Conversione analogico-digitale - campionamento e quantizzazione

Per essere elaborato o visualizzato da uno strumento digitale, un segnale analogico va trasformato in una sequenza di numeri. Il convertitore analogico-digitale (ADC, analog-to-digital converter) compie due operazioni distinte: il campionamentoprelievo del valore del segnale a istanti equispaziati (discretizza il tempo) e la quantizzazioneassegnazione del valore campionato a uno di un numero finito di livelli (discretizza l'ampiezza). Tutte le prestazioni dell'oscilloscopio e del multimetro dipendono da come queste sono realizzate.

Il campionamento

Il segnale $v(t)$ viene prelevato a istanti equispaziati $t_n=nT_s$ con frequenza di campionamentonumero di campioni al secondo $F_s=1/T_s$ (S/s, campioni al secondo). Nell'oscilloscopio l'ADC lavora a $1$-$2{,}5$ GS/s; nelle schede di acquisizione a qualche MS/s (Schede di acquisizione datiUna scheda di acquisizione dati (DAQ) campiona e quantizza segnali di tensione e li salva in un buffer FIFO senza perdere campioni, per un'analisi offline; l'oscilloscopio invece visualizza in tempo reale e ha tempi morti. Blocchi: ingressi con multiplexer, amplificatore a guadagno programmabile (PGA) o per strumentazione, ADC (risoluzione fissa), buffer, uscite DAC per generare segnali di test. Ingressi single-ended (riferiti a massa, $V_{mis}=V_i-V_{GND}$) o differenziali ($V_{mis}=V_+-V_-$, reiezione del modo comune); sorgenti grounded o floating; anello di massa: $V_{HL}=V_x+E_C$. Campionamento simultaneo (un clock per tutti) o sequenziale (sfasamento $\Delta t$ tra canali).Schede di acquisizione dati →).

Il teorema del campionamento (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →) dice che un segnale limitato in banda a $B$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $$F_s\ge2B.$$ Se questa condizione non vale, le componenti sopra $F_s/2$ si ripiegano a frequenze più basse e si confondono con quelle vere: è l'aliasingfalsa componente a bassa frequenza prodotta da un campionamento troppo lento. Esempio: una sinusoide da $1000$ Hz campionata a $1200$ S/s appare come una sinusoide da $|1000-1200|=200$ Hz. Per evitarlo si pone prima dell'ADC un filtro passa-bassofiltro che lascia passare le basse frequenze e blocca le alte anti-aliasing di banda $\le F_s/2$ (Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda →). Negli oscilloscopi la banda analogica è scelta in modo che $F_s$ sia $2$-$5$ volte maggiore di $B$ (per esempio $B=100$ MHz con $F_s=1$ GS/s). Il tempo di campionamento è breve, ma tra un campione e l'altro l'ingresso deve essere congelato: lo fa un circuito di sample-and-holdcircuito che preleva il valore del segnale e lo mantiene costante durante la conversione che mantiene costante il valore mentre la conversione è in corso. Il suo errore è l'incertezza temporale di apertura (aperture jitter).

La quantizzazione

L'ADC assegna a ogni campione uno tra $2^N$ livelli, con $N$ bit di risoluzione. Se il campo di ingresso ha ampiezza $FS$ (fondo scala) il passo di quantizzazionedistanza tra due livelli consecutivi, uguale a LSB, o $\mathrm{LSB}$ (least significant bit), è $$\boxed{\mathrm{LSB}=\frac{FS}{2^N}.}$$ Il valore digitale è un numero intero $k\in\{0,\dots,2^N-1\}$ e rappresenta la tensione al centro dell'intervallo di larghezza LSB. Ogni tensione compresa in quell'intervallo dà lo stesso codice: il campione ha un errore di quantizzazionedifferenza tra il valore vero del campione e il livello assegnato $e$ compreso tra $-\mathrm{LSB}/2$ e $+\mathrm{LSB}/2$. Se il segnale è abbastanza "movimentato" l'errore è una variabile aleatoria uniforme su quell'intervallo e quindi $$\sigma_e^2=\frac{\mathrm{LSB}^2}{12},\qquad u_q=\frac{\mathrm{LSB}}{\sqrt{12}}=\frac{\mathrm{LSB}/2}{\sqrt3}$$ (un caso della formula uniforme $u=a/\sqrt3$ con semiampiezza $a=\mathrm{LSB}/2$, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →).

