Misuratore di impedenza

Il programma di Strumentazione elettronica elenca tra gli strumenti di laboratorio anche il misuratore di impedenzarapporto tra tensione e corrente complesse in regime sinusoidale (detto anche LCR meterstrumento che misura induttanza, capacità e resistenza di un componente, cioè la sua impedenza), accanto a multimetro, oscilloscopio, schede di acquisizione e generatori. Il materiale del corso a disposizione non lo sviluppa, perciò questa nota riassume i principi con gli strumenti già visti (partitore, corrente di prova, quattro fili, stima di fasori) senza dettagli di uno strumento commerciale.

Che cosa si misura

In regime sinusoidale a pulsazione $\omega=2\pi f$ un bipolo passivo ha impedenza $Z_x=R+jX$ con modulo $|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$ e fase $\varphi=\arctan(X/R)$ (Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →, Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →). Un componente reale si rappresenta con un modello serie o parallelo:

• condensatore: $C_s$ in serie a $R_s$, oppure $C_p$ in parallelo a $R_p$. Il fattore di perditaD, tangente dell'angolo di perdita: rapporto tra parte resistiva e reattiva $D=\tan\delta=\omega R_sC_s=\frac1{\omega R_pC_p}$ ($\delta$ angolo complementare alla fase) dice quanto è "non ideale";
• induttore: $L_s$, $R_s$ o $L_p$, $R_p$, con fattore di meritoQ, inverso del fattore di perdita: misura quanto un induttore è vicino a ideale $Q=\frac{\omega L_s}{R_s}=\frac1D$;
• resistore: il modello serie include l'induttanza parassita dei terminali, quello parallelo la capacità parassita.

I valori $R_s$, $C_s$ dipendono dalla frequenza di misura: per questo gli strumenti permettono di scegliere $f$ e il livello del segnale, e si dichiarano insieme al risultato.

Esempio. Condensatore $C=100$ nF a $f=1$ kHz: reattanzaparte immaginaria dell'impedenza $X_C=\frac1{2\pi\,10^3\cdot10^{-7}}=1591{,}5\ \Omega$. Con $D=0{,}01$ le perdite equivalgono a $R_s=D\,X_C=15{,}9\ \Omega$ in serie (o $R_p=X_C/D=159$ k$\Omega$ in parallelo), e $Z_x=15{,}9-j1591{,}5\ \Omega$, cioè $|Z|=1591{,}6\ \Omega$ con fase $-89{,}43^\circ$.

Il metodo volt-amperometrico con fasori

Lo schema di principio è quello della misura di una resistenza con corrente nota, ma con segnale sinusoidale e con tensione e corrente come grandezze complesse (modulo e fase): $Z_x=V_x/I_x$. La corrente non si misura direttamente: si fa passare in un resistore di riferimentoresistore noto usato per ricavare la corrente $R_{ref}$ noto in serie a $Z_x$ e si misurano due tensioni, quella ai capi di $Z_x$ e quella ai capi di $R_{ref}$: $$Z_x=R_{ref}\,\frac{V_x}{V_R}\qquad(\text{rapporto di fasori}).$$ È un rapporto tra due tensioni come nell'ohmmetro ratiometrico (Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →): contano l'accuratezza di $R_{ref}$ e quella del rapporto, la stabilità dell'ampiezza della sorgente è meno critica. Con $R_{ref}=1$ k$\Omega$ per il condensatore dell'esempio il rapporto vale $1{,}5916\angle-89{,}43^\circ$.

Ponte autobilanciato. Gli strumenti commerciali usano un amplificatore operazionale: il terminale basso di $Z_x$ è collegato all'ingresso invertente, che resta a massa virtualeingresso invertente di un operazionale con retroazione, tenuto a potenziale quasi nullo senza essere collegato a massa (potenziale $\simeq0$, Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni baseL'amplificatore operazionale (opamp) è un amplificatore differenziale con guadagno altissimo: v_O = A (v_NI − v_INV). Nel modello ideale A = ∞, Rin = ∞, Rout = 0, banda infinita. Con una retroazione negativa dall'uscita all'ingresso invertente l'uscita si porta al valore che rende nulla la tensione differenziale (corto virtuale: v_NI = v_INV) senza che entri corrente negli ingressi. Con questa sola regola si ricavano l'amplificatore non invertente (Av = 1 + R2/R1, Rin = ∞) e l'invertente (Av = −R2/R1, Rin = R1); in entrambi Rout = 0.Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni base →), e la corrente che attraversa $Z_x$ è forzata a passare nel resistore di retroazione $R_{ref}$: $V_{out}=-R_{ref}I_x$, con $I_x=V_x/Z_x$, da cui $Z_x=-R_{ref}\,V_x/V_{out}$. Il vantaggio è che i due terminali sono a potenziali noti (alto = sorgente, basso = massa virtuale) e le capacità verso massa dei cavi non alterano la corrente.

