Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza

Quasi nessuna grandezza viene misurata direttamente: la corrente si ricava da una tensione su uno shuntresistore di valore noto in cui passa la corrente da misurare, di cui si misura la caduta di tensione, il guadagno da due ampiezze, la pendenza di una rampa da una variazione di tensione e una durata. Questa nota spiega come le incertezze delle misure di partenza si combinano nell'incertezza del risultato, e come usare il calcolo per decidere dove migliorare il sistema di misura.

La legge di propagazione

Sia $y=f(x_1,\dots,x_K)$ una misura indirettagrandezza ricavata da altre misure attraverso una relazione funzionale: le grandezze $x_i$ hanno stime $\hat x_i$ e incertezze standardincertezze espresse come deviazione standard, senza fattore di copertura $u(x_i)$ (di tipo A o B, Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →). La stima è $\hat y=f(\hat x_1,\dots,\hat x_K)$. Per ricavare $u(y)$ si linearizza $f$ attorno ai valori stimati con lo sviluppo di Taylorapprossimazione di una funzione con un polinomio costruito con le sue derivate in un punto troncato al primo ordine, supponendo gli scarti piccoli: $$y-\hat y\simeq\sum_{i=1}^K\frac{\partial f}{\partial x_i}\Big|_{\hat x}(x_i-\hat x_i).$$ Elevando al quadrato e prendendo il valore atteso, se gli ingressi sono statisticamente indipendentisenza correlazione: la fluttuazione di uno non dice nulla su quella dell'altro (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →) i termini misti si annullano e resta $$\boxed{u_C^2(y)=\sum_{i=1}^K c_i^2\,u^2(x_i),\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}\Big|_{\hat x}.}$$ I $c_i$ sono i coefficienti di sensibilitàderivate parziali della funzione rispetto a ciascun ingresso: dicono di quanto varia l'uscita per una piccola variazione di quell'ingresso: se una grandezza ha $c_i$ grande, la sua incertezza pesa molto. Il contributoprodotto del coefficiente di sensibilità per l'incertezza standard dell'ingresso $\Delta u_i=|c_i|\,u(x_i)$ è l'incertezza che $x_i$ da sola produrrebbe sull'uscita; da qui $$u_C(y)=\sqrt{\Delta u_1^2+\Delta u_2^2+\dots+\Delta u_K^2},\qquad U(y)=k\,u_C(y).$$ Le $u_i$ vanno espresse in incertezze standard: se i dati sono incertezze estese si divide per il loro $k$ prima di combinarle, e solo alla fine si moltiplica per il $k$ voluto.

Condizioni di validità. $f$ deve essere derivabile e abbastanza lineare nell'intorno dei valori medi; gli ingressi si assumono indipendenti (altrimenti si usa la formula con le covarianzemisura di quanto due grandezze variano insieme); la distribuzione d'uscita si ritiene gaussiana per scegliere $k$.

Le formule che servono quasi sempre

Prodotti e quozienti si trattano con le incertezze relative (si divide e si moltiplica per $y^2$): per $G=V_{out}/V_{in}$ $$u(G)=G\sqrt{\Big(\frac{u(V_{out})}{V_{out}}\Big)^2+\Big(\frac{u(V_{in})}{V_{in}}\Big)^2}.$$ Questo porta a una regola di lettura: in un quoziente le incertezze relative si sommano in quadratura, e domina la maggiore. Con $u(V_{in})/V_{in}=6\%$ e $u(V_{out})/V_{out}=0{,}085\%$ (tema di gennaio 2020) l'incertezza relativa del guadagno è $6\%$: misurare meglio l'uscita non serve.

La differenza di due misure fatte con lo stesso strumento. La durata $T_s=t_2-t_1$ di un fronte misurata con due cursori dà $c_1=-1$, $c_2=+1$; se i due cursori hanno la stessa incertezza ($u(t_1)=u(t_2)=u(t)$) $$u(T_s)=\sqrt{u(t)^2+u(t)^2}=\sqrt2\,u(t).$$ Con la risoluzione di un pixel di $0{,}01$ ms e distribuzione uniforme $u(t)=0{,}01/\sqrt3\approx6\ \mu$s, e quindi $u(T_s)=8\ \mu$s (esercizio del corso).

Il bilancio di incertezza

Si chiama bilanciotabella dei contributi di incertezza dei singoli ingressi la tabella dei contributi $\Delta u_i$: serve in fase di progetto a individuare quale componente domina e quindi va ottimizzata. Procedura:

1. scrivere $f$ e calcolare le derivate parziali;
2. ricavare le incertezze standard $u(x_i)$ (da $U/k$, tipo A, tipo B);
3. calcolare i contributi $|c_i|u(x_i)$ (meglio relativi, $u(x_i)/x_i$ per prodotti);
4. confrontarli: il contributo più grande domina, quelli più piccoli di un fattore circa $3$ si possono trascurare perché in quadratura contano meno del $10\%$;
5. decidere l'azione (strumento migliore, componente con tolleranza minore, misura preliminare con multimetro).

