Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massa

Il silicio e le sue bande

Il silicio ha quattro elettroni di valenza e nel cristallo ogni atomo forma quattro legami covalenti con i vicini. A temperatura vicina allo zero assoluto tutti gli elettroni sono impegnati nei legami: il materiale è isolante. A temperatura ambiente l'agitazione termica spezza alcuni legami: un elettrone diventa libero (si muove nel reticolo) e lascia un legame mancante, la lacunaposto libero lasciato da un elettrone in un legame: si comporta come una carica positiva che si muove nel cristallo, che si comporta come una carica $+q$ libera di muoversi (un elettrone vicino occupa la lacuna e ne lascia un'altra più in là).

In termini di energia, i livelli discreti dell'atomo isolato ($E_n=-13{,}6/n^2\ \mathrm{eV}$ per l'idrogeno) si allargano nel cristallo in bande: la banda di valenza (elettroni nei legami) e la banda di conduzione (elettroni liberi), separate da una banda proibita di larghezza $E_G$. Per il silicio $E_G=1{,}12\ \mathrm{eV}$. Una coppia elettrone-lacuna si crea quando un elettrone riceve almeno $E_G$ di energia termica e passa dalla valenza alla conduzione; si perde quando un elettrone libero si ricombina con una lacuna.

Semiconduttore intrinseco

Nel silicio puro, a ogni elettrone libero corrisponde una lacuna: $n=p=n_i$. La concentrazione intrinseca a $300\ \mathrm K$ è $n_i\approx1{,}5\cdot10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (contro circa $5\cdot10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}}$ atomi): un legame ogni $3\cdot10^{12}$ è spezzato. Dipende molto dalla temperatura: $$n_i^2=B\,T^3\,e^{-E_G/(kT)}\quad\Longrightarrow\quad\frac{n_i^2(T_2)}{n_i^2(T_1)}=\Big(\frac{T_2}{T_1}\Big)^3e^{-\frac{E_G}{k}\left(\frac1{T_2}-\frac1{T_1}\right)}.$$ Con $k=8{,}62\cdot10^{-5}\ \mathrm{eV/K}$ e il silicio: da $300\ \mathrm K$ a $450\ \mathrm K$ il rapporto $n_i^2$ è circa $6\cdot10^6$ e quindi $n_i$ cresce di un fattore circa $2{,}5\cdot10^3$ (con un aumento di $150\ ^\circ\mathrm C$ i portatori intrinseci salgono di tre ordini di grandezza e diventano confrontabili con un drogaggio debole: è il limite termico di funzionamento dei dispositivi, oltre il quale il semiconduttore perde le proprietà del drogaggio). Il grafico mostra $\log_{10}n_i$ tra $250$ e $450\ \mathrm K$ (valori calcolati con la formula del rapporto a partire da $n_i=1{,}5\cdot10^{10}$ a $300\ \mathrm K$: $1{,}5\cdot10^8$ a $250\ \mathrm K$, $4{,}2\cdot10^{11}$ a $350\ \mathrm K$, $3{,}8\cdot10^{13}$ a $450\ \mathrm K$).

Drogaggio

Si introducono nel cristallo atomi diversi, in quantità controllata:

• donatori ($N_D$ per $\mathrm{cm^3}$): atomi pentavalenti (fosforo, arsenico, azoto, ...) hanno cinque elettroni di valenza: quattro formano legami, il quinto è poco legato e a temperatura ambiente è libero. L'atomo resta uno ione fisso positivo $+q$. Si ottiene un semiconduttore di tipo n: elettroni = portatori maggioritari, lacune = minoritari.
• accettori ($N_A$): atomi trivalenti (boro, alluminio, gallio, indio) hanno solo tre elettroni di valenza e lasciano un legame incompleto: un elettrone vicino lo riempie e crea una lacuna libera. L'atomo diventa uno ione fisso negativo $-q$. Si ottiene il tipo p: lacune maggioritarie.

I drogaggi tipici ($10^{14}$–$10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$) sono piccoli rispetto agli atomi del reticolo ma molto grandi rispetto a $n_i$.

