Esercizio 11guadagno e sfasamento di un amplificatore dalle due tracce (tema d'esame luglio 2026)

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Teoria usata: Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Segnali di test e parametri nel dominio del tempoGli strumenti si provano con segnali di test dai parametri noti. Sinusoide $v=V_{DC}+V_0\sin(2\pi f t+\varphi)$: picco $V_0$, picco-picco $V_{pp}=2V_0$, efficace $V_0/\sqrt2$. Onda rettangolare: $V_H$, $V_L$, periodo e duty cycle $d=\tau/T$ (tempi misurati a metà dei fronti, il tempo di salita va dal 10% al 90%). Triangolare e dente di sega: $V_{min}$, $V_{max}$, pendenza $m=(V_{max}-V_{min})/T_R$. Segnali modulati: AM $A_C(1+K_M\cos2\pi f_Mt)\cos2\pi f_Ct$ con $A_C=\frac{V_{pp,max}+V_{pp,min}}4$ e $K_M=\frac{V_{pp,max}-V_{pp,min}}{V_{pp,max}+V_{pp,min}}$; sweep lineare $f(t)=f_{start}+t,\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}$ con segnale di sync.Segnali di test e parametri nel dominio del tempo →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

(1) Schema

Un generatore di funzioni fornisce la sinusoide di test all'ingresso dell'amplificatore (DUT). L'oscilloscopio a due canali misura: CH1 la tensione di ingresso (tra ingresso e massa), CH2 la tensione di uscita (tra uscita e massa). Tutte le masse (generatore, DUT, canali) sono collegate allo stesso nodo. Il trigger si prende dal canale 1, che è il riferimento, e i due canali condividono la stessa base dei tempi: solo così il ritardo tra le due tracce misura lo sfasamento.

(2) Risoluzioni

• Orizzontali: $\Delta x=\dfrac{T_w}{1000}=\dfrac{10\cdot100\ \mu\text{s}}{1000}=1\ \mu$s a $100\ \mu$s/div; $\dfrac{10\cdot50}{1000}=0{,}5\ \mu$s a $50\ \mu$s/div.
• Verticali (grafico di sinistra): $\Delta y=\dfrac{8\,\Delta V}{2^8}$: canale 1, $\frac{8\cdot0{,}2}{256}=6{,}25$ mV; canale 2, $\frac{8\cdot1}{256}=31{,}25$ mV.

(3) Guadagno

Si misura il valore picco-picco della sinusoide: non risente di eventuale offset nelle due tensioni e, posizionando i cursori a mano (o con l'averaging) si tiene conto del rumore, mentre la funzione automatica peak-to-peak includerebbe anche i picchi di rumore. Letture: $$\Delta y_1=5\tfrac13\ \text{div}\cdot200\ \text{mV/div}=1{,}067\ \text{V},\qquad\Delta y_2=7\ \text{div}\cdot1\ \text{V/div}=7\ \text{V}.$$ $$G=\frac{\Delta y_2}{\Delta y_1}=\frac{7}{1{,}067}=6{,}56\quad\Big(20\log_{10}6{,}56=16{,}3\ \text{dB}\Big).$$ Incertezza. Il guadagno è un quoziente: relative in quadratura (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →). Distribuzione uniforme su $\pm$ la risoluzione: $u(\Delta y_1)=\frac{6{,}25}{\sqrt3}=3{,}6$ mV e $u(\Delta y_2)=\frac{31{,}25}{\sqrt3}=18{,}0$ mV: $$\frac{u(G)}G=\sqrt{\Big(\frac{3{,}6\ \text{mV}}{1067\ \text{mV}}\Big)^2+\Big(\frac{18{,}0\ \text{mV}}{7000\ \text{mV}}\Big)^2}=\sqrt{(0{,}34\%)^2+(0{,}26\%)^2}=0{,}43\%.$$ Con $k=2$: $0{,}86\%\simeq1\%$; poiché $u(G)=6{,}56\cdot0{,}43\%=0{,}028$ e $U(G)=0{,}056\to0{,}06$: $G=6{,}56\pm0{,}06$ ($16{,}3$ dB).

(4) Frequenza e sfasamento

Frequenza. È il reciproco del periodo: l'incertezza assoluta del posizionamento è la risoluzione, qualunque sia l'intervallo misurato. Dalla figura di destra (un periodo di circa $6{,}2$ div): $T=6{,}2\cdot50=310\ \mu$s con $\Delta x=0{,}5\ \mu$s; la base dei tempi ($310\ \mu\text{s}\cdot10^{-4}=31$ ns) è trascurabile. Incertezza relativa sul periodo (e sulla frequenza): $\pm\frac{0{,}5}{310}=\pm0{,}16\%$, quindi $f=\frac1{310\ \mu\text{s}}=3226\ \text{Hz}\pm5\ \text{Hz}$. (Dalla figura di sinistra, due periodi $6{,}2$ div $=620\ \mu$s con $\Delta x=1\ \mu$s: stessa precisione.)

Sfasamento. Dal ritardo del canale 2 rispetto al canale 1 tra i punti in cui i due segnali attraversano lo stesso livello di riferimento: circa $4$ div a $50\ \mu$s/div, cioè $\tau_d=200\ \mu$s. Poi $$\varphi=360^\circ\frac{\tau_d}{T}=360^\circ\cdot\frac{200}{310}=232{,}3^\circ\quad(=-127{,}7^\circ).$$ Incertezza dello sfasamento. $\varphi$ è un rapporto di due intervalli misurati ($\tau_d$ e $T$): relative in quadratura. La soluzione ufficiale assume per il periodo $u(T)=\frac{0{,}5\ \mu\text{s}}{\sqrt3}=0{,}29\ \mu$s e per il ritardo la risoluzione $\Delta x=1\ \mu$s, $u(\tau_d)=\frac{1}{\sqrt3}=0{,}58\ \mu$s (la base dei tempi, $31$ ns su $310\ \mu$s, è trascurabile): $$\frac{u(\varphi)}\varphi=\sqrt{\Big(\frac{0{,}29}{310}\Big)^2+\Big(\frac{0{,}58}{200}\Big)^2}=0{,}30\%,\qquad\frac{U(\varphi)}\varphi=0{,}6\%,\quad U(\varphi)=0{,}006\cdot232{,}3^\circ=1{,}4^\circ.$$ Risultato: $\varphi=232{,}3^\circ\pm1{,}4^\circ$, equivalente a un anticipo di $127{,}7^\circ$ (uno sfasamento in ritardo oltre mezzo periodo coincide con un anticipo).

Se il ritardo fosse letto con due cursori alla risoluzione di $0{,}5\ \mu$s, ciascuno con $u=\frac{0{,}5}{\sqrt3}=0{,}29\ \mu$s, si avrebbe $u(\tau_d)=\sqrt2\cdot0{,}29=0{,}41\ \mu$s, $\frac{u(\varphi)}\varphi=0{,}23\%$ e $U(\varphi)=1{,}1^\circ$: stessa conclusione, il termine dominante è sempre l'incertezza sul ritardo (il periodo pesa dieci volte meno).

Errori comuni

• Misurare il guadagno con ampiezze non omogenee (picco-picco con efficace).
• Usare la stessa risoluzione verticale per i due canali: con scale diverse sono diverse ($6{,}25$ e $31{,}25$ mV).
• Misurare il ritardo su un canale e il periodo sull'altro con scale diverse; va fatto con la stessa base dei tempi.
• Dimenticare che uno sfasamento $>180^\circ$ in ritardo è un anticipo.