Formulario - strumentazione elettronica

Le formule che servono per gli esercizi, in ordine di argomento. Notazione: $T_w$ finestra orizzontaledurata dell'intervallo di tempo visualizzato, 10 divisioni per i secondi per divisione, $FS=8\Delta V$ fondo scala verticaleampiezza totale dell'asse verticale, 8 divisioni per i volt per divisione, $u$ incertezza standarddeviazione standard associata alla misura, $U=ku$ estesasemiampiezza dell'intervallo di confidenza, incertezza standard per il fattore di copertura.

Segnali e valore efficace (Segnali di test e parametri nel dominio del tempoGli strumenti si provano con segnali di test dai parametri noti. Sinusoide $v=V_{DC}+V_0\sin(2\pi f t+\varphi)$: picco $V_0$, picco-picco $V_{pp}=2V_0$, efficace $V_0/\sqrt2$. Onda rettangolare: $V_H$, $V_L$, periodo e duty cycle $d=\tau/T$ (tempi misurati a metà dei fronti, il tempo di salita va dal 10% al 90%). Triangolare e dente di sega: $V_{min}$, $V_{max}$, pendenza $m=(V_{max}-V_{min})/T_R$. Segnali modulati: AM $A_C(1+K_M\cos2\pi f_Mt)\cos2\pi f_Ct$ con $A_C=\frac{V_{pp,max}+V_{pp,min}}4$ e $K_M=\frac{V_{pp,max}-V_{pp,min}}{V_{pp,max}+V_{pp,min}}$; sweep lineare $f(t)=f_{start}+t,\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}$ con segnale di sync.Segnali di test e parametri nel dominio del tempo →, Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →)

Incertezza (Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misuraUna misura non dà il valore vero del misurando (sconosciuto e inconoscibile) ma una stima $\hat x$ con la sua incertezza. Modello $\hat x=x+e_s+e_n(n)$: gli scostamenti sistematici $e_s$ sono costanti e correggibili solo con la taratura, gli scarti casuali $e_n$ hanno media nulla e si riducono ripetendo la misura. Il risultato è $\hat x\pm U(x)$ con unità di misura, $U=k,u$ ($k=2$: 95%, $k=3$: 99%); $U$ ha una cifra significativa (arrotondata per eccesso) e il valore ha lo stesso numero di decimali. L'incertezza utile è circa 1/10 della tolleranza da verificare.Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misura →, Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratioDue misure dello stesso misurando sono compatibili se, con lo stesso fattore di copertura, i loro intervalli di incertezza si sovrappongono ($|x_1-x_2|\le U_1+U_2$). La miglior stima da più misure compatibili è la media pesata $\hat x=\sum w_nx_n$ con pesi $w_n=\frac{1/u_n^2}{\sum1/u_i^2}$ e incertezza $u=1/\sqrt{\sum1/u_i^2}$, sempre $\le$ della minore tra le $u_n$. Il test uncertainty ratio $\mathrm{TUR}=U/\text{tolleranza}$ misura l'idoneità dello strumento: si cerca $\le1/4$, meglio $1/10$.Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio →)

