Esercizio 22potenza su un resistore e burden voltage (tema d'esame settembre 2021)

---

Teoria usata: Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →.

(1) Fondo scala

La misura è di corrente continua (DC amps). Si sceglie il più piccolo campo che contiene $3{,}010$ A; nella soluzione ufficiale è il campo da $6$ A (risoluzione $1$ mA, quindi le cifre significative sono $x{,}xxx$ A).

(2) Incertezza estesa

La specifica ha la forma "% lettura $+$ counts": il contributo dipende sia dal valore letto sia dalla risoluzione dello strumento ($1$ count = valore dell'ultima cifra, $0{,}001$ A). Nel campo scelto: $1{,}0\%$ della lettura più $3$ counts: $$U(I)=\frac{1{,}0}{100}\cdot3{,}010+3\cdot0{,}001=0{,}0301+0{,}0030=0{,}0331\ \text{A}.$$

(3) Potenza

$$P=R\,I^2=12\cdot3{,}010^2=108{,}7\ \text{W}.$$

(4) Incertezza della potenza

$P=RI^2$ è funzione di $R$ e $I$ (indipendenti): $\frac{\partial P}{\partial R}=I^2=\frac PR$, $\frac{\partial P}{\partial I}=2RI=\frac{2P}I$; in forma relativa $$u(P)=P\sqrt{\Big(\frac{u(R)}R\Big)^2+\Big(2\frac{u(I)}I\Big)^2}.$$ Le due incertezze estese si trattano come limiti di una distribuzione uniforme ($u=U/\sqrt3$, come suggerito dal testo):

• corrente: $u(I)=\frac{0{,}0331}{\sqrt3}=0{,}0191$ A, relativa $\frac{0{,}0191}{3{,}010}=0{,}635\%$;
• resistenza: $U(R)=10\%\cdot12=1{,}2\ \Omega$, $u(R)=\frac{1{,}2}{\sqrt3}=0{,}693\ \Omega$, relativa $\frac{0{,}693}{12}=5{,}77\%$.

$$\frac{u(P)}P=\sqrt{(5{,}77\%)^2+(2\cdot0{,}635\%)^2}=\sqrt{0{,}00333+0{,}00016}=5{,}9\%,\qquad u(P)=108{,}7\cdot0{,}0591=6{,}4\ \text{W}.$$ Nota sulla soluzione ufficiale. La soluzione scrive $u(P)=108{,}7\sqrt{0{,}0575^2+4\cdot0{,}0063^2}=0{,}3766$ W: il risultato dimentica la radice (il valore $0{,}3766=108{,}7\cdot0{,}003465$ è il radicando). Con la radice si ha $6{,}4$ W, cioè il $5{,}9\%$, e questo è coerente con il fatto che il carico ha una tolleranza del $10\%$. Con $k=2$: $U(P)=13$ W e $P=109\pm13$ W.

Quale contributo prevale. Quello dovuto alla tolleranza della resistenza ($5{,}8\%$) rispetto a quello della corrente ($2\cdot0{,}63=1{,}3\%$): la potenza è limitata dalla conoscenza di $R$, non dall'amperometro.

Come migliorare. (a) Misurare prima la resistenza con un multimetro a quattro fili (incertezza dell'ordine di $0{,}1\%$ o meno): l'incertezza di $P$ scenderebbe a $\sqrt{0{,}1^2+1{,}27^2}\%=1{,}3\%$, dominata dalla corrente; (b) calcolare la potenza come $P=V\cdot I$, misurando anche la tensione ai capi del carico (senza usare $R$); (c) ridurre il peso della corrente con un campo più piccolo, se la misura lo consente (qui $3{,}010$ A sul campo $6$ A è già ottimale).

(5) Burden voltage

Il burden voltage è la caduta di tensione che l'amperometro produce ai propri capi quando è inserito in serie nel circuito: $V_b=R_AI$, con $R_A$ resistenza interna dello strumento (di fatto lo shunt interno, Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →). Per stimare la tensione sul carico con $V_L=R\cdot I$ non occorre correggere: la corrente misurata è proprio quella che attraversa il carico, con lo strumento già inserito (ed è la stessa corrente in tutto il ramo in serie). Il burden voltage conta invece per sapere quanto la tensione disponibile al carico è diminuita rispetto al circuito senza strumento: se la sorgente è $E$, il carico vede $E-V_b$ e non $E$.

Errori comuni

• Calcolare $u(P)$ senza radice finale (sommare i quadrati e non estrarre la radice).
• Dimenticare il fattore $2$ della corrente nella potenza ($P\propto I^2$).
• Usare $U(I)$ come incertezza standard senza dividere per $\sqrt3$ (o per $k$, se dichiarato).
• Usare $U=1\%\cdot FS$ dimenticando che la specifica è sulla lettura più counts.