Esercizio 24resistenze elevate con un multimetro volt-amperometrico (temi d'esame gennaio 2024, gennaio 2025 e settembre 2025)

Teoria usata: Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →, Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

(1) Il problema e la soluzione

Il metodo diretto è $\hat R_x=V_{mis}/J$. Con $J=5\ \mu$A e $R_x=12$ M$\Omega$ la tensione da misurare sarebbe $$V_{mis}=J\,R_x=5\cdot10^{-6}\cdot12\cdot10^6=60\ \text{V},$$ sei volte il fondo scala dell'ADC ($\pm10$ V). Il generatore non può nemmeno fornire quella tensione se ha una tensione massima di compliance limitata. In generale per $R_x$ grandi: (i) la tensione supera il fondo scala del convertitore, (ii) le correnti di dispersione (isolamento, umidità) e la corrente di polarizzazione dell'ingresso dell'ADC diventano confrontabili con $J$, (iii) il rumore si somma a un segnale ad alta impedenza.

Soluzione. Si inserisce in parallelo a $R_x$ un resistore $R_p$ di valore noto: la tensione cala perché la corrente $J$ si divide e sull'ADC cade $$V_{mis}=J\,R,\qquad R=R_x\parallel R_p=\frac{R_xR_p}{R_x+R_p}.$$

(2) Dimensionamento di $R_p$

Il caso peggiore è $R_x=R_{x,max}$ (la tensione cresce con $R_x$ e $R<R_p$ per ogni $R_x$): si impone che la tensione massima non superi il fondo scala, $J\,(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS}$, cioè $$R_{x,max}\parallel R_p\le R_V=\frac{V_{FS}}J\ \Rightarrow\ R_p\le\frac{R_V\,R_{x,max}}{R_{x,max}-R_V}.$$

(Si sceglie un valore commerciale non superiore al limite, con un po' di margine.) Per ogni valore di $R_x$ la tensione è $V_{mis}=J\frac{R_xR_p}{R_x+R_p}$: per $J=5\ \mu$A e $R_p=2$ M$\Omega$ si ha $0{,}48$ V a $100$ k$\Omega$, $3{,}3$ V a $1$ M$\Omega$, $7{,}1$ V a $5$ M$\Omega$, $8{,}6$ V a $12$ M$\Omega$.

Compromesso. Non conviene $R_p$ molto più piccolo del necessario: $R\to R_p$ per $R_x\to\infty$ e, vedendo la formula di ricostruzione, le incertezze si amplificano ($7\times$ su $R$ e $6\times$ su $R_p$ a $R_x=12$ M$\Omega$, $R_p=2$ M$\Omega$). $R_p$ deve essere un resistore accurato e stabile.

(3) Formule dello strumento

Dalla misura $V_{mis}$ lo strumento ricava prima la resistenza parallelo e poi, invertendo il parallelo, quella incognita: $$R=\frac{V_{mis}}J,\qquad\boxed{\hat R_x=\frac{R_p\,R}{R_p-R}=\frac{R_p\,V_{mis}}{J\,R_p-V_{mis}}}.$$ (Da $R(R_x+R_p)=R_xR_p$ segue $R_x(R_p-R)=RR_p$.) Esempio numerico: con $J=5\ \mu$A e $R_p=2$ M$\Omega$ l'ADC legge $V_{mis}=7{,}14$ V: $R=\frac{7{,}14}{5\cdot10^{-6}}=1{,}428$ M$\Omega$ e $\hat R_x=\frac{2\cdot1{,}428}{2-1{,}428}=5{,}0$ M$\Omega$. I parametri costanti del sistema sono la corrente $J$, il valore di $R_p$ e il fondo scala $V_{FS}$ dell'ADC (noti e memorizzati dallo strumento).

Verifica con Python

import numpy as np
J, Rp = 5e-6, 2e6
Rx = np.array([100e3, 1e6, 5e6, 12e6])
R = Rx * Rp / (Rx + Rp)                  # parallelo
V = J * R                                # tensione sull'ADC
Rx_ric = Rp * R / (Rp - R)               # ricostruzione
print(V, Rx_ric)                         # [0.476 3.33 7.14 8.57] V  e  i valori di Rx

Errori comuni

• Dimensionare $R_p$ solo sul fondo scala, senza considerare il caso peggiore $R_{x,max}$.
• Scrivere $R_x=R\,R_p/(R+R_p)$ (è la formula del parallelo diretto).
• Dimenticare che $R<R_p$: se $V_{mis}\to JR_p$ la formula $R_x$ diverge.
• Dire che $R_p$ riduce l'incertezza: aggiunge un contributo e amplifica gli errori su $R$.