Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio

Una volta che ogni misura ha la sua incertezza (Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misuraUna misura non dà il valore vero del misurando (sconosciuto e inconoscibile) ma una stima $\hat x$ con la sua incertezza. Modello $\hat x=x+e_s+e_n(n)$: gli scostamenti sistematici $e_s$ sono costanti e correggibili solo con la taratura, gli scarti casuali $e_n$ hanno media nulla e si riducono ripetendo la misura. Il risultato è $\hat x\pm U(x)$ con unità di misura, $U=k,u$ ($k=2$: 95%, $k=3$: 99%); $U$ ha una cifra significativa (arrotondata per eccesso) e il valore ha lo stesso numero di decimali. L'incertezza utile è circa 1/10 della tolleranza da verificare.Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misura →) si possono fare tre cose utili: decidere se uno strumento è adatto a verificare una tolleranzascostamento massimo ammesso tra valore nominale e valore effettivo, controllare se misure dello stesso misurando fatte con strumenti diversi concordano, e combinarle in un'unica stima migliore. Sono le tre fasi dell'esercitazione di laboratorio sulla misura di resistenza.

Idoneità dello strumento: test uncertainty ratio

Il valore nominalevalore dichiarato del componente, indicato dal codice a colori di un resistore è accompagnato da una tolleranza ($\pm\delta\%$, banda dorata $=5\%$). Il valore effettivo è compreso in $[R_{nom}(1-\delta/100),\ R_{nom}(1+\delta/100)]$: per $150\ \Omega$ al $1\%$ è $[148{,}5;\ 151{,}5]\ \Omega$ (si può leggere $\pm1{,}5\ \Omega$ come $\delta R_{nom}$). Per verificare che il resistore sia dentro la tolleranza l'incertezza dello strumento deve essere molto più piccola della tolleranza. Si definisce il test uncertainty ratiorapporto tra l'incertezza estesa dello strumento e la tolleranza da verificare $$\mathrm{TUR}=\frac{U(R_x)}{\delta\cdot R_{nom}}$$ e si cerca $\mathrm{TUR}\le\frac14$, meglio $\le\frac1{10}$. Per un resistore al $5\%$ questo significa $U(R_x)\le0{,}01\,R_x$. Si calcola $U$ con le formule del manuale usando il valore nominale come lettura e il fondo scalavalore massimo del campo di misura selezionato adatto (Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →).

Esempio (dispensa). Resistore da $10$ k$\Omega$, $5\%$; multimetro a $5\frac12$ cifre, campo $30$ k$\Omega$, due fili, un anno dalla taraturaconfronto con un campione di riferimento e regolazione dello strumento: $U=2\ \Omega$ (vedi nota sul tipo B). Poiché $2\ \Omega<0{,}01\cdot10\,000=100\ \Omega$ lo strumento è idoneo; $\mathrm{TUR}=2/500=0{,}004=1/250$.

Metodo round-robin. Nell'esercitazione di laboratorio un singolo resistore passa da un gruppo all'altro e ognuno lo misura con il proprio multimetro: è il round-robin, il metodo con cui si confrontano strumenti e laboratori diversi sullo stesso campione. Serve a caratterizzare la riproducibilità e a individuare strumenti con taratura sospetta.

Compatibilità

Si misura lo stesso resistore con due strumenti (o due operatori, o due metodi) e si ottengono $x_1\pm U_1$ e $x_2\pm U_2$, con lo stesso fattore di coperturanumero k che lega incertezza estesa e standard $k$. Le misure sono compatibiliche non si contraddicono entro le incertezze: gli intervalli di incertezza estesa si sovrappongono se gli intervalli $[x_1-U_1,\,x_1+U_1]$ e $[x_2-U_2,\,x_2+U_2]$ hanno intersezione non vuota, cioè $$|x_1-x_2|\le U_1+U_2.$$ Se $I_1\cap I_2=\varnothing$ le due misure non sono compatibili: almeno una ha un'incertezza sottostimata o c'è un errore sistematico non corretto (strumento da ritarare, resistore scambiato, errori di collegamento). La riproducibilitàaccordo tra misure dello stesso misurando fatte con strumenti, operatori o condizioni diverse del risultato si controlla proprio così.

(Un criterio più stringente, usato quando si vuole tenere conto che le due stime sono indipendenti, confronta la differenza con $k\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ anziché con $U_1+U_2$; il corso usa la sovrapposizione degli intervalli.)

