Esercizio 19misure volt-amperometriche ripetute con un valore anomalo (tema d'esame luglio 2023)

Teoria usata: Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →, Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

(1) Procedura

Per ogni prova si calcola il valore della resistenza, $$R_n=\frac{V_n}{I_n},\qquad n=1,\dots,10,$$ e si trattano i dieci valori $R_n$ come osservazioni ripetute dello stesso misurando (le prove sono indipendenti, in condizioni di ripetibilità). La miglior stima è la media campionaria $\hat R=\frac1N\sum R_n$. L'incertezza è di tipo A, perché ricavata con metodi statistici da misure ripetute: la dispersione è la varianza campionaria $s^2(R)=\frac1{N-1}\sum(R_n-\hat R)^2$; la media è una combinazione lineare di $N$ variabili aleatorie indipendenti, con varianza $s^2/N$, quindi $$u_A(\hat R)=\frac{s(R)}{\sqrt N}=\sqrt{\frac1{N(N-1)}\sum_{n=1}^N(R_n-\hat R)^2},\qquad U_A(\hat R)=k\,u_A(\hat R).$$

(2) Miglior stima

Con $V$ in volt e $I$ in milliampere, $R_n=V_n/I_n$ è in kiloohm: $$R_n=9{,}990;\ 9{,}979;\ 9{,}989;\ 10{,}000;\ \mathbf{13{,}704};\ 10{,}000;\ 10{,}000;\ 10{,}000;\ 10{,}000;\ 10{,}010\ \text{k}\Omega.$$ $$\hat R=\frac1{10}\sum R_n=10{,}367\ \text{k}\Omega.$$ Nove valori su dieci sono vicinissimi a $10{,}00$ k$\Omega$; il quinto, $\frac{14{,}80}{1{,}08}=13{,}70$ k$\Omega$, è molto lontano (la tensione sale a $14{,}8$ V mentre la corrente cresce solo a $1{,}08$ mA: lettura anomala di tensione).

(3) Incertezza estesa

Scarti dalla media; deviazione standard campionaria $s=1{,}172$ k$\Omega$ (dominata dal quinto valore, $\Delta=3{,}34$ k$\Omega$): $$u_A=\frac{1{,}172}{\sqrt{10}}=0{,}371\ \text{k}\Omega,\qquad U=2\cdot0{,}371=0{,}741\ \text{k}\Omega\to0{,}8\ \text{k}\Omega.$$ Risultato dichiarato: $R=10{,}4\pm0{,}8\ \text{k}\Omega$ (con $k=2$). Con Student al $95\%$ ($\nu=9$, $k=2{,}26$): $U=0{,}84\ \text{k}\Omega$.

Commento: il valore anomalo. L'incertezza di circa il $7\%$ non descrive la qualità della misura vera: è dovuta quasi tutta a un singolo dato. Se il quinto punto è un errore di lettura (accertato, ad esempio, da un controllo sperimentale, non per il solo fatto che sia lontano) e si scarta, la media dei nove restanti è $$\hat R'=9{,}996\ \text{k}\Omega,\quad s'=0{,}0089\ \text{k}\Omega,\quad u_A'=\frac{0{,}0089}{\sqrt9}=0{,}0030\ \text{k}\Omega,\quad U'=2u_A'=0{,}006\ \text{k}\Omega:\ \ R=9{,}996\pm0{,}006\ \text{k}\Omega.$$ Il valore anomalo sposta la stima di $0{,}37$ k$\Omega$ e moltiplica l'incertezza per $125$. Va però indicato nella relazione di misura il criterio con cui è stato scartato (non è lecito scartare un dato solo perché peggiora l'incertezza).

Verifica con Python.

import numpy as np
V = np.array([9.89, 9.58, 9.39, 11.30, 14.80, 10.20, 9.40, 9.60, 9.90, 10.41])
I = np.array([0.99, 0.96, 0.94, 1.13, 1.08, 1.02, 0.94, 0.96, 0.99, 1.04])  # mA
R = V / I                                   # kohm
print(R.mean(), R.std(ddof=1) / np.sqrt(len(R)))        # 10.367 e 0.371
R2 = np.delete(R, 4)
print(R2.mean(), R2.std(ddof=1) / np.sqrt(len(R2)))     # 9.996 e 0.003

Errori comuni

• Calcolare la media di $V$ e la media di $I$ e poi il rapporto: è un'altra stima ($\bar V/\bar I=10{,}40$ k$\Omega$ qui, anch'esso trascinato dal valore anomalo) con proprietà diverse; il testo chiede il rapporto per ogni prova.
• Dividere per $N$ invece che per $N-1$ in $s$, o dimenticare $\sqrt N$ per l'incertezza della media.
• Scartare il dato anomalo senza giustificarlo, o non accorgersi che domina l'incertezza.
• Dire che l'incertezza è di tipo B: non c'è alcuna informazione a priori, solo misure ripetute.