Esercizio 27ripple di un convertitore DC-DC con oscilloscopio e multimetro (tema d'esame febbraio 2024)

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Teoria usata: Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →, Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →, Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →.

(1) Base dei tempi

$T_w=10\,\Delta T_h\ge2T=80\ \mu$s $\Rightarrow\Delta T_h\ge8\ \mu$s/div, e il valore immediatamente superiore è $10\ \mu$s/div ($T_w=100\ \mu$s, $2{,}5$ periodi).

(2) Impostazione verticale

La componente continua ($3{,}3$ V) è circa ottomila volte più grande del ripple ($0{,}4$ mV): con accoppiamento DC servirebbe un campo di almeno $\pm3{,}3$ V e il ripple sarebbe invisibile ($31$ mV per livello). Si usa quindi l'accoppiamento AC, che elimina $V_0$ (la frequenza $25$ kHz è molto maggiore della frequenza di taglio del filtro passa-alto, circa $8$ Hz: nessuna attenuazione). Offset $0$ V. Il segnale oscilla di $\pm200\ \mu$V: $8\,\Delta V\ge400\ \mu\text{V}\Rightarrow\Delta V\ge50\ \mu$V/div: il minimo impostabile è $1$ mV/div, quindi $1$ mV/div ($FS=8$ mV). Questa scala non è adatta a visualizzare bene una forma d'onda di $0{,}4$ mV (occupa $0{,}4$ divisioni, un passo del convertitore è $\frac{8\ \text{mV}}{256}=31\ \mu$V, circa $13$ livelli): l'oscilloscopio senza sonde amplificate non è lo strumento ottimale per questo ripple.

(3) Incertezza dei cursori

La formula del manuale dà l'incertezza estesa: $$U(V_{pp})=2{,}0\%\,FS+0{,}5\%\,FS=\frac{2{,}5}{100}\cdot8\ \text{mV}=0{,}2\ \text{mV}=200\ \mu\text{V},\qquad u=\frac U2=100\ \mu\text{V}.$$ L'incertezza estesa è la metà della grandezza da misurare ($200$ contro $400\ \mu$V, relativa $50\%$): a conferma che il DSO non è adatto a questa misura.

(4) Valore efficace e impostazione del DMM

Un true-RMS in AC dà l'RMS-AC. Per la triangolare con $V_{pp}=2V_p$ ($V_p=200\ \mu$V): $$V_{rms,AC}=\sqrt{\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\Big(\frac{2V_p}Tt\Big)^2dt}=\frac{V_p}{\sqrt3}=\frac{V_{pp}}{2\sqrt3}=\frac{400\ \mu\text{V}}{3{,}464}=115{,}5\ \mu\text{V}.$$ Impostazione: tensione alternata (true-RMS AC voltage), campo $100$ mV (il più piccolo, tra quelli del manuale, che contiene $0{,}12$ mV: il campo $100$ mV è il minimo disponibile).

(5) Confronto e scelta

La frequenza del segnale è $f=\frac1T=25$ kHz: riga $20$-$50$ kHz, $0{,}16\%$ della lettura più $0{,}05\%$ del fondo scala: $$U(V_{rms,AC})=\frac{0{,}16}{100}\cdot115\ \mu\text{V}+\frac{0{,}05}{100}\cdot100\ \text{mV}=0{,}18\ \mu\text{V}+50\ \mu\text{V}=50\ \mu\text{V}.$$ Per confrontarlo con il DSO si ricava il valore efficace dall'ampiezza con i cursori e se ne propaga l'incertezza: $V_{rms}=\frac{V_{pp}}{2\sqrt3}$, coefficiente $\frac1{2\sqrt3}$: $$U(V_{rms,DSO})=\frac{U(V_{pp})}{2\sqrt3}=\frac{200\ \mu\text{V}}{3{,}464}=58\ \mu\text{V}.$$ I due risultati hanno lo stesso ordine di grandezza ($50$ contro $58\ \mu$V su $115{,}5\ \mu$V, circa $45\%$): entrambi strumenti sono al limite. Differenza qualitativa: il multimetro filtra il rumore sovrapposto e quindi garantisce davvero l'incertezza calcolata; il valore del DSO è calcolato sui campioni e, con segnale rumoroso, risulta fortemente sottostimato (il rumore si somma al ripple). Quindi conviene il multimetro (o, con l'oscilloscopio, una sonda amplificata o un preamplificatore che porti il ripple a un livello grande rispetto al passo del convertitore).

Errori comuni

• Usare accoppiamento DC: il ripple non si vede e la scala minima utile sarebbe $1$ V/div.
• Calcolare il valore efficace come $V_{pp}/(2\sqrt2)$ (formula della sinusoide): per la triangolare è $V_{pp}/(2\sqrt3)$.
• Dimenticare che l'incertezza del DSO dipende dal fondo scala ($8$ mV), non dalla lettura.
• Concludere che il DMM è molto più preciso: qui sono confrontabili ($50$ e $58\ \mu$V), conta soprattutto il rumore.