V_{th}$ in serie a una resistenza $R_{th}$ (Thévenin) oppure a un generatore di corrente $I_N$ in parallelo a $R_N=R_{th}$ (Norton). Si determinano così:

• $V_{th}$ = tensione a vuoto tra $A$ e $B$;
• $I_N$ = corrente di cortocircuito tra $A$ e $B$;
• $R_{th}=V_{th}/I_N$; oppure, se la rete non contiene generatori pilotati, si spengono i generatori indipendenti (generatore di tensione $\to$ cortocircuito, di corrente $\to$ circuito aperto) e si calcola la resistenza equivalente vista da $A,B$.

Misura di una resistenza equivalente (con generatori pilotati). Un generatore pilotato non si spegne mai: il suo valore dipende da una grandezza della rete. Per trovare la resistenza vista da due morsetti, si spengono solo i generatori indipendenti, si applica ai morsetti un generatore di prova $V_m$ (o $I_m$) e si calcola la corrente (o la tensione) che ne risulta: $R=V_m/I_m$. È la procedura usata per tutte le resistenze di ingresso e di uscita degli amplificatori (Amplificatori e modello a doppio bipoloUn amplificatore è una rete lineare con due porte (ingresso e uscita). A seconda che ingresso e uscita siano in tensione o in corrente ci sono quattro modelli (parametri g, z, y, h); il più usato è il modello g dell'amplificatore di tensione: v2 = g21 v1 + g22 i2, i1 = g11 v1 + g12 i2, con Av = g21, Rin = 1/g11, Rout = g22. Un amplificatore unidirezionale ha g12 = 0 e il suo guadagno complessivo è un prodotto di tre fattori: partitore di ingresso, guadagno intrinseco, partitore di uscita.Amplificatori e modello a doppio bipolo →).

Esempio svolto (cascata di due partitori). Rete: $V_1=12\ \mathrm V$ su $R_1=2\ \mathrm{k\Omega}$; $R_2=4\ \mathrm{k\Omega}$ dal nodo centrale a massa; poi $R_3=1\ \mathrm{k\Omega}$ in serie e $R_4=3\ \mathrm{k\Omega}$ a massa. Si vuole la tensione $V_2$ su $R_4$.

1. Si estrae la parte $V_1,R_1,R_2$ e la si sostituisce con il suo equivalente di Thévenin visto dai morsetti ai capi di $R_2$: $V_{th}=V_1\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=12\cdot\dfrac{4}{6}=8\ \mathrm V$ (tensione a vuoto: nessuna corrente in $R_3$), $R_{th}=R_1\|R_2=\dfrac{2\cdot4}{2+4}=1{,}333\ \mathrm{k\Omega}$ (si spegne $V_1$, quindi $R_1$ finisce a massa e risulta in parallelo a $R_2$).
2. Rete semplificata a una sola maglia: $V_{th}$, $R_{th}$, $R_3$, $R_4$ in serie. Partitore: $V_2=V_{th}\dfrac{R_4}{R_{th}+R_3+R_4}=8\cdot\dfrac{3}{1{,}333+1+3}=4{,}5\ \mathrm V$.

(Il metodo è corretto perché Thévenin garantisce che dall'esterno la rete si comporta in modo identico; non dice nulla sulle potenze dentro la rete.)

Sovrapposizione degli effetti

In una rete lineare ogni tensione o corrente è la somma dei contributi dei singoli generatori indipendenti, ognuno calcolato con tutti gli altri spenti. In elettronica serve in due modi:

1. i circuiti dei transistor non sono lineari, ma lo sono separatamente la parte in continua (polarizzazione) e quella di segnale: si risolve prima la rete con i soli generatori continui, poi quella con i soli generatori di segnale (Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnaliUn amplificatore reale è non lineare: la tensione di uscita satura vicino alle alimentazioni e solo in un piccolo intorno di un punto di lavoro Q segue una retta, la tangente alla transcaratteristica. Per questo ogni stadio si studia in due fasi separate: polarizzazione (solo generatori costanti, condensatori aperti) e segnale (generatori costanti spenti, condensatori di accoppiamento e di bypass in corto, transistor sostituito dal modello a piccolo segnale). La sovrapposizione vale solo per le due componenti separate, non per il circuito intero.Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali →);
2. in una rete con più ingressi (per esempio i circuiti con operazionale, Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatoreCon il corto virtuale si ricavano tutti i circuiti di base con opamp: sommatore invertente v_O = −Σ(R/R_k)V_k, differenziale v_O = (R2/R1)(V1−V2) con R1/R2 = R3/R4, integratore v_O = −(1/RC)∫v_S e derivatore v_O = −RC dv_S/dt (in s: −1/(sRC) e −sRC), amplificatore per strumentazione (1+2R/Rg)(R4/R3)(V1−V2). In frequenza basta usare l'impedenza Z(s) al posto di R nelle formule dell'invertente e del non invertente.Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatore →) l'uscita è la somma dei contributi di ogni ingresso.

