Esercizio 18dieci misure ripetute di una resistenza (esercizio del corso)

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Teoria usata: Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →, Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misuraUna misura non dà il valore vero del misurando (sconosciuto e inconoscibile) ma una stima $\hat x$ con la sua incertezza. Modello $\hat x=x+e_s+e_n(n)$: gli scostamenti sistematici $e_s$ sono costanti e correggibili solo con la taratura, gli scarti casuali $e_n$ hanno media nulla e si riducono ripetendo la misura. Il risultato è $\hat x\pm U(x)$ con unità di misura, $U=k,u$ ($k=2$: 95%, $k=3$: 99%); $U$ ha una cifra significativa (arrotondata per eccesso) e il valore ha lo stesso numero di decimali. L'incertezza utile è circa 1/10 della tolleranza da verificare.Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misura →, Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratioDue misure dello stesso misurando sono compatibili se, con lo stesso fattore di copertura, i loro intervalli di incertezza si sovrappongono ($|x_1-x_2|\le U_1+U_2$). La miglior stima da più misure compatibili è la media pesata $\hat x=\sum w_nx_n$ con pesi $w_n=\frac{1/u_n^2}{\sum1/u_i^2}$ e incertezza $u=1/\sqrt{\sum1/u_i^2}$, sempre $\le$ della minore tra le $u_n$. Il test uncertainty ratio $\mathrm{TUR}=U/\text{tolleranza}$ misura l'idoneità dello strumento: si cerca $\le1/4$, meglio $1/10$.Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio →.

(A) Intervallo dal costruttore

Con la tolleranza $\delta=1\%$ il valore effettivo del componente è compreso tra $$R_L=R_{nom}\Big(1-\frac\delta{100}\Big)=150\cdot0{,}99=148{,}5\ \Omega,\qquad R_U=R_{nom}\Big(1+\frac\delta{100}\Big)=151{,}5\ \Omega,$$ cioè $R\in[148{,}5;\ 151{,}5]\ \Omega$ ($\pm1{,}5\ \Omega$).

(B) Miglior stima e incertezza di tipo A

Convertendo in ohm i valori: $150{,}2$, $149{,}9$, $149{,}5$, $150{,}1$, $150{,}1$, $149{,}8$, $150{,}1$, $149{,}9$, $150{,}0$, $150{,}0$. La miglior stima è la media campionaria: $$\hat R=\frac1{10}\sum_{n=1}^{10}R_n=\frac{1499{,}6}{10}=149{,}96\ \Omega\simeq150{,}0\ \Omega.$$ Gli scarti dalla media sono $0{,}24;\ -0{,}06;\ -0{,}46;\ 0{,}14;\ 0{,}14;\ -0{,}16;\ 0{,}14;\ -0{,}06;\ 0{,}04;\ 0{,}04$ e la somma dei loro quadrati è $0{,}364\ \Omega^2$. Deviazione standard campionaria e incertezza di tipo A (deviazione standard della media): $$s=\sqrt{\frac{0{,}364}{9}}=0{,}201\ \Omega,\qquad u_A(\hat R)=\frac s{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac1{10\cdot9}\sum(R_n-\hat R)^2}=0{,}0636\ \Omega\ (=6{,}36\cdot10^{-5}\ \text{k}\Omega).$$

(C) Incertezza estesa con $k=2$

$$U(\hat R)=k\,u_A=2\cdot0{,}0636=0{,}127\ \Omega\simeq0{,}13\ \Omega.$$ Il risultato si scrive $R=\hat R\pm U=150{,}00\pm0{,}13\ \Omega$ (con una sola cifra significativa, regola della dispensa: $150{,}0\pm0{,}2\ \Omega$). Due osservazioni: (1) poiché $k$ è assegnato direttamente non si può dire qual è il livello di confidenza dell'intervallo; (2) l'incertezza estesa è circa un ordine di grandezza inferiore alla fascia di tolleranza ($\delta R_{nom}=1{,}5\ \Omega$ contro $0{,}13\ \Omega$): $\mathrm{TUR}=\frac{0{,}13}{1{,}5}=0{,}09\simeq\frac1{10}$, quindi la misura ha senso per verificare la tolleranza (Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratioDue misure dello stesso misurando sono compatibili se, con lo stesso fattore di copertura, i loro intervalli di incertezza si sovrappongono ($|x_1-x_2|\le U_1+U_2$). La miglior stima da più misure compatibili è la media pesata $\hat x=\sum w_nx_n$ con pesi $w_n=\frac{1/u_n^2}{\sum1/u_i^2}$ e incertezza $u=1/\sqrt{\sum1/u_i^2}$, sempre $\le$ della minore tra le $u_n$. Il test uncertainty ratio $\mathrm{TUR}=U/\text{tolleranza}$ misura l'idoneità dello strumento: si cerca $\le1/4$, meglio $1/10$.Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio →).

(D) Intervallo di confidenza al $95\%$

Ora la probabilità è assegnata e il fattore di copertura va letto in tabella di Student, con gradi di libertà $\nu=N-1=9$: $t_{9,95\%}=2{,}26$. (L'esercizio usa la riga "$10$": $2{,}23$, che si ottiene con $\nu=10$; la differenza cambia l'estesa da $0{,}142$ a $0{,}144\ \Omega$.) $$U=t\cdot u_A=2{,}26\cdot0{,}0636=0{,}144\ \Omega\ (\text{con }2{,}23:\ 0{,}142\ \Omega),\qquad R\in[149{,}96-0{,}14;\ 149{,}96+0{,}14]=[149{,}82;\ 150{,}10]\ \Omega\ \ \text{al }95\%.$$ L'incertezza estesa risulta maggiore di quella del punto C ($k=2$): $k=2{,}26>2$, perché con $10$ dati la gaussiana sottostima l'incertezza. Verifica numerica con scipy.stats.t.ppf(0.975, 9), che dà $2{,}262$.

Conclusione. $R=150{,}0\pm0{,}2\ \Omega$ (al $95\%$); il valore è compreso nell'intervallo di tolleranza $[148{,}5;\ 151{,}5]\ \Omega$ anche tenendo conto dell'incertezza: il componente è conforme.

Errori comuni

• Dare $s=0{,}20\ \Omega$ come incertezza della media invece di $s/\sqrt N=0{,}064\ \Omega$.
• Usare $k=2$ al posto di Student quando il testo assegna la probabilità.
• Confrontare la media con il valore nominale "$150$" senza l'incertezza.
• Lasciare i valori in k$\Omega$ e mescolare unità nel risultato finale.