Esercizio 21corrente media di un microcontrollore con lo shunt (tema d'esame luglio 2021)

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Teoria usata: Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →.

Parte 1: shunt da $12\ \Omega$

A. $I=f(V_s,R_s)=\dfrac{V_s}{R_s}$, quindi $$\hat I=\frac{100\ \text{mV}}{12\ \Omega}=8{,}3\ \text{mA}.$$ Derivate: $\frac{\partial I}{\partial V_s}=\frac1{R_s}$ e $\frac{\partial I}{\partial R_s}=-\frac{V_s}{R_s^2}=-\frac I{R_s}$; in forma relativa $$u(I)=I\sqrt{\Big(\frac{u(V_s)}{V_s}\Big)^2+\Big(\frac{u(R_s)}{R_s}\Big)^2}.$$ $u(V_s)=100\ \mu$V è dato. Per $R_s$ si usa il metodo B: $R_s\in12(1\pm0{,}1)=[10{,}8;\ 13{,}2]\ \Omega$, distribuzione uniforme con semiampiezza $1{,}2\ \Omega$: $$u(R_s)=\frac{1{,}2}{\sqrt3}=0{,}693\ \Omega\simeq0{,}7\ \Omega.$$ $$u(I)=8{,}3\ \text{mA}\sqrt{(10^{-3})^2+(0{,}7/12)^2}=8{,}3\ \text{mA}\cdot0{,}058=0{,}48\ \text{mA}\simeq0{,}5\ \text{mA}.$$

B. $\frac{u(V_s)}{V_s}=\frac{100\ \mu\text{V}}{100\ \text{mV}}=0{,}1\%$ e $\frac{u(R_s)}{R_s}=\frac{0{,}693}{12}=5{,}8\%$. Entrambi pesano con lo stesso coefficiente ma incide molto di più la resistenza (cinquantotto volte): $\frac{u(I)}I\simeq\frac{u(R_s)}{R_s}$. Per migliorare bisogna ridurre $u(R_s)$: scegliere un resistore con tolleranza minore, o misurare prima lo shunt con un multimetro.

Parte 2: corrente media di un microcontrollore

1. Corrente di sleep. $V_{sleep}=I_{sleep}R_{shunt}=1\ \mu\text{A}\cdot10\ \Omega=10\ \mu$V. Per misurarla si sceglie la scala minima, $1$ mV/div ($FS=8$ mV): $U(V)=2{,}5\%\cdot8\ \text{mV}=200\ \mu$V. Incertezza relativa (con $k=2$ per semplicità): $$\varepsilon=\frac{U/2}{V_{sleep}}=\frac{100\ \mu\text{V}}{10\ \mu\text{V}}=1000\%.$$ Non è possibile ottenere meno del $30\%$ con l'oscilloscopio: l'incertezza standard ($100\ \mu$V) è dieci volte il segnale ($10\ \mu$V) già alla scala più sensibile.

2. Scala orizzontale. Un ciclo dura $T_{cycle}=T_{active}+T_{sleep}=201{,}2$ ms; si vuole $10\,\Delta T_h>T_{cycle}$: $$\Delta T_h>20{,}12\ \text{ms/div}\ \Rightarrow\ \boxed{50\ \text{ms/div}}\quad(T_w=500\ \text{ms}).$$

3. Corrente media. Il segnale sullo shunt è un'onda rettangolare con duty cycle molto basso, $d=\frac{T_{active}}{T_{cycle}}=\frac{1{,}2}{201{,}2}=0{,}00596$. La corrente media è la media pesata delle due fasi, con $I_{active}=\frac{200\ \text{mV}}{10\ \Omega}=20$ mA: $$I_c=d\,I_{active}+(1-d)I_{sleep}=0{,}00596\cdot20\ \text{mA}+0{,}99404\cdot1\ \mu\text{A}=119{,}3\ \mu\text{A}+1{,}0\ \mu\text{A}\simeq120\ \mu\text{A}.$$

4. Quale strumento per ogni termine.

• $R_{shunt}$: è dato con tolleranza alta (serie economica): si misura prima con un multimetro.
• $T_{active}$ e $T_{sleep}$: si misurano bene con l'oscilloscopio; per la fase attiva si usa una scala più veloce (per esempio $200\ \mu$s/div).
• $V_{active}=200$ mV: si misura con l'oscilloscopio (per esempio a $50$ mV/div).
• $V_{sleep}$: non con l'oscilloscopio (punto 1). Si può usare un multimetro sincronizzato e con tempo di integrazione minore del tempo di sleep (il multimetro dà un valore efficace, ma per una fase costante coincide con il valore), funzioni avanzate dell'oscilloscopio (media, high resolution, integrale), o strumenti dedicati ai sistemi a microcontrollore con campo di corrente adattabile.

5. Incertezza della corrente media. Si convertono le incertezze estese in standard ($k=2$): $u(R)=\frac{0{,}5}2=0{,}25\ \Omega$, $u(V_{active})=\frac{10}2=5$ mV, $u(I_{sleep})=\frac{50}2=25$ nA. Prima $I_{active}=\frac{V_{active}}{R_{shunt}}=20$ mA: $$u(I_{active})=I_{active}\sqrt{\Big(\frac{0{,}25}{10}\Big)^2+\Big(\frac5{200}\Big)^2}=20\ \text{mA}\cdot0{,}0354=0{,}71\ \text{mA}.$$ Poi $I_c=d\,I_{active}+(1-d)I_{sleep}$ con $\frac{\partial I_c}{\partial I_{active}}=d$ e $\frac{\partial I_c}{\partial I_{sleep}}=1-d$ (tempi senza incertezza): $$u(I_c)=\sqrt{d^2u^2(I_{active})+(1-d)^2u^2(I_{sleep})}=\sqrt{(0{,}00596\cdot0{,}71\ \text{mA})^2+(0{,}994\cdot25\ \text{nA})^2}=\sqrt{(4{,}2\ \mu\text{A})^2+(0{,}025\ \mu\text{A})^2}=4{,}2\ \mu\text{A}.$$ Il contributo della corrente di sleep ($0{,}025\ \mu$A) è trascurabile rispetto a quello della fase attiva ($4{,}2\ \mu$A): a $I_c=120\ \mu\text{A}$ l'incertezza è $3{,}5\%$ ($U=8{,}4\ \mu$A con $k=2$). Si ottiene $I_c=120\pm9\ \mu$A.

Nota sulla soluzione ufficiale. Il testo ufficiale usa $I_{active}=100$ mA nel prodotto e ottiene $u(I_{active})=2{,}5$ mA e $u(I_c)=15\ \mu$A; ma con $R=10\ \Omega$ e $V=200$ mV la corrente attiva vale $20$ mA ($I_c=120\ \mu$A è calcolato proprio con $20$ mA), quindi i valori coerenti sono $0{,}71$ mA e $4{,}2\ \mu$A. La conclusione sul contributo dominante non cambia.

Errori comuni

• Misurare con l'oscilloscopio una caduta di $10\ \mu$V: l'incertezza è dieci volte il valore.
• Calcolare la corrente media come media aritmetica $\frac{I_{active}+I_{sleep}}2$ invece che pesata con il duty cycle.
• Combinare incertezze estese ($\pm10$ mV, $\pm0{,}5\ \Omega$) senza passare a quelle standard.
• Trattare lo shunt come esatto: la tolleranza del $10\%$ domina.