Rapporto segnale/rumore di quantizzazione. Per una sinusoide che occupa tutto il campo ($V_0=FS/2$, potenza $V_0^2/2=FS^2/8$): $$\mathrm{SNR}_q=\frac{FS^2/8}{\mathrm{LSB}^2/12}=\frac{3}{2}\,2^{2N}\ \Rightarrow\ \mathrm{SNR}_q|_{dB}=6{,}02\,N+1{,}76\ \text{dB}.$$ Ogni bit in più aggiunge $6$ dB:

In pratica il numero di bit effettivi è minore, perché ci sono anche rumore, non linearità ($\mathrm{INL}$, $\mathrm{DNL}$), guadagno e offset.

Risoluzione nell'oscilloscopio. L'ADC è a $8$ bit e il suo campo corrisponde a tutta l'altezza dello schermo, cioè $8$ divisioni: $FS=8\,\Delta V$. Il passo è $\mathrm{LSB}=\dfrac{8\,\Delta V}{2^8}$: $31{,}25$ mV a $1$ V/div, $6{,}25$ mV a $200$ mV/div, $31{,}25\ \mu$V a $1$ mV/div. Quindi:

• si sceglie la scala verticale minima che non satura (più piccolo è $FS$, più fine è il passo);
• per il ripple di $400\ \mu$V su un'alimentazione da $3{,}3$ V: in DC il fondo scala minimo che contiene $3{,}3$ V è $8$ V ($1$ V/div) con $\mathrm{LSB}=31$ mV, cioè $80$ volte il ripple: invisibile. In AC, con $1$ mV/div, $\mathrm{LSB}=31\ \mu$V: il ripple si vede con circa $13$ livelli;
• la quantizzazione per sé dà $u_q=\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$ ($9$ mV a $1$ V/div); nelle misure con i cursori i temi assumono che la lettura abbia incertezza distribuita uniformemente in $\pm\mathrm{LSB}$ (per la collocazione del cursore sul livello), quindi $u=\mathrm{LSB}/\sqrt3=18$ mV (Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →).

Architetture di ADC

Per la forma con cui la parola binaria si riferisce alla tensione: con ingresso unipolare $[0,FS]$ il codice $k$ corrisponde a $k\cdot\mathrm{LSB}$; con ingresso bipolare $[-FS/2,+FS/2]$ si usa il complemento a duemodo di rappresentare numeri binari con segno.

Esempio: quanti bit servono

Si vuole misurare una tensione fino a $10$ V con risoluzione di $1$ mV su un campo $\pm10$ V. Servono $\frac{20\ \text{V}}{1\ \text{mV}}=20\,000$ livelli, cioè $\lceil\log_2(20\,000)\rceil=15$ bit (con $14$ si arriva a $20/16384=1{,}2$ mV). Un ADC a $12$ bit sullo stesso campo ha $\mathrm{LSB}=20/4096=4{,}9$ mV.

Errori comuni

• Confondere la risoluzione (bit, passo LSB) con l'accuratezza (errori di guadagno, offset, rumore): un ADC a molti bit può essere impreciso.
• Calcolare il passo come $FS/(2^N-1)$ o come $FS/N$ invece di $FS/2^N$.
• Usare $\mathrm{LSB}/\sqrt3$ per il solo errore di quantizzazione: è $\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$ (semiampiezza $\mathrm{LSB}/2$); i temi usano la convenzione $\pm\mathrm{LSB}$ solo per la risoluzione dei cursori.
• Pensare che il campionamento sopra $2B$ elimini l'errore di quantizzazione: sono due fenomeni separati.