Sono usati anche ponti a bilanciamento (Wheatstone, di Wien, ponti per capacità) in cui si regolano elementi noti finché uno strumento di zero indica l'equilibrio, e i metodi a risonanza per fattori di merito elevati; sono più lenti e non automatici.

Stima dei fasori dai campioni

Un moderno strumento digitale acquisisce con un ADC le due tensioni e ne calcola modulo e fase con la rivelazione sensibile alla fasemoltiplicazione per seno e coseno di riferimento e filtraggio per estrarre modulo e fase (lock-inamplificatore che estrae ampiezza e fase di una sinusoide alla frequenza di riferimento): se $v[n]$ sono $N$ campioni a $f_s$ di un segnale a frequenza $f$ con $Nf/f_s$ intero (campionamento coerentein N campioni entra un numero intero di periodi del segnale, Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopioUn segnale periodico di periodo $T$ ha uno spettro a righe alle frequenze $kf_0$, $f_0=1/T$. Per un'onda rettangolare $0\to A$ con duty cycle $d$ la riga $k$ ha ampiezza $2Ad,|\mathrm{sinc}(kd)|$ (inviluppo $|\sin x/x|$, primo zero a $f=1/\tau$); se $d\ne50%$ compaiono anche le armoniche pari. La FFT dell'oscilloscopio lavora sulla finestra visualizzata $T_w$: la risoluzione in frequenza è $\Delta f=1/T_w$ e si migliora solo aumentando $T_w$ (scala dei tempi più lenta), non con più campioni. Si ottengono righe pulite quando la finestra contiene un numero intero di periodi (campionamento coerente), altrimenti c'è dispersione spettrale.Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopio →), $$X=\frac2N\sum_{n=0}^{N-1}v[n]\cos(\omega nT_s),\qquad Y=-\frac2N\sum_{n=0}^{N-1}v[n]\sin(\omega nT_s),\qquad\hat V=X+jY.$$ Equivale a calcolare un coefficiente della TFD (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →) alla sola frequenza di misura: il prodotto per seno e coseno di riferimento seguito dalla media (un filtro passa-basso) rigetta il rumore a frequenze diverse. Il rapporto $\hat V_x/\hat V_R$ dà $Z_x$ e la differenza di fase tra i due fasori dà $\varphi$. Con $N=1000$ campioni a $100$ kS/s (dieci periodi interi a $1$ kHz) e rumore di $0{,}05$ V efficaci l'esempio di prima è ricostruito come $1591{,}6\ \Omega$ e $-89{,}41^\circ$, contro i valori veri $1591{,}6\ \Omega$ e $-89{,}43^\circ$.

Connessioni e incertezza

• Quattro terminali: per impedenze molto piccole (milliohm) o grandi correnti si separano, come nella misura di resistenza a quattro fili, i fili che portano la corrente da quelli che rilevano la tensione (Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →), eliminando l'impedenza dei cavi dall'errore.
• Compensazione di cavi e supporti: si misura il circuito aperto e il corto circuito dei puntali e si sottraggono i residui (capacità parassita in parallelo, impedenza residua in serie): è l'equivalente della compensazione degli offset.
• Incertezza: le specifiche sono simili a quelle del multimetro ($\pm$ una percentuale della lettura più un termine fisso) ma dipendono da $|Z|$, dalla frequenza e dal livello del segnale; si valutano con il tipo B (Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →). In generale la misura è migliore quando $|Z|$ è vicina al valore del resistore di riferimento del campo scelto.
• Corrente continua di polarizzazione (condensatori elettrolitici, induttori con nucleo): va applicata esplicitamente, perché il valore dipende dal punto di lavoro.

Errori comuni

• Dare un valore di $C$ o $L$ senza dire a quale frequenza e con quale modello (serie o parallelo).
• Confondere $D$ con la fase: $D=\tan\delta$ ($\delta=90^\circ-|\varphi|$ per un condensatore).
• Misurare con i due fili impedenze piccole (stessi problemi di una resistenza).
• Usare un'acquisizione non coerente senza filtro finestra: il fasorenumero complesso che rappresenta ampiezza e fase di una sinusoide è distorto.