Esercizio 13semiampiezza, valore medio e valore efficace dai cursori (tema d'esame gennaio 2022)

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Teoria usata: Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

(1) Stima di $V_0$ e $V_{DC}$

Il massimo del segnale è $V_{DC}+V_0=V_{C1}$ e il minimo $V_{DC}-V_0=V_{C2}$. Sommando e sottraendo: $$V_0=\frac{V_{C1}-V_{C2}}2=\frac{3{,}56+0{,}54}2=2{,}05\ \text{V},\qquad V_{DC}=\frac{V_{C1}+V_{C2}}2=\frac{3{,}56-0{,}54}2=1{,}51\ \text{V}.$$

(2) Incertezza estesa di ciascun cursore

Con $1$ V/div ($FS=8$ V) e offset $0$: $$U(V_C)=\underbrace{3\%\cdot8}_{0{,}24}+\underbrace{(0{,}1\cdot1+0{,}002+1\%\cdot0)}_{0{,}102}+\underbrace{0{,}25\%\cdot8}_{0{,}02}=0{,}362\ \text{V}\simeq0{,}36\ \text{V}.$$ Vale per entrambi i cursori: $U(V_{C1})=U(V_{C2})=0{,}36$ V.

(3) Incertezze standard

$u(V_C)=\frac{U(V_C)}k=\frac{0{,}362}2=0{,}181$ V (la soluzione scrive $0{,}18$ V). Misura indiretta: i coefficienti di sensibilità sono $\frac{\partial V_0}{\partial V_{C1}}=\frac12$, $\frac{\partial V_0}{\partial V_{C2}}=-\frac12$, quindi $$u(V_0)=\sqrt{\tfrac14u^2(V_{C1})+\tfrac14u^2(V_{C2})}=\frac{u(V_C)}{\sqrt2}=0{,}128\ \text{V}\simeq0{,}13\ \text{V},$$ e allo stesso modo ($\frac{\partial V_{DC}}{\partial V_{C1}}=\frac{\partial V_{DC}}{\partial V_{C2}}=\frac12$) $u(V_{DC})=\frac{u(V_C)}{\sqrt2}=0{,}13$ V.

Le due stime hanno incertezze uguali e (non dovendo considerare correlazione) sono trattate come indipendenti: i due cursori sono posizionati separatamente. (Se l'errore fosse un offset comune ai due cursori, sarebbe correlato: farebbe errore su $V_{DC}$ ma non su $V_0$.)

(4) Valore efficace

Per la sinusoide con continua il quadrato è $V_{DC}^2+2V_{DC}V_0\sin+V_0^2\sin^2$: il termine misto ha media nulla e $\overline{\sin^2}=\frac12$: $$V_{eff}=\sqrt{V_{DC}^2+\frac{V_0^2}2}=\sqrt{1{,}51^2+\frac{2{,}05^2}2}=\sqrt{2{,}2801+2{,}1013}=2{,}09\ \text{V}.$$

(5) Incertezza standard del valore efficace

Coefficienti di sensibilità: $\dfrac{\partial V_{eff}}{\partial V_0}=\dfrac{V_0/2}{V_{eff}}$ e $\dfrac{\partial V_{eff}}{\partial V_{DC}}=\dfrac{V_{DC}}{V_{eff}}$ (derivata di $\sqrt{\cdot}$: $\frac1{2V_{eff}}\cdot2V_{DC}$ e $\frac1{2V_{eff}}\cdot V_0$). Ingressi indipendenti: $$u(V_{eff})=\frac1{V_{eff}}\sqrt{\Big(\frac{V_0}2u(V_0)\Big)^2+\big(V_{DC}\,u(V_{DC})\big)^2}=\frac1{2{,}09}\sqrt{(1{,}025\cdot0{,}128)^2+(1{,}51\cdot0{,}128)^2}=\frac{0{,}233}{2{,}09}=0{,}11\ \text{V}.$$ Con $k=2$: $U(V_{eff})=0{,}22\to0{,}3$ V; $V_{eff}=2{,}1\pm0{,}3$ V. Il contributo di $V_{DC}$ ($0{,}193$ V) pesa più di quello di $V_0$ ($0{,}131$ V) perché $V_{DC}$ ha coefficiente di sensibilità $V_{DC}/V_{eff}=0{,}72$ contro $0{,}49$.

Verifica con Matlab o Python. Su $1000$ campioni di un periodo, rms(VDC+V0*sin(2*pi*f0*t)) restituisce $2{,}09$ V ($V_{DC}=1{,}51$, $V_0=2{,}05$).

Errori comuni

• Prendere $V_0=V_{C1}$ senza sottrarre la continua.
• Dimenticare il $\frac12$ nelle derivate: $u(V_0)=u(V_C)/\sqrt2$ e non $u(V_C)$ né $2u(V_C)$.
• Calcolare il valore efficace come $V_{DC}+V_0/\sqrt2$ (somma lineare).
• Usare $\Delta V/8$ per il fondo scala: $FS=8\cdot1$ V.