Esercizio 23resistenza a due e quattro fili (temi d'esame luglio 2020 e febbraio 2022)

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Teoria usata: Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →, Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →.

Luglio 2020

1. Misura a due fili. La corrente $I_{REF}=10$ mA attraversa $R_x$ e i due cavi (resistenza $R_L=0{,}5\ \Omega$ ciascuno, in serie): $$V_{mis}=I_{REF}(R_x+2R_L)=10\ \text{mA}\cdot13\ \Omega=130\ \text{mV}\ \Rightarrow\ \hat R_x=\frac{V_{mis}}{I_{REF}}=13\ \Omega.$$ Errore assoluto $\Delta R=\hat R_x-R_x=2R_L=1\ \Omega$ e relativo $\varepsilon=\frac{1}{12}\cdot100=8{,}3\%$.

2. Misura a quattro fili. Due fili portano la corrente $I_{REF}$ a $R_x$; due fili distinti collegano gli ingressi dell'ADC direttamente ai morsetti di $R_x$. L'ADC ha impedenza di ingresso molto alta, quindi in questi due fili non scorre corrente ($I_{ADC}\simeq0$) e le loro resistenze non producono cadute: $V^+-V^-=R_xI_{REF}$ e $\hat R_x=R_x=12\ \Omega$. Le cadute sui cavi della corrente ($R_{L1}I_{REF}$, $R_{L2}I_{REF}$) sono fuori dai punti di prelievo. Si elimina così l'errore sistematico dei cavi; si usa per resistenze piccole e misure di precisione (Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →).

Febbraio 2022

1. Errore sistematico a due fili. $\Delta R=2R_L=2\cdot0{,}1=0{,}2\ \Omega$ (relativo $1{,}7\%$).

2. Incertezza estesa a due fili. Si usa la formula del manuale con i coefficienti della colonna "1 anno, $T_{cal}\pm5\ ^\circ$C" (10 mesi $<1$ anno e $\Delta T<5\ ^\circ$C: la condizione peggiore dichiarata), campo $100\ \Omega$ (il più piccolo che contiene $12\ \Omega$), e il termine $0{,}2\ \Omega$ per i due fili. Come lettura si può usare il valore nominale ($12\ \Omega$: la differenza con il valore reale, entro $\pm1{,}2\ \Omega$, e con l'aggiunta dei cavi, è trascurabile rispetto agli altri contributi): $$U(R)=\pm\Big(\frac{0{,}014}{100}\cdot12+\frac{0{,}007}{100}\cdot100+0{,}2\Big)=\pm(0{,}0017+0{,}0070+0{,}2)=\pm0{,}2087\ \Omega\simeq\pm0{,}2\ \Omega.$$ Il termine dei cavi ($0{,}2\ \Omega$) è di gran lunga dominante.

3. Misura a quattro fili. Si elimina il contributo dei cavi: $$U(R)=\pm\Big(\frac{0{,}014}{100}\cdot12+\frac{0{,}007}{100}\cdot100\Big)=\pm0{,}0087\ \Omega\simeq\pm0{,}009\ \Omega,$$ circa $24$ volte minore. (Con $k$ non dato si indica semplicemente $U$ come incertezza estesa del manuale; se $k=2$, $u=0{,}0043\ \Omega$.)

4. Ampiezza del livello alto. Il valor medio di un'onda rettangolare è $\mu=V_Hd+V_L(1-d)$; con $\mu=0$: $$V_H=\frac{\mu-V_L(1-d)}d=\frac{0+1\cdot0{,}8}{0{,}2}=4\ \text{V}.$$

5. Indicazione in modalità AC Voltage. Il DMM è a vero valore efficace e la sua banda ($10$ kHz) è più che sufficiente per un'onda rettangolare a $2$ Hz (nessuna distorsione significativa). Il valor medio è nullo ($V_{DC}=0$), quindi RMS-DC e RMS-AC coincidono: $$V_{rms}=\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}=\sqrt{16\cdot0{,}2+1\cdot0{,}8}=\sqrt{3{,}2+0{,}8}=2\ \text{V}.$$ Controllo con la formula $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}=5\sqrt{0{,}16}=2$ V (Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →). Il display indica circa $2{,}00$ V (la fondamentale è a $2$ Hz, quindi in una zona di frequenza in cui le specifiche del manuale sono meno strette).

Errori comuni

• Dire che a quattro fili si elimina anche l'incertezza dello strumento: si elimina solo l'errore dei cavi.
• Calcolare l'errore a due fili come $R_L$ invece di $2R_L$ (due cavi).
• Usare il campo $1$ k$\Omega$ per $12\ \Omega$ (termine in % FS dieci volte peggiore).
• Dimenticare di aggiungere i $0{,}2\ \Omega$ per la misura a due fili.