Esercizio 6risposta dell'ingresso in accoppiamento AC (temi d'esame febbraio 2022, febbraio 2023 e settembre 2025)

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Teoria usata: Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →, Trigger e sincronizzazioneIl trigger fa partire l'acquisizione sempre dallo stesso punto di un segnale periodico, per avere una traccia stabile. Si imposta con sorgente, livello, pendenza (fronte di salita o discesa), modo (auto, normal, single), hold-off e posizione ($t=0$ = istante di trigger). Il livello deve cadere dentro l'escursione del segnale, $V_{min}<V_{trig}<V_{max}$ (meglio dove la pendenza è massima); con accoppiamento AC cambia l'escursione. Segnali con più passaggi per il livello in un periodo si risolvono con un livello tra le ampiezze degli impulsi o con un hold-off poco più corto del periodo. Per segnali a bassissima frequenza si disattiva l'auto.Trigger e sincronizzazione →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

Risposta in frequenza in AC

Il segnale della sorgente arriva all'ingresso attraverso $C_{ac}$: il canale è il partitore tra la reattanza $\frac1{sC_{ac}}$ e l'impedenza di ingresso $Z_i=\frac{R_i}{1+sR_iC_i}$. Il segnale visualizzato è $$H(s)=\frac{V_d(s)}{V_s(s)}=\frac{Z_i}{Z_i+\frac1{sC_{ac}}}=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_i(C_{ac}+C_i)}\simeq\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}\qquad(C_{ac}\gg C_i).$$ È un passa-alto: $H(0)=0$ (la continua è eliminata) e $H\to1$ per $f\gg f_T$. Costante di tempo e frequenza di taglio: $$\tau=R_iC_{ac},\qquad f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}},\qquad|H(f)|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}.$$

(a) Frequenza di taglio, incertezza, segnale visualizzato

Taglio. $\tau=10^6\cdot20\cdot10^{-9}=20$ ms e $f_T=\frac1{2\pi\cdot0{,}02}=7{,}96\simeq8$ Hz. Considerando anche $C_i$ ($18$ pF) il valore cambierebbe di $0{,}1\%$ ($7{,}95$ Hz): trascurabile.

Incertezza. Poiché $f_T\propto\frac1{R_iC_{ac}}$ le derivate danno $\frac{\partial f_T}{\partial R_i}=-\frac{f_T}{R_i}$ e $\frac{\partial f_T}{\partial C_{ac}}=-\frac{f_T}{C_{ac}}$, quindi $$\frac{u(f_T)}{f_T}=\sqrt{\Big(\frac{u(R_i)}{R_i}\Big)^2+\Big(\frac{u(C_{ac})}{C_{ac}}\Big)^2}.$$ La soluzione ufficiale legge le tolleranze come incertezze estese con $k=2$: $\frac{u(R_i)}{R_i}=\frac{0{,}01}2=0{,}5\%$, $\frac{u(C_{ac})}{C_{ac}}=\frac{0{,}20}2=10\%$ ($C_i$ non compare: è trascurato). Allora $u(f_T)=7{,}96\sqrt{0{,}005^2+0{,}1^2}=0{,}80$ Hz e $$U(f_T)=2\cdot0{,}80=1{,}6\ \text{Hz}\qquad(f_T=8{,}0\pm1{,}6\ \text{Hz}).$$ (Se si trattassero le tolleranze come limiti certi, distribuzione uniforme, $u/f_T=\sqrt{(0{,}01/\sqrt3)^2+(0{,}2/\sqrt3)^2}=11{,}6\%$ e $U=1{,}8$ Hz: stesso ordine.) Domina la capacità di disaccoppiamento.

Segnale visualizzato. Il sistema è lineare e tempo-invariante: la sinusoide non è distorta, solo attenuata (la fase è irrilevante con un solo segnale), e la continua sparisce: $$v_d(t)=V_0\,|H(f_0)|\sin(2\pi f_0t+\varphi).$$ Con $f_0=8$ Hz ($f_0/f_T=1{,}005$): $|H|=\frac{1{,}005}{\sqrt{1+1{,}005^2}}=0{,}709$, quindi ampiezza visualizzata $10\cdot0{,}709=7{,}09$ V (se si pone $f_0=f_T$ esattamente, $10/\sqrt2=7{,}07$ V). Senza continua: valori tra $-7{,}1$ e $+7{,}1$ V.