Esempio (corrente con uno shunt). $R_s=12\ \Omega$ al $10\%$ ($u=0{,}693\ \Omega$, relativa $5{,}8\%$) e tensione $V_s=100$ mV con $u=100\ \mu$V ($0{,}1\%$): la corrente $\hat I=100\text{ mV}/12\ \Omega=8{,}3$ mA ha $\frac{u(I)}{I}=\sqrt{0{,}001^2+0{,}058^2}=5{,}8\%$, cioè $0{,}48$ mA: domina lo shunt e per migliorare si deve misurare prima $R_s$ con un multimetro o scegliere un resistore con tolleranza minore (Esercizio 21 · corrente media di un microcontrollore con lo shunt (tema d'esame luglio 2021)).

Esempio (potenza). Per $P=RI^2$: $\frac{u(P)}P=\sqrt{(\frac{u_R}R)^2+(2\frac{u_I}I)^2}$ — la corrente conta due volte per il quadrato. Con $R=12\ \Omega$ al $10\%$ (relativa $5{,}8\%$) e $I=3{,}010$ A con relativa $0{,}63\%$: contributi $5{,}8\%$ e $1{,}3\%$, totale $5{,}9\%$, cioè $u(P)=6{,}4$ W su $108{,}7$ W.

Ingressi correlati

Se gli ingressi non sono indipendenti (per esempio due grandezze misurate con lo stesso strumento sbilanciato, o dipendenti dalla stessa temperatura), la legge si estende con le covarianze $u(x_i,x_j)$: $$u_C^2(y)=\sum_ic_i^2u_i^2+2\sum_{i<j}c_ic_j\,u(x_i,x_j)=\sum_ic_i^2u_i^2+2\sum_{i<j}c_ic_j\,\rho_{ij}\,u_iu_j,$$ con $\rho_{ij}$ il coefficiente di correlazionelegame statistico tra due grandezze, misurato dal coefficiente di correlazione. Con $\rho=+1$ e due contributi concordi le incertezze si sommano in modulo (anziché in quadratura); con $\rho=-1$ possono compensarsi. Negli esercizi del corso si assume l'indipendenza.

Il metodo Monte Carlo

Se le distribuzioni degli ingressi sono note (non solo le $u_i$), si può propagare l'intera distribuzione (Legge dei grandi numeri e metodo Monte CarloSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →): si estrae un vettore $(x_{1,m},\dots,x_{K,m})$ campionando le distribuzioni di ingresso, si calcola $y_m=f(x_{1,m},\dots,x_{K,m})$, e si ripete $M$ volte. Dagli $M$ risultati si leggono media, deviazione standard ($=u_C$) e, direttamente, gli intervalli di confidenza con i percentilivalori sotto i quali cade una data percentuale dei risultati. Vantaggi: non servono le derivate e funziona anche quando $f$ non è lineare né derivabile.

Esempio (dispensa del corso). Una resistenza Pt100sensore di temperatura a resistenza di platino, che vale 100 ohm a 0 gradi Celsius a $150\ ^\circ$C ($R_T=100(1+0{,}00385\cdot150)=157{,}75\ \Omega$) è alimentata con una corrente di $1$ mA mediante due cavi in rame ($0{,}1\ \Omega$/m a $20\ ^\circ$C, coefficiente $0{,}00427/^\circ$C) di lunghezza ciascuno uniforme tra $12$ e $17$ m, con temperatura ambiente uniforme tra $15$ e $25\ ^\circ$C. La tensione è $V=J\,(R_T+R_{L1}+R_{L2})$.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
M = 200_000
J, RT = 1e-3, 100 * (1 + 0.00385 * 150)
Tenv = rng.uniform(15, 25, M)
l1, l2 = rng.uniform(12, 17, M), rng.uniform(12, 17, M)
RL = lambda l: 0.1 * l * (1 + 0.00427 * (Tenv - 20))
V = J * (RT + RL(l1) + RL(l2))
print(V.mean(), V.std(), np.percentile(V, [1, 99]))

Risultato: media $160{,}65$ mV, deviazione standard $0{,}207$ mV, intervallo tra l'$1\%$ e il $99\%$: $[160{,}21;\ 161{,}09]$ mV. Con la legge di propagazione ($u(l)=\frac{17-12}{2\sqrt3}=1{,}44$ m, $u(T)=\frac{25-15}{2\sqrt3}=2{,}89\ ^\circ$C, $c_l=J\cdot0{,}1=10^{-4}$ V/m, $c_T=J\cdot29\cdot0{,}1\cdot0{,}00427=1{,}24\cdot10^{-5}$ V/$^\circ$C) si ottengono i contributi $\sqrt2\cdot c_lu(l)=0{,}204$ mV e $c_Tu(T)=0{,}036$ mV: $u=\sqrt{0{,}204^2+0{,}036^2}=0{,}207$ mV, in accordo. Il bilancio dice che la variabilità dovuta alla temperatura è trascurabile rispetto a quella della lunghezza: per ridurre l'incertezza conviene usare cavi di lunghezza fissa.

Errori comuni

• Sommare le incertezze in modulo invece che in quadratura (vale solo per correlazione $+1$).
• Combinare incertezze estese diverse senza passare a quelle standard.
• Usare incertezze assolute in un prodotto o quoziente senza passare alle relative (si ottiene lo stesso solo con il coefficiente di sensibilità giusto).
• Dimenticare l'esponente: in $P=RI^2$ la corrente va moltiplicata per $2$.
• Trascurare il contributo dominante o ottimizzare un contributo già trascurabile.