Media pesata

Se $N$ misure dello stesso misurando sono compatibili (si individua il sottoinsieme più numeroso di valori compatibili tra loro e si scartano i fuori gruppovalori incompatibili con la maggior parte degli altri), la miglior stima non è la media aritmetica, perché le misure più incerte devono contare meno. Si usa la media pesatamedia in cui ogni valore conta in proporzione all'inverso del quadrato della sua incertezza $$\hat x=\sum_{n=1}^Nw_nx_n,\qquad w_n=\frac{1/u^2(x_n)}{\sum_{i=1}^N1/u^2(x_i)},\qquad\sum w_n=1,$$ con incertezza standarddeviazione standard associata alla misura $$\boxed{u(\hat x)=\frac1{\sqrt{\sum_{i=1}^N\dfrac1{u^2(x_i)}}}.}$$

Perché questa formula (dimostrazione per due misure). Si modellano le due misure come gaussiane indipendenti centrate sul valore vero $x$ con deviazioni standard $u_1$, $u_2$. La probabilità congiunta delle due letture è proporzionale a $\exp\!\big[-\tfrac12\big(\frac{(x-x_1)^2}{u_1^2}+\frac{(x-x_2)^2}{u_2^2}\big)\big]$ (stima di massima verosimiglianzacriterio che sceglie il valore del parametro che rende più probabili i dati osservati): è massima dove si minimizza l'esponente. Derivando rispetto a $x$ e ponendo la derivata uguale a zero: $$\frac{x-x_1}{u_1^2}+\frac{x-x_2}{u_2^2}=0\ \Longrightarrow\ \hat x=\frac{x_1/u_1^2+x_2/u_2^2}{1/u_1^2+1/u_2^2}.$$ Applicando la legge di propagazione (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →) a questa combinazione lineare: $u^2(\hat x)=\big(\frac1{u_1^2}+\frac1{u_2^2}\big)^{-1}$.

Due proprietà:

• $u(\hat x)=\dfrac{u_1}{\sqrt{1+(u_1/u_2)^2}}\le u_1$ se $u_1<u_2$: l'incertezza finale è sempre migliore di quella della misura migliore;
• se $u_1\ll u_2$, allora $\hat x\simeq x_1$ e $u(\hat x)\simeq u_1$: una misura molto più incerta non aggiunge praticamente nulla.

Esempio numerico. Tre multimetri danno per lo stesso resistore: $10{,}002\pm0{,}002$, $10{,}005\pm0{,}006$, $10{,}010\pm0{,}008$ k$\Omega$ (tutti con $k=2$). Le differenze ($0{,}003$, $0{,}008$, $0{,}005$) sono minori delle somme delle estese ($0{,}008$, $0{,}010$, $0{,}014$): sono compatibili a due a due. Le incertezze standard sono $0{,}001$, $0{,}003$, $0{,}004$ k$\Omega$, i pesi $1/u^2=10^6;\ 1{,}11\cdot10^5;\ 6{,}25\cdot10^4$ danno $w=(0{,}852;\ 0{,}095;\ 0{,}053)$ e $$\hat x=0{,}852\cdot10{,}002+0{,}095\cdot10{,}005+0{,}053\cdot10{,}010=10{,}0027\ \text{k}\Omega,\quad u=\frac1{\sqrt{1{,}1736\cdot10^6}}=0{,}00092\ \text{k}\Omega.$$ Con $k=2$: $U=0{,}0018\to0{,}002$ k$\Omega$, $\hat R=10{,}003\pm0{,}002$ k$\Omega$. Il valore è praticamente quello dello strumento migliore.

Se una quarta misura desse $10{,}100\pm0{,}004$ k$\Omega$ non sarebbe compatibile con la prima ($|\Delta|=0{,}098>0{,}006$): si indaga su quello strumento invece di mediare.

Quando usare media aritmetica e quando media pesata

• Ripetizioni con lo stesso strumento (tipo A): media aritmetica e $u=s/\sqrt N$.
• Misure con strumenti o metodi diversi e quindi con incertezze diverse: media pesata dopo aver verificato la compatibilità.

Errori comuni

• Confrontare intervalli ottenuti con $k$ diversi o dire "compatibili" solo perché i valori sono "vicini".
• Calcolare la media aritmetica di misure con incertezze molto diverse.
• Mediare misure incompatibili invece di cercare la causa della discrepanza.
• Dimenticare di convertire le $U$ in $u$ prima di calcolare i pesi (anche se con lo stesso $k$ i pesi non cambiano, l'incertezza finale sì).
• Cercare $\mathrm{TUR}$ piccolissimo anche quando la tolleranza è larga: oltre $1/10$ non serve.