Legge di azione di massa e neutralità

In equilibrio termodinamico, a temperatura $T$, $$\boxed{n\cdot p=n_i^2}$$ (generazione e ricombinazione si bilanciano: più elettroni, meno lacune). Inoltre il cristallo è neutro: la carica positiva (lacune $p$ più donatori ionizzati $N_D$) uguaglia quella negativa (elettroni $n$ più accettori ionizzati $N_A$): $$p+N_D=n+N_A.$$ Sostituendo $p=n_i^2/n$ si ottiene $n^2-(N_D-N_A)\,n-n_i^2=0$, con soluzione positiva $$n=\frac{N_D-N_A}2+\sqrt{\Big(\frac{N_D-N_A}2\Big)^2+n_i^2},\qquad p=\frac{n_i^2}{n}.$$

Casi utili (quando il drogaggio netto è molto maggiore di $n_i$):

• tipo n ($N_D\gg N_A$ e $N_D\gg n_i$): $n\simeq N_D$, $p\simeq n_i^2/N_D$;
• tipo p ($N_A\gg N_D$): $p\simeq N_A$, $n\simeq n_i^2/N_A$;
• drogaggi compensati ($N_D$ e $N_A$ confrontabili): gli accettori catturano $N_A$ degli elettroni donati e restano liberi $n\simeq N_D-N_A$ elettroni (se $N_D>N_A$);
• drogaggio $\ll n_i$: il materiale si comporta come intrinseco.

Esempi numerici (con $n_i=1{,}5\cdot10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$; controllati con la formula esatta):

• $N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$: $n=10^{16}$ e $p=\dfrac{(1{,}5\cdot10^{10})^2}{10^{16}}=2{,}25\cdot10^4\ \mathrm{cm^{-3}}$: le lacune sono dodici ordini di grandezza meno degli elettroni.
• $N_D=2\cdot10^{15}$ e $N_A=8\cdot10^{13}$ (tipo n compensato): $n\simeq N_D-N_A=1{,}92\cdot10^{15}$, $p=1{,}2\cdot10^5$.
• $N_D=0{,}2\cdot10^{15}$ e $N_A=8\cdot10^{13}$: $n\simeq1{,}2\cdot10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (ancora molto maggiore di $n_i$).
• $N_D=10^{14}$ e $N_A=9{,}9\cdot10^{13}$: il drogaggio netto è $10^{12}$ ma $n_i$ è $1{,}5\cdot10^{10}$ ($1{,}5\%$): $n=1{,}0002\cdot10^{12}$: ancora valida l'approssimazione.
• $N_D=10^{10}$ (sotto $n_i$): la formula esatta dà $n=2{,}08\cdot10^{10}$, $p=1{,}08\cdot10^{10}$: né tipo n né intrinseco.

Conducibilità

Con elettroni e lacune che si muovono nel campo (Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barrettaNei semiconduttori la corrente ha due cause: il campo elettrico (deriva, J = qpμ_pE + qnμ_nE = σE, con velocità v = μE) e le differenze di concentrazione (diffusione, J_n = qD_n dn/dx, J_p = −qD_p dp/dx). Le due costanti sono legate dalla relazione di Einstein D/μ = V_T = kT/q ≈ 25 mV. Una barretta uniforme di lunghezza L e sezione S ha resistenza R = L/(σS). In un materiale isolato a concentrazione non uniforme la corrente totale è nulla e compare un campo (e una tensione V(X2) − V(X1) = V_T ln[n(X2)/n(X1)]).Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta →) la conducibilità è $\sigma=q\,(p\mu_p+n\mu_n)$. Il silicio intrinseco ($n=p=n_i$, $\mu_n=1300$, $\mu_p=500\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$) ha $\sigma=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}5\cdot10^{10}\cdot1800=4{,}3\cdot10^{-6}\ \mathrm{S/cm}$ (quasi un isolante); con $N_D=10^{18}$ si ha $\sigma=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{18}\cdot1300=208\ \mathrm{S/cm}$: cinque ordini di grandezza in più. Il drogaggio è quindi lo strumento per decidere dove e quanto un semiconduttore conduce. (Per approfondire il meccanismo di conduzione nei metalli vedi Conduzione, legge di Ohm ed effetto JouleNel modello classico gli elettroni accelerano nel campo e vengono frenati dagli urti, raggiungendo una velocità di deriva proporzionale a E: J = σE (legge di Ohm locale, σ = ne²τ/m, resistività ρ = 1/σ). Per un filo R = ρL/Σ e ΔV = Ri. La potenza ceduta al conduttore e dissipata in calore è P = iΔV = Ri² = ΔV²/R (effetto Joule). Resistenze in serie si sommano, in parallelo si sommano gli inversi.Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule →.)

Errori comuni

• Dimenticare che in un materiale drogato $n\neq p$: $p$ non vale $n_i$ ma $n_i^2/n$.
• Usare $N_D$ invece di $N_D-N_A$ quando ci sono entrambi i droganti.
• Applicare $n\simeq N_D$ quando il drogaggio netto non è molto maggiore di $n_i$.
• Dimenticare di usare le unità $\mathrm{cm^{-3}}$ in modo coerente (le mobilità sono date in $\mathrm{cm^2/(V\,s)}$).