Esercizio 3dente di sega, valore efficace e multimetro true-RMS (tema d'esame febbraio 2023)

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Teoria usata: Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →, Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursoriL'oscilloscopio digitale (DSO) acquisisce e visualizza tensioni in funzione del tempo: ingresso (impedenza, accoppiamento), ADC a 8 bit, memoria di acquisizione, memoria grafica, display di $10$ divisioni orizzontali e $8$ verticali. Finestra visualizzata $T_w=10,\Delta T_h$ (s/div); fondo scala verticale $FS=8,\Delta V$ (V/div). Scelta della scala: $\Delta T_h\ge T_w^{min}/10$ (per $n$ periodi, $T_w\ge nT$), $\Delta V\ge2\max(|V_{min}|,|V_{max}|)/8$ con offset nullo ($\ge V_{pp}/8$ in AC), sempre al valore 1-2-5 immediatamente superiore. Risoluzione dei cursori: orizzontale $\Delta x=T_w/1000$, verticale $\Delta y=FS/2^8$.Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursori →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →.

(1) Scala verticale

Con offset nullo il campo è $\pm FS/2$ e deve contenere il valore di modulo massimo, $|V_{max}|=0{,}45$ V (il minimo $-0{,}15$ V è più piccolo in modulo): $$8\,\Delta V\ge2\cdot0{,}45\ \text{V}=0{,}9\ \text{V}\ \Rightarrow\ \Delta V\ge112{,}5\ \text{mV/div}\ \Rightarrow\ \boxed{200\ \text{mV/div}}\quad(\text{schermo}\ \pm0{,}8\ \text{V}).$$

(2) Traccia

Pendenza $m=\dfrac{V_{max}-V_{min}}T=\dfrac{0{,}6}{0{,}15}=4$ V/s. Il trigger a $0$ V con pendenza positiva è nel punto in cui la rampa sale attraverso lo zero. Da $V_{min}=-0{,}15$ V a $0$ V servono $\frac{0{,}15}4=37{,}5$ ms; da $0$ V a $V_{max}$, $\frac{0{,}45}4=112{,}5$ ms. Quindi, con $t=0$ al trigger: la rampa è partita da $-0{,}15$ V a $t=-37{,}5$ ms (fronte negativo a $-37{,}5$ ms), sale fino a $0{,}45$ V a $t=+112{,}5$ ms, poi il fronte negativo riporta a $-0{,}15$ V e la rampa ricomincia, attraversando di nuovo lo zero a $t=150$ ms.

Con $20$ ms/div e $0$ s alla terza divisione da sinistra, la finestra va da $-60$ ms a $+140$ ms. I fronti negativi attraversano $0$ V a $-37{,}5$ ms e a $+112{,}5$ ms.

(3) Valore efficace del segnale

Il quesito chiede il valore efficace del segnale (comprensivo della continua): si calcola $V_{rms,DC}$ (Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →). Su un periodo, $v(t)=mt+V_{min}$ con $m=\frac{V_{max}-V_{min}}T$: $$V_{rms}^2=\frac1T\int_0^T(mt+V_{min})^2dt=\frac{m^2T^2}3+mTV_{min}+V_{min}^2,$$ e con $mT=V_{max}-V_{min}$: $$V_{rms}^2=\frac{(V_{max}-V_{min})^2}3+V_{min}(V_{max}-V_{min})+V_{min}^2=\frac{V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2}3.$$ Numericamente $$V_{rms}=\sqrt{\frac{0{,}45^2+0{,}45\cdot(-0{,}15)+0{,}15^2}3}=\sqrt{\frac{0{,}2025-0{,}0675+0{,}0225}3}=\sqrt{0{,}0525}=229\ \text{mV}.$$ (Verifica numerica su un periodo campionato: $0{,}22913$ V.)

(4) Lettura del multimetro e fondo scala

Un true-RMS in modalità AC indica il valore efficace della sola componente alternata (il caso più comune: filtro passa-alto in ingresso). Il valor medio è $V_{DC}=\frac{V_{max}+V_{min}}2=150$ mV, quindi $$V_{rms,AC}=\sqrt{V_{rms}^2-V_{DC}^2}=\sqrt{0{,}0525-0{,}0225}=\sqrt{0{,}03}=\frac{V_{max}-V_{min}}{2\sqrt3}=173\ \text{mV}.$$ Se invece il multimetro è accoppiato in continua (AC+DC) legge $229$ mV; la soluzione ufficiale accetta entrambe le risposte purché motivate. In ogni caso il campo da scegliere (tra quelli dell'estratto del manuale) è $1$ V, il più piccolo che contiene la misura.

(5) Incertezza estesa

La frequenza fondamentale è $f_0=\frac1T=6{,}67$ Hz: la riga da usare è $5$-$10$ Hz, colonna "2 anni", coefficienti $0{,}38\%$ della lettura e $0{,}03\%$ del fondo scala: $$U(V_{rms,AC})=\frac{0{,}38}{100}\cdot173\ \text{mV}+\frac{0{,}03}{100}\cdot1\ \text{V}=0{,}66+0{,}30=0{,}96\ \text{mV},$$ $$U(V_{rms})=\frac{0{,}38}{100}\cdot229\ \text{mV}+0{,}30\ \text{mV}=1{,}17\ \text{mV}\ \simeq1{,}2\ \text{mV}\quad(\text{se in AC+DC; la soluzione ufficiale riporta questo valore}).$$ Risultato: $V_{rms,AC}=173\pm1$ mV (oppure $229\pm2$ mV in AC+DC).

Errori comuni

• Scegliere $\Delta V\ge\max|V|/8$ dimenticando il fattore $2$ del campo simmetrico ($\pm FS/2$).
• Disegnare la rampa che parte da $-0{,}15$ V al trigger: al trigger la rampa è a $0$ V.
• Usare per il manuale la riga di frequenza di $T=150$ ms letta come $150$ Hz.
• Confondere RMS-AC e RMS-DC ($173$ contro $229$ mV).