Con generatori pilotati si usa il teorema di sostituzione: il generatore pilotato si sostituisce con un generatore indipendente di valore incognito $V_{TS}$ (la tensione che avrebbe), si applica la sovrapposizione e poi si impone che $V_{TS}$ valga davvero ciò che il pilotaggio prescrive (Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →).

Regime sinusoidale: i tre risultati da sapere a memoria

Per un segnale $v(t)=V\sin(\omega t+\varphi)$: ampiezza $V$ (distanza dallo zero), valore picco-picco $2V$, valore efficace $V_{rms}=V/\sqrt2$. La potenza media su una resistenza $R$ è $P=V_{rms}^2/R=V^2/(2R)$ (Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →).

1. Potenza di una somma di sinusoidi a pulsazioni diverse. Con $v_R(t)=V_1\sin(\omega_1t)+V_2\cos(\omega_2t)$ e $\omega_1\ne\omega_2$ il termine incrociato $2V_1V_2\sin(\omega_1t)\cos(\omega_2t)$ ha valore medio nullo, quindi i quadrati dei valori efficaci si sommano: $$V_{rms}^2=\frac{V_1^2}{2}+\frac{V_2^2}{2},\qquad P=\frac{V_1^2+V_2^2}{2R}.$$ Esempio: $R=100\ \Omega$, $V_1=6\ \mathrm V$, $V_2=10\ \mathrm V$: $P=\dfrac{36+100}{200}=0{,}68\ \mathrm W$. (Le due pulsazioni devono essere diverse: se fossero uguali bisognerebbe sommare i fasori.)

2. Ampiezza della tensione su un bipolo RC serie. In un serie $R$-$C$ percorso dalla corrente $I$ la tensione su $R$ è in fase con $I$, quella sul condensatore è in ritardo di $90^\circ$ (Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →): le ampiezze non si sommano algebricamente ma in quadratura, $$V_Z=I\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{V_R^2+V_C^2}.$$ Esempi: $I=0{,}2\ \mathrm A$, $R=100\ \Omega$, $|Z_C|=100\ \Omega$: $V=0{,}2\cdot\sqrt{100^2+100^2}=28{,}28\ \mathrm V$ (e non $0{,}2\cdot200=40\ \mathrm V$). Se la tensione su $R$ ha ampiezza $5{,}6\ \mathrm V$ e quella sul condensatore $19{,}2\ \mathrm V$: $V_Z=\sqrt{5{,}6^2+19{,}2^2}=20\ \mathrm V$.

3. Valore medio ed efficace di un'onda. Il valore medio è l'area per periodo; il valore efficace è la radice del valor medio del quadrato. Per $v=V_0+V_1\sin\omega t$: $V_{rms}=\sqrt{V_0^2+V_1^2/2}$ (la parte continua e la parte alternata si sommano nei quadrati). Per un'onda quadra che vale $10\ \mathrm V$ per metà periodo e $0$ per l'altra metà: media $5\ \mathrm V$, $V_{rms}^2=\frac12\cdot10^2=50$, cioè $7{,}07\ \mathrm V$; su $R=100\ \Omega$: $P=50/100=0{,}5\ \mathrm W$ (la potenza si calcola sempre con $V_{rms}^2/R$, mai con il valore medio al quadrato).

Verifica numerica (script Python): i valori $0{,}68\ \mathrm W$, $28{,}28\ \mathrm V$, $20\ \mathrm V$, $4{,}5\ \mathrm V$ e $0{,}5\ \mathrm W$ sono stati controllati calcolando le formule e, per la potenza, mediando numericamente $v^2(t)/R$ su un periodo.

Errori comuni

• Usare il partitore di tensione quando il nodo centrale è caricato.
• Spegnere un generatore pilotato.
• Sommare le ampiezze di $V_R$ e $V_C$ invece di sommarle in quadratura.
• Calcolare la potenza di un'onda come $V_{medio}^2/R$.
• Sommare i valori efficaci invece dei loro quadrati quando le pulsazioni sono diverse.
• Sostituire numeri senza unità durante i passaggi.