Esercizio 20guadagno con il multimetro true-RMS (temi d'esame febbraio 2021 e gennaio 2020)

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Teoria usata: Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

Febbraio 2021

1. Schema e tipo di misura. Il generatore di funzioni (segnale di test sinusoidale a $1$ kHz) alimenta l'amplificatore; il multimetro ai capi dell'uscita (in parallelo, come voltmetro) misura il valore efficace dell'uscita. L'uscita è sinusoidale alla stessa frequenza: il parametro di interesse è il valore efficace, quindi volt AC (true-RMS).

2. Fondo scala. Le grandezze devono essere omogenee: il segnale di test è dato come valore di picco, il multimetro misura valori efficaci: $$V_{in,rms}=\frac{V_{in,p}}{\sqrt2}=\frac{100}{\sqrt2}=70{,}71\ \text{mV},\qquad V_{out,rms}=G\,V_{in,rms}=100\cdot70{,}71\ \text{mV}=7{,}071\ \text{V}.$$ Il più piccolo campo che contiene $7{,}07$ V è $10$ V.

3. Incertezza della misura di $V_{out}$. La riga corretta della tabella è quella della banda di frequenza del segnale: $1$ kHz $\in10$ Hz-$20$ kHz, coefficienti $0{,}10\%$ e $0{,}03\%$ (uguali per tutti i campi per la tensione alternata): $$U(V_{out,rms})=0{,}10\%\cdot6{,}98765\ \text{V}+0{,}03\%\cdot10\ \text{V}=6{,}99\ \text{mV}+3{,}00\ \text{mV}=0{,}010\ \text{V}=10\ \text{mV},\qquad u=\frac U2=5\ \text{mV}.$$ Il fattore di copertura $k=2$ è dichiarato nel manuale.

4. Guadagno. $$G=\frac{V_{out,rms}}{V_{in,rms}}=\frac{6{,}98765}{0{,}0707107}=98{,}82,\qquad G_{dB}=20\log_{10}98{,}82=39{,}90\ \text{dB}.$$

5. Incertezza e contributo prevalente. $G=\frac{V_{out,rms}}{V_{in,rms}}$ con $V_{in,rms}=\frac{V_{in,p}}{\sqrt2}$: $u(V_{in,rms})=\frac{u(V_{in,p})}{\sqrt2}=\frac{1\ \text{mV}}{\sqrt2}=0{,}707$ mV. Quoziente, relative in quadratura: $$\frac{u(V_{out,rms})}{V_{out,rms}}=\frac{5\ \text{mV}}{6987{,}65\ \text{mV}}=0{,}072\%,\qquad\frac{u(V_{in,rms})}{V_{in,rms}}=\frac{0{,}707}{70{,}71}=1{,}0\%,$$ $$u(G)=G\sqrt{(0{,}00072)^2+(0{,}01)^2}=98{,}82\cdot0{,}01003=0{,}99.$$ Il contributo preponderante è quello dell'ampiezza del segnale di test fornita dal generatore (1%) rispetto alla misura del multimetro (0,07%): per migliorare il sistema conviene misurare con il multimetro anche l'ampiezza del segnale di ingresso, invece di fidarsi del valore impostato sul generatore.

Gennaio 2020

1. Guadagno. Si usano grandezze omogenee (qui valori efficaci; $V_{in}$ è di picco): $$G=\frac{V_{out,rms}}{V_{in,rms}}=\frac{V_{out,rms}}{V_{in,p}/\sqrt2}=\sqrt2\,\frac{0{,}707}{10\cdot10^{-3}}=100.$$

2. Incertezze standard. Le due ampiezze sono date come valori $\pm$ senza fattore di copertura né livello di confidenza: metodo di tipo B con densità uniforme ($X=U$ come semiampiezza): $u=\frac{1\ \text{mV}}{\sqrt3}=0{,}58$ mV per entrambe ($V_{in,p}$ e $V_{out,rms}$ hanno $\pm1$ mV).

3. Formula. $G=\sqrt2\,\frac{V_{out,rms}}{V_{in,p}}$, con derivate $\frac{\partial G}{\partial V_{out}}=\frac{\sqrt2}{V_{in}}$ e $\frac{\partial G}{\partial V_{in}}=-\sqrt2\frac{V_{out}}{V_{in}^2}$; in forma relativa $$u(G)=G\sqrt{\Big(\frac{u(V_{in,p})}{V_{in,p}}\Big)^2+\Big(\frac{u(V_{out,rms})}{V_{out,rms}}\Big)^2}.$$

4. Numeri. $\frac{u(V_{in})}{V_{in}}=\frac{0{,}58\ \text{mV}}{10\ \text{mV}}=5{,}8\%$ (la soluzione ufficiale scrive $6\%$); $\frac{u(V_{out})}{V_{out}}=\frac{0{,}58\ \text{mV}}{707\ \text{mV}}=0{,}082\%$; $u(G)=100\cdot0{,}058=5{,}8$ ($\simeq6$) e $U(G)=3u(G)=17{,}3\ (\simeq18)$: $G=100\pm18$ ($k=3$).

5. Cosa migliorare. L'incertezza relativa di $V_{in}$ ($5{,}8\%$) è settanta volte quella di $V_{out}$ ($0{,}08\%$) e coincide con quella di $G$. Bisogna ottenere un valore più accurato dell'ampiezza di ingresso (per esempio misurandola con lo stesso multimetro).

Errori comuni

• Confrontare un valore di picco in ingresso con un efficace in uscita senza il fattore $\sqrt2$.
• Prendere il campo $100$ mV o $1$ V (troppo piccoli) o $100$ V (troppo grande, termine in % di fondo scala più pesante).
• Non dividere $U$ per $k$, o usare il $\pm1$ mV come $u$ senza il $\sqrt3$ quando non c'è $k$.
• Sommare le incertezze relative in modulo invece che in quadratura.