Esercizio 26distanza con un sensore a ultrasuoni misurata con i cursori (tema d'esame luglio 2020)

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Teoria usata: Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →.

(1) Distanza

L'impulso percorre il tragitto sensore-ostacolo-sensore (andata e ritorno), quindi la distanza vale metà del percorso: $$d=\frac{v\,\Delta t}2=\frac{340\ \text{m/s}\cdot(0{,}340-0)\ \text{s}}2=57{,}8\ \text{m},\qquad\Delta t=t_2-t_1.$$ (Il testo non dice esplicitamente "andata e ritorno": ma l'eco è l'onda riflessa dall'ostacolo, quindi il tempo misurato corrisponde a un percorso doppio.)

(2) Formula dell'incertezza

La distanza è un prodotto (e un quoziente per $2$), quindi relative in quadratura; il fattore $\frac12$ è esatto e si semplifica: $$\frac{u(d)}d=\sqrt{\Big(\frac{u(v)}v\Big)^2+\Big(\frac{u(\Delta t)}{\Delta t}\Big)^2}\quad\Longrightarrow\quad u(d)=d\sqrt{\Big(\frac{u(v)}v\Big)^2+\Big(\frac{u(\Delta t)}{\Delta t}\Big)^2}.$$

(3) Incertezza della velocità del suono

Tolleranza $\pm10$ m/s: limite certo, distribuzione uniforme: $$u(v)=\frac{10}{\sqrt3}=5{,}77\ \text{m/s},\qquad\frac{u(v)}v=\frac{5{,}77}{340}=1{,}70\%.$$

(4) Incertezza della durata

La finestra è $T_w=10\cdot100\ \text{ms}=1$ s, divisa in $1000$ pixel: ogni pixel dura $\Delta x=\frac{1\ \text{s}}{1000}=1$ ms, e questa è la risoluzione dei cursori. Ogni cursore ha $u(t)=\frac{1\ \text{ms}}{\sqrt3}=0{,}577$ ms; $\Delta t=t_2-t_1$ è una differenza, quindi $$u(\Delta t)=\sqrt{u^2(t_1)+u^2(t_2)}=\sqrt2\cdot0{,}577\ \text{ms}=0{,}816\ \text{ms},\qquad\frac{u(\Delta t)}{\Delta t}=\frac{0{,}816}{340}=0{,}24\%.$$ (La base dei tempi non è data: si trascura.)

(5) Incertezza della distanza e contributo dominante

$$\frac{u(d)}d=\sqrt{(1{,}70\%)^2+(0{,}24\%)^2}=1{,}71\%,\qquad u(d)=57{,}8\ \text{m}\cdot0{,}0171=0{,}99\ \text{m}.$$ Con $k=2$: $U(d)=2{,}0$ m, quindi $d=58\pm2$ m. Il contributo che incide di più è la velocità del suono ($1{,}70\%$ contro $0{,}24\%$ del tempo): la misura con i cursori è molto più precisa della conoscenza di $v$ (che dipende dalla temperatura dell'aria: circa $0{,}6$ m/s per $^\circ$C). Per migliorare bisogna misurare la temperatura e correggere $v$, non cambiare la scala dell'oscilloscopio.

Errori comuni

• Dimenticare che il tempo di volo è di andata e ritorno ($d=v\Delta t/2$).
• Dimenticare il $\sqrt2$ della differenza di due cursori.
• Usare $U=10$ m/s come incertezza standard senza il $\sqrt3$ (in assenza di $k$ è un limite certo).
• Sommare in modulo i due contributi relativi.