Trigger. Il segnale ha $8$ Hz: la frequenza è molto bassa e in modalità auto lo strumento può forzare il trigger e rendere la traccia instabile; si disattiva l'auto (modo normal). In AC il livello va scelto nell'escursione $\pm7{,}1$ V (ottimo $0$ V); in DC l'escursione sarebbe $-9{,}5$...$+10{,}5$ V (ottimo $0{,}5$ V) (Trigger e sincronizzazioneIl trigger fa partire l'acquisizione sempre dallo stesso punto di un segnale periodico, per avere una traccia stabile. Si imposta con sorgente, livello, pendenza (fronte di salita o discesa), modo (auto, normal, single), hold-off e posizione ($t=0$ = istante di trigger). Il livello deve cadere dentro l'escursione del segnale, $V_{min}<V_{trig}<V_{max}$ (meglio dove la pendenza è massima); con accoppiamento AC cambia l'escursione. Segnali con più passaggi per il livello in un periodo si risolvono con un livello tra le ampiezze degli impulsi o con un hold-off poco più corto del periodo. Per segnali a bassissima frequenza si disattiva l'auto.Trigger e sincronizzazione →).

(b) Rampa in AC (febbraio 2023)

Il valore medio della rampa è $V_{DC}=\frac{V_{max}+V_{min}}2=150$ mV (in AC viene tolto).

$T=2$ ms ($f_0=500$ Hz): $f_0/f_T=500/7{,}96=62{,}8$: $|H|=0{,}9999$, attenuazione trascurabile; il segnale è semplicemente traslato: $V'_{min}=-0{,}15-0{,}15=-0{,}30$ V e $V'_{max}=0{,}45-0{,}15=+0{,}30$ V.

$T=150$ ms ($f_0=6{,}67$ Hz, $\omega_0=42$ rad/s, $\omega_T=\frac1\tau=50$ rad/s): la fondamentale è un po' sotto la frequenza di taglio, $$|H|=\frac{\omega_0/\omega_T}{\sqrt{1+(\omega_0/\omega_T)^2}}=\frac{0{,}84}{\sqrt{1+0{,}84^2}}=0{,}643\ \Rightarrow\ -3{,}84\ \text{dB}.$$ (A $f_T$ sarebbe $-3$ dB.) In DC la forma resterebbe inalterata; in AC non solo si trasla il segnale togliendo la continua: tutte le componenti a bassa frequenza sono attenuate in misura diversa, la forma cambia (non una semplice scala) e la fondamentale cala di circa il $36\%$.

(c) Sinusoide a $2{,}5$ Hz con $C_{ac}=100$ nF (settembre 2025)

$\tau=R_iC_{ac}=0{,}1$ s, $\omega_T=10$ rad/s, $f_T=\frac{10}{2\pi}=1{,}59$ Hz. Da $f_0/f_T=\frac{2{,}5}{1{,}59}=1{,}571$: $$|H(f_0)|=\frac{1{,}571}{\sqrt{1+1{,}571^2}}=0{,}844.$$

• Trigger: in AC la continua è eliminata, il segnale ha $V_{max}=+0{,}844$ V e $V_{min}=-0{,}844$ V; si sceglie un livello nell'escursione (la soluzione ufficiale indica $\pm V_0=\pm1$ V come intervallo nominale; il livello ottimo è comunque $0$ V). L'unica sorgente è il canale di ingresso e, essendo a $2{,}5$ Hz, si usa il modo normal; la pendenza è ininfluente.
• Ampiezza e frequenza misurate: $\hat V_0=V_0|H(f_0)|=0{,}84$ V; la frequenza non cambia in un sistema lineare tempo-invariante: $\hat f_0=2{,}5$ Hz. Il segnale visualizzato è $v_d(t)=0{,}84\sin(2\pi\,2{,}5\,t+\varphi_H)$.
• Errore: è un errore sistematico (ogni misura dello stesso segnale dà la stessa attenuazione, dipende dal sistema di misura): errore relativo $\frac{\hat V_0-V_0}{V_0}=-15{,}6\%$ (da non confondere con l'incertezza).
• Come migliorare: per misurare l'ampiezza della componente alternata si usa l'accoppiamento DC (e si sposta l'offset) in modo da non attenuarla; oppure una capacità $C_{ac}$ più grande, o si corregge la misura con $1/|H(f_0)|$ sapendo i valori dei componenti.

Errori comuni

• Dire che in AC la frequenza del segnale cambia, o che il segnale è solo traslato anche a frequenza bassa.
• Calcolare la frequenza di taglio con $C_i$ (parassita) invece che con $C_{ac}$.
• Dimenticare di disattivare l'auto-trigger per segnali di pochi hertz.
• Calcolare $|H|$ con $\omega/\omega_T$ senza la radice o confondere $\omega$ e $f$ (usare $\omega_0/\omega_T$ oppure $f_0/f_T$).