Esercizio 8rampa, incertezza dei cursori e della pendenza (tema d'esame gennaio 2023)

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Teoria usata: Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursoriL'oscilloscopio digitale (DSO) acquisisce e visualizza tensioni in funzione del tempo: ingresso (impedenza, accoppiamento), ADC a 8 bit, memoria di acquisizione, memoria grafica, display di $10$ divisioni orizzontali e $8$ verticali. Finestra visualizzata $T_w=10,\Delta T_h$ (s/div); fondo scala verticale $FS=8,\Delta V$ (V/div). Scelta della scala: $\Delta T_h\ge T_w^{min}/10$ (per $n$ periodi, $T_w\ge nT$), $\Delta V\ge2\max(|V_{min}|,|V_{max}|)/8$ con offset nullo ($\ge V_{pp}/8$ in AC), sempre al valore 1-2-5 immediatamente superiore. Risoluzione dei cursori: orizzontale $\Delta x=T_w/1000$, verticale $\Delta y=FS/2^8$.Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursori →.

(1) Scala orizzontale

Periodo $T=T_R+T_F=12{,}01$ ms. Serve $T_w=10\,\Delta T_h\ge T\Rightarrow\Delta T_h\ge1{,}2$ ms/div, e il valore immediatamente superiore è $2$ ms/div, con $T_w=20$ ms.

(2) Forma d'onda

Pendenza della salita $m=\dfrac{V_{max}-V_{min}}{T_R}=\dfrac5{12\ \text{ms}}=416{,}7$ V/s. A $t=0$ (trigger a $0$ V, pendenza positiva) la rampa sta salendo e vale $0$ V. Parte da $-2$ V $\dfrac{2}{416{,}7}=4{,}8$ ms prima (fronte negativo a $t=-4{,}8$ ms), arriva a $+3$ V a $t=+7{,}2$ ms ($12$ ms dopo la partenza), poi un fronte negativo quasi verticale ($10\ \mu$s) riporta a $-2$ V e la rampa riparte. Con $t=0$ al centro la finestra è da $-10$ ms a $+10$ ms e con $1$ V/div lo schermo copre $\pm4$ V: a sinistra la rampa precedente vale $0{,}83$ V (a $-10$ ms), a destra la nuova vale $-0{,}84$ V (a $+10$ ms).

(3) Incertezza sulla durata della rampa di salita

Valore atteso della lettura: $T_R=12$ ms; larghezza dello schermo $T_w=20$ ms: $$U(T_R)=50\cdot10^{-6}\cdot12\ \text{ms}+0{,}0016\cdot20\ \text{ms}+200\ \text{ps}=0{,}60\ \mu\text{s}+32\ \mu\text{s}+0{,}0002\ \mu\text{s}=32{,}6\ \mu\text{s}.$$ Incertezza standard $u(T_R)=\frac{U}{k}=16{,}3\ \mu$s, relativa $\frac{16{,}3\ \mu\text{s}}{12\ \text{ms}}=0{,}136\%$. Domina il termine $0{,}0016\,T_w$ (risoluzione dello schermo).

(4) Pendenza della rampa positiva

$m=\frac{\Delta V}{T_R}$ con $\Delta V=5$ V. Si calcola prima l'incertezza di $\Delta V$ (con $1$ V/div, $FS=8$ V, offset $0$): $$U(\Delta V)=3\%\cdot8+(0{,}1\cdot1+2\cdot10^{-3}+0)+0{,}25\%\cdot8=0{,}24+0{,}102+0{,}02=0{,}362\ \text{V},\qquad u(\Delta V)=0{,}181\ \text{V}.$$ Pendenza e propagazione ($m=\Delta V/T_R$ è un quoziente: relative in quadratura): $$\frac{u(m)}m=\sqrt{\Big(\frac{u(\Delta V)}{\Delta V}\Big)^2+\Big(\frac{u(T_R)}{T_R}\Big)^2}=\sqrt{(3{,}62\%)^2+(0{,}136\%)^2}=3{,}62\%,\quad u(m)=15{,}1\ \text{V/s}.$$ Con $k=2$: $U(m)=30$ V/s; $m=417\pm30$ V/s. Bilancio: $3{,}62\%$ dal verticale, $0{,}136\%$ dal tempo: il tempo è trascurabile.

Nota. La soluzione ufficiale riporta $U(\Delta V)=0{,}38$ V e $u(m)=17$ V/s: nella somma usa $0{,}02$ V al posto di $2$ mV. Il valore corretto è $0{,}362$ V e $u(m)=15$ V/s; la conclusione (domina la tensione) non cambia.

(5) Rampa a pendenza negativa

$m_F=-\dfrac{\Delta V}{T_F}=-\dfrac5{10\ \mu\text{s}}=-500$ kV/s. $\Delta V$ è la stessa misura: $u(\Delta V)/\Delta V=3{,}62\%$ resta uguale. Per il tempo (stessa scala $2$ ms/div, $T_w=20$ ms): $$U(T_F)=50\cdot10^{-6}\cdot10\ \mu\text{s}+0{,}0016\cdot20\ \text{ms}+200\ \text{ps}=0{,}0005\ \mu\text{s}+32\ \mu\text{s}=32\ \mu\text{s},\qquad u(T_F)=16\ \mu\text{s}.$$ Relativa: $\frac{u(T_F)}{T_F}=\frac{16}{10}=160\%$. Il contributo del tempo ($160\%$) è enorme rispetto a quello della tensione ($3{,}6\%$): l'incertezza sulla pendenza è $\frac{u(m_F)}{m_F}=\sqrt{3{,}62^2+160^2}\%=160\%$, cioè misura inutile.

Rimedio. Misurare il fronte con una scala adatta: trigger sul fronte di discesa e scala orizzontale che lo mostri, per esempio $\frac{T_F}{10}=1\ \mu$s $\Rightarrow$ $2\ \mu$s/div ($T_w=20\ \mu$s). Allora $U(T_F)=0{,}0005+0{,}0016\cdot20\ \mu\text{s}=0{,}0005+0{,}032\ \mu\text{s}=32{,}7$ ns, $u=16{,}4$ ns, relativa $0{,}16\%$: ora domina la tensione e $\frac{u(m_F)}{m_F}=3{,}62\%$, cioè $u(m_F)=18$ kV/s.

Errori comuni

• Usare la stessa scala orizzontale per entrambi i fronti: nel fronte veloce l'incertezza sull'intervallo vale quanto il fronte.
• Dimenticare che $\frac{u(m)}m$ somma relative in quadratura.
• Sbagliare il $FS$ nel manuale: $8\cdot1$ V, non $1$ V.
• Trattare "$0{,}1$ div" come $0{,}1$ V invece di $0{,}1\cdot\Delta V$ ($0{,}1$ V solo perché $\Delta V=1$ V/div).