Oscilloscopio (Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursoriL'oscilloscopio digitale (DSO) acquisisce e visualizza tensioni in funzione del tempo: ingresso (impedenza, accoppiamento), ADC a 8 bit, memoria di acquisizione, memoria grafica, display di $10$ divisioni orizzontali e $8$ verticali. Finestra visualizzata $T_w=10,\Delta T_h$ (s/div); fondo scala verticale $FS=8,\Delta V$ (V/div). Scelta della scala: $\Delta T_h\ge T_w^{min}/10$ (per $n$ periodi, $T_w\ge nT$), $\Delta V\ge2\max(|V_{min}|,|V_{max}|)/8$ con offset nullo ($\ge V_{pp}/8$ in AC), sempre al valore 1-2-5 immediatamente superiore. Risoluzione dei cursori: orizzontale $\Delta x=T_w/1000$, verticale $\Delta y=FS/2^8$.Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursori →, Trigger e sincronizzazioneIl trigger fa partire l'acquisizione sempre dallo stesso punto di un segnale periodico, per avere una traccia stabile. Si imposta con sorgente, livello, pendenza (fronte di salita o discesa), modo (auto, normal, single), hold-off e posizione ($t=0$ = istante di trigger). Il livello deve cadere dentro l'escursione del segnale, $V_{min}<V_{trig}<V_{max}$ (meglio dove la pendenza è massima); con accoppiamento AC cambia l'escursione. Segnali con più passaggi per il livello in un periodo si risolvono con un livello tra le ampiezze degli impulsi o con un hold-off poco più corto del periodo. Per segnali a bassissima frequenza si disattiva l'auto.Trigger e sincronizzazione →, Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Ciclo di acquisizione, memoria e visualizzazioneIl DSO lavora a cicli $T_{cycle}=T_A+T_B+T_C$: acquisizione $T_A=T_w$ (scelta dall'operatore), ripristino $T_B$ (tempo morto, dipende dall'hardware), attesa dell'evento di trigger $T_C$ (aleatorio). Velocità massima di aggiornamento $1/(T_A+T_B)$, duty cycle $d=T_A/T_{cycle}$. La memoria di acquisizione ha $N$ campioni (acquisizione massima $NT_s$); la memoria grafica ha $N_V=1000$ pixel di durata $\Delta T=T_w/N_V$. Se $\Delta T>T_s$ si decima: modalità uniform, high resolution (media), peak detect (vede i glitch), envelope; se $T_w>NT_s$ si decima già prima di scrivere in memoria; se $\Delta T<T_s$ si interpola.Ciclo di acquisizione, memoria e visualizzazione →, Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →)

Sonda e carico (Sonde passive per oscilloscopioLa sonda passiva è una rete $R_p\parallel C_p$ in serie all'ingresso $R_i\parallel C_i$ dell'oscilloscopio: riduce il carico (impedenza equivalente $R_{eq}=R_i+R_p$, $C_{eq}=C_iC_p/(C_i+C_p)$) e attenua il segnale. Con $V_i/V_s=Z_i/(Z_i+Z_p)$ la condizione di compensazione $R_iC_i=R_pC_p$ rende il rapporto indipendente dalla frequenza: $V_i=\alpha V_s$, $\alpha=\frac{R_i}{R_i+R_p}$ (sonda $\times10$: $\alpha=\frac1{10}$, $R_p=9R_i$, $C_p=C_i/9$). Si verifica con un'onda quadra: Cp troppo grande dà picchi sui fronti, troppo piccola fronti arrotondati. Si moltiplica la lettura per $1/\alpha$ o si imposta il fattore della sonda.Sonde passive per oscilloscopio →)

$R_iC_i=R_pC_p$; $\alpha=\frac{R_i}{R_i+R_p}=\frac1n$; $R_p=(n-1)R_i$, $C_p=\frac{C_i}{n-1}$; $R_{eq}=nR_i$, $C_{eq}=C_i/n$. Sorgente $R_G$ con $C_i$: $f_t=\frac1{2\pi R_GC_i}$.

Multimetro e resistenze (Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →, Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →, Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →)

