Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopio

Nel dominio del tempo un segnale è descritto da forma, ampiezza e durate. Nel dominio della frequenza lo stesso segnale è descritto dalle componenti sinusoidali che lo compongono: la loro ampiezza in funzione della frequenza è lo spettroinsieme delle componenti in frequenza del segnale, con la loro ampiezza e fase. Per i segnali di test della nota Segnali di test e parametri nel dominio del tempoGli strumenti si provano con segnali di test dai parametri noti. Sinusoide $v=V_{DC}+V_0\sin(2\pi f t+\varphi)$: picco $V_0$, picco-picco $V_{pp}=2V_0$, efficace $V_0/\sqrt2$. Onda rettangolare: $V_H$, $V_L$, periodo e duty cycle $d=\tau/T$ (tempi misurati a metà dei fronti, il tempo di salita va dal 10% al 90%). Triangolare e dente di sega: $V_{min}$, $V_{max}$, pendenza $m=(V_{max}-V_{min})/T_R$. Segnali modulati: AM $A_C(1+K_M\cos2\pi f_Mt)\cos2\pi f_Ct$ con $A_C=\frac{V_{pp,max}+V_{pp,min}}4$ e $K_M=\frac{V_{pp,max}-V_{pp,min}}{V_{pp,max}+V_{pp,min}}$; sweep lineare $f(t)=f_{start}+t,\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}$ con segnale di sync.Segnali di test e parametri nel dominio del tempo → lo spettro è semplice da prevedere, ed è quello che l'oscilloscopio mostra con la funzione FFT (domanda frequente: "disegnare qualitativamente lo spettro del segnale").

Righe spettrali di un segnale periodico

Un segnale periodico di periodo $T$ ha una serie di Fouriersviluppo di un segnale periodico come somma di sinusoidi a frequenze multiple di 1/T (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →) e quindi uno spettro a righe alle frequenze $$f_k=k\,f_0,\qquad f_0=\frac1T,\quad k=0,1,2,\dots$$ La riga $k=0$ è il valore medio (componente continuavalore medio del segnale, spesso non mostrata); la riga $k=1$ è la fondamentalecomponente alla frequenza f_0; le altre sono le armonichecomponenti alle frequenze multiple intere della fondamentale. Ogni riga ha un'ampiezza $c_k$ che dipende dalla forma d'onda (Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →).

Onda rettangolare e duty cycle

Per un'onda rettangolare tra $0$ e $A$ con durata dell'impulso $\tau$ e duty cycle $d=\tau/T$: $$\overline v=A\,d,\qquad \text{ampiezza della riga }k:\ \ 2A\,d\,\Big|\mathrm{sinc}(kd)\Big|=\frac{2A}{\pi k}\,\big|\sin(\pi kd)\big|,\qquad \mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}.$$ Il fattore $|\sin x/x|$ è la funzione sinctrasformata di Fourier di un rettangolo: oscilla smorzandosi come 1/x, con zeri negli interi e fa da inviluppocurva che racchiude le ampiezze delle righe e ne descrive l'andamento delle righe: si annulla alle frequenze $f=\frac1\tau,\frac2\tau,\dots$. Da questa formula si leggono le caratteristiche distintive che chiede il tema d'esame:

• le righe sono a distanza $f_0=1/T$ (periodo $120\ \mu$s $\Rightarrow$ $f_0=8{,}33$ kHz);
• l'ampiezza decresce circa come $1/k$ (in prima approssimazione "inversamente proporzionale all'ordine");
• il primo zero dell'inviluppo è a $1/\tau$ ($\tau=32\ \mu$s $\Rightarrow$ $31{,}25$ kHz, tra la terza e la quarta armonica);
• con $d=50\%$ ($\sin(\pi k/2)=0$ per $k$ pari) le armoniche pari sono nulle; con $d\ne50\%$ compaiono anche quelle pari, e lo spettro non è più simmetrico come i due semiperiodi.

Numeri per $T=120\ \mu$s, $\tau=32\ \mu$s ($d=26{,}7\%$, impulso $A=1$ V), verificati con una FFT:

Il segnale della prova del gennaio 2026 (impulsi di $58\ \mu$s ogni $192\ \mu$s, $d=30{,}2\%$) ha $f_0=5{,}21$ kHz e primo zero a $17{,}2$ kHz.

Altre forme d'onda

Una forma d'onda con fronti più lenti ha meno contenuto ad alta frequenza: il tempo di salita $T_r$ limita lo spettro oltre $f\approx 0{,}35/T_r$ (Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →).