Conversione, AWG, DAQ (Conversione analogico-digitale - campionamento e quantizzazioneLa conversione A/D campiona il segnale ogni $T_s=1/F_s$ (con $F_s\ge2B$, altrimenti aliasing) e lo quantizza su $2^N$ livelli: passo $\mathrm{LSB}=FS/2^N$, errore di quantizzazione tra $\pm\mathrm{LSB}/2$ (uniforme, $u=\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$), rapporto segnale/rumore di quantizzazione di una sinusoide a fondo scala $6{,}02N+1{,}76$ dB. Nell'oscilloscopio a $8$ bit il fondo scala è $8,\Delta V$: $\Delta y=8,\Delta V/256$ (31,25 mV a 1 V/div). Architetture: flash (veloce, poca risoluzione), approssimazioni successive, doppia rampa (lenta e precisa, nei multimetri), sigma-delta. Il sample-and-hold congela il valore durante la conversione.Conversione analogico-digitale - campionamento e quantizzazione →, Generatori di funzioni e AWGIl generatore di funzioni produce segnali di test (sinusoide, quadra, triangolare, impulsi, modulazioni, sweep) e un segnale di sync; l'uscita ha impedenza $50\ \Omega$ ($V_{carico}=V,R_L/(R_L+50)$). Il generatore di forme d'onda arbitrarie (AWG) è un sintetizzatore digitale: una memoria di $2^M$ campioni a $B$ bit riletta da un indirizzo AR (le $M$ cifre più alte di un registro di fase PR a $L$ bit che a ogni clock aumenta di PIR), un DAC e un filtro di ricostruzione. $f_{out}=\frac{PIR}{2^L}F_s$, $T_{s,eq}=\frac{2^{L-M}}{PIR}T_s$; in memoria va un numero intero di periodi.Generatori di funzioni e AWG →, Schede di acquisizione datiUna scheda di acquisizione dati (DAQ) campiona e quantizza segnali di tensione e li salva in un buffer FIFO senza perdere campioni, per un'analisi offline; l'oscilloscopio invece visualizza in tempo reale e ha tempi morti. Blocchi: ingressi con multiplexer, amplificatore a guadagno programmabile (PGA) o per strumentazione, ADC (risoluzione fissa), buffer, uscite DAC per generare segnali di test. Ingressi single-ended (riferiti a massa, $V_{mis}=V_i-V_{GND}$) o differenziali ($V_{mis}=V_+-V_-$, reiezione del modo comune); sorgenti grounded o floating; anello di massa: $V_{HL}=V_x+E_C$. Campionamento simultaneo (un clock per tutti) o sequenziale (sfasamento $\Delta t$ tra canali).Schede di acquisizione dati →, Misure riferite a massa, differenziali e pseudo-differenzialiL'oscilloscopio misura solo tensioni riferite a massa (le masse di tutti i canali e delle sonde sono lo stesso nodo); il multimetro ha ingressi flottanti, cioè differenziali. Per una tensione tra due nodi entrambi fuori massa con l'oscilloscopio si usa la misura pseudo-differenziale: due canali identici (stessa sonda, scala e accoppiamento DC) e la funzione matematica $V_{AB}=CH1-CH2$. Il limite è il CMRR (rapporto di reiezione di modo comune): con guadagni $G_1\ne G_2$, $v_{out}=\frac{G_1+G_2}2V_d+(G_1-G_2)V_{cm}$ e $\mathrm{CMRR}=\frac{G_1+G_2}{2|G_1-G_2|}$. Un canale matematico non può fare da sorgente di trigger.Misure riferite a massa, differenziali e pseudo-differenziali →)

$F_s\ge2B$; $\mathrm{LSB}=FS/2^N$, $u_q=\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$, $\mathrm{SNR}=6{,}02N+1{,}76$ dB; doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$; AWG $f_{out}=\frac{PIR}{2^L}F_s$, $T_{s,eq}=\frac{2^{L-M}}{PIR}T_s$; $\mathrm{CMRR}=\frac{G_1+G_2}{2|G_1-G_2|}$; anello di massapercorso chiuso tra due masse a potenziali diversi che aggiunge un disturbo di modo comune $V_{HL}=V_x+E_C$; lock-inestrazione di modulo e fase di una sinusoide a frequenza nota moltiplicando per seno e coseno $X=\frac2N\sum v\cos$, $Y=-\frac2N\sum v\sin$.

Come usare le formule

• Prima di sommare incertezze si porta tutto a incertezza standard (si divide l'estesa per il fattore di coperturanumero k che lega incertezza estesa e standard) e solo alla fine si moltiplica per il $k$ voluto.
• Il valore efficaceradice del valore quadratico medio del segnale con la sola parte alternata (RMS-AC) è quello letto da un multimetro in AC; con la continua (RMS-DC) quello di un oscilloscopio con funzione DC RMS su periodi interi.
• Il duty cyclerapporto tra durata dell'impulso e periodo si misura senza includere l'accuratezza della base dei tempi, che si semplifica nel rapporto.
• Per le scale dell'oscilloscopio si sceglie sempre il valore immediatamente superiore nella sequenza 1-2-5; per un evento che si ripete più volte nel periodo serve un livello di trigger tra le ampiezze o un hold-offtempo in cui lo strumento ignora altri eventi di trigger dopo uno valido poco minore del periodo.
• Con un amperometro in serie si tiene conto del burden voltagecaduta di tensione dell'amperometro inserito in serie solo se si vuole la tensione che il carico avrebbe senza strumento.