Una sinusoide distorta ha righe a $f_1$ e alle armoniche con ampiezze $V_n$: dal rapporto si ricava la distorsione armonica totale (THD, Segnali di test e parametri nel dominio del tempoGli strumenti si provano con segnali di test dai parametri noti. Sinusoide $v=V_{DC}+V_0\sin(2\pi f t+\varphi)$: picco $V_0$, picco-picco $V_{pp}=2V_0$, efficace $V_0/\sqrt2$. Onda rettangolare: $V_H$, $V_L$, periodo e duty cycle $d=\tau/T$ (tempi misurati a metà dei fronti, il tempo di salita va dal 10% al 90%). Triangolare e dente di sega: $V_{min}$, $V_{max}$, pendenza $m=(V_{max}-V_{min})/T_R$. Segnali modulati: AM $A_C(1+K_M\cos2\pi f_Mt)\cos2\pi f_Ct$ con $A_C=\frac{V_{pp,max}+V_{pp,min}}4$ e $K_M=\frac{V_{pp,max}-V_{pp,min}}{V_{pp,max}+V_{pp,min}}$; sweep lineare $f(t)=f_{start}+t,\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}$ con segnale di sync.Segnali di test e parametri nel dominio del tempo →). Un segnale AM $A_C(1+K_M\cos2\pi f_Mt)\cos2\pi f_Ct$ ha tre righe: portante $A_C$ a $f_C$ e due righe laterali di ampiezza $A_CK_M/2$ a $f_C\pm f_M$ (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →).

La FFT dell'oscilloscopio

L'oscilloscopio calcola la trasformata di Fourier discretacalcolo numerico dello spettro a partire da un numero finito di campioni, di solito con l'algoritmo FFT dei campioni della finestra visualizzata (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →, FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →). Tre grandezze governano il risultato.

Risoluzione in frequenza. Se la finestra dura $T_w=10\cdot\Delta T_h$ (10 divisioni orizzontali con $\Delta T_h$ s/div), le righe della FFT sono distanziate di $$\boxed{\Delta f=\frac1{T_w}.}$$ Con $50\ \mu$s/div si ha $T_w=500\ \mu$s e $\Delta f=2$ kHz; con $500\ \mu$s/div, $T_w=5$ ms e $\Delta f=200$ Hz. Per migliorare la risoluzione bisogna aumentare la durata dell'osservazione, cioè la scala dei tempi (secondi per divisione): non basta avere più campioni nella stessa finestra. Con $\Delta f=2$ kHz e una fondamentale di $8{,}33$ kHz ci sono solo $4$ righe tra $0$ e $f_0$; la riga $8{,}33$ kHz cade tra due righe della FFT.

Frequenza massima. Con frequenza di campionamentonumero di campioni al secondo prelevati dal convertitore A/D $f_s$ si può rappresentare fino a $f_s/2$ (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →); lo strumento limita comunque lo spettro con la banda analogica (per esempio $100$ MHz).

Zero-padding. Aggiungere zeri ai campioni infittisce le righe nel grafico ma non migliora la risoluzione: dà un'interpolazione dello stesso spettro (la risoluzione dipende solo da $T_w$).

Dispersione spettrale e campionamento coerente

Se nella finestra non entra un numero intero di periodi, la FFT "vede" un segnale con una discontinuità tra l'ultimo e il primo campione: l'energia delle righe si spande sui contenitori vicini (dispersione spettraleallargamento delle righe dovuto a una finestra che non contiene un numero intero di periodi, in inglese leakage) e l'ampiezza letta sul picco è sbagliata. Rimedi:

• campionamento coerentescelta di frequenza e finestra per cui in N campioni entra un numero intero di periodi: scegliere la finestra in modo da contenere $M$ periodi interi, $N f_0=Mf_s$; con $N=1000$ campioni, $f_s=1$ MHz e $M=7$ periodi si ha $f_0=7$ kHz esatti;
• usare una finestra di ponderazionefunzione che attenua i campioni ai bordi della finestra per ridurre la dispersione, per esempio la finestra di Hann (Hann, Hamming...), che riduce la dispersione al prezzo di allargare le righe e di cambiare la scala delle ampiezze.

Con acquisizione coerente l'ampiezza di una riga si ricava da $2|X[k]|/N$ (per una sinusoide di picco $V_0$ si legge $V_0$).

Esempio in Python

import numpy as np
fs = 1e9                      # frequenza di campionamento: 1 GS/s
t = np.arange(0, 12 * 120e-6, 1 / fs)
v = ((t % 120e-6) < 32e-6).astype(float)     # impulsi di 32 us ogni 120 us
X = np.fft.rfft(v) / len(v)
f = np.fft.rfftfreq(len(v), 1 / fs)
for k in range(1, 5):
    i = np.argmin(abs(f - k / 120e-6))
    print(k, f[i], 2 * abs(X[i]))   # k, frequenza, ampiezza della riga

Il risultato ($0{,}473$, $0{,}317$, $0{,}125$, $0{,}033$ V) coincide con la tabella ricavata dalla formula, perché in $12$ periodi interi la FFT è coerente.

Errori comuni

• Dire che si migliora la risoluzione in frequenzadistanza minima tra due righe che la FFT riesce a distinguere usando più punti nella stessa finestra o zero-padding: dipende solo dalla durata $T_w$.
• Dimenticare che per $d\ne50\%$ compaiono le armoniche pari.
• Confondere la distanza tra le righe del segnale ($f_0=1/T$) con la risoluzione della FFT ($1/T_w$).
• Leggere l'ampiezza di una riga da una FFT non coerente senza finestra: il valore sul picco è sottostimato.