Esercizio 14guadagno e sfasamento di un amplificatore con l'oscilloscopio (tema d'esame gennaio 2019)

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Teoria usata: Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →.

Tema A: il guadagno

A. Guadagno. Il guadagno è il rapporto tra grandezze omogenee (due ampiezze di picco): $$G=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{0{,}400}{0{,}100}=4\quad(20\log_{10}4=12{,}04\ \text{dB}).$$

B. Formula dell'incertezza. $G=V_{out}/V_{in}$ è un quoziente; con $\frac{\partial G}{\partial V_{out}}=\frac1{V_{in}}=\frac G{V_{out}}$ e $\frac{\partial G}{\partial V_{in}}=-\frac{V_{out}}{V_{in}^2}=-\frac G{V_{in}}$, la legge di propagazione scritta con le incertezze relative è $$u(G)=G\sqrt{\Big(\frac{u(V_{out})}{V_{out}}\Big)^2+\Big(\frac{u(V_{in})}{V_{in}}\Big)^2}.$$

C. Valori numerici. Le due ampiezze hanno incertezze di tipo B uniformi:

• uscita: $FS=8\cdot0{,}2=1{,}6$ V; passo del convertitore $\Delta y=\frac{1{,}6}{2^8}=6{,}25$ mV, che si prende come semiampiezza $X$ dell'intervallo uniforme (il cursore sta su un livello con $\pm1$ livello): $u(V_{out})=\frac{6{,}25\ \text{mV}}{\sqrt3}=3{,}61$ mV, relativa $\frac{3{,}61}{400}=0{,}90\%$;
• ingresso: $u(V_{in})=\frac{0{,}01\ \text{mV}}{\sqrt3}=0{,}0058$ mV, relativa $\frac{0{,}0058}{100}=0{,}0058\%$.

$$\frac{u(G)}G=\sqrt{(0{,}90\%)^2+(0{,}0058\%)^2}=0{,}90\%,\qquad u(G)=0{,}036,\qquad U(G)=2u(G)=0{,}072\simeq0{,}08.$$ Risultato: $G=4{,}00\pm0{,}08$ (con $k=2$; in decibel $12{,}04\pm0{,}16$ dB).

D. Contributo preponderante. Quello di $V_{out}$, dovuto alla risoluzione dei cursori verticali dell'oscilloscopio ($0{,}90\%$ contro $0{,}0058\%$, centocinquanta volte più grande): l'incertezza del guadagno coincide con quella della misura in uscita. Per migliorare non basta cambiare scala: $200$ mV/div è già quasi la più piccola utilizzabile ($0{,}8$ V picco-picco su $FS=1{,}6$ V; a $100$ mV/div il segnale arriverebbe al limite dello schermo). Serve un'altra misura dell'uscita, per esempio un multimetro true-RMS (Esercizio 20 · guadagno con il multimetro true-RMS (temi d'esame febbraio 2021 e gennaio 2020)).

Tema B: lo sfasamento

A. Sfasamento. Un ritardo $\tau$ rispetto a un periodo $T_0=1/f_0$ corrisponde a $\varphi=2\pi\frac\tau{T_0}=2\pi f_0\tau$: $$\varphi=2\pi\cdot10^3\cdot150\cdot10^{-6}=0{,}942\ \text{rad}\quad(=54^\circ,\ \text{ritardo}).$$

B. Formula. $\varphi=2\pi f_0\tau$ è un prodotto: relative in quadratura, $$\frac{u(\varphi)}\varphi=\sqrt{\Big(\frac{u(f_0)}{f_0}\Big)^2+\Big(\frac{u(\tau)}\tau\Big)^2}.$$

C. Valori. Frequenza: $\pm10$ mHz, $u(f_0)=\frac{0{,}01}{\sqrt3}=5{,}8$ mHz, relativa $\frac{5{,}8\cdot10^{-3}}{10^3}=5{,}8\cdot10^{-6}$. Ritardo: risoluzione orizzontale $\Delta x=\frac{10\cdot250\ \mu\text{s}}{1000}=2{,}5\ \mu$s; il ritardo è una differenza di due posizioni dei cursori, ciascuna con $u=\frac{2{,}5}{\sqrt3}=1{,}44\ \mu$s, quindi $u(\tau)=\sqrt2\cdot1{,}44=2{,}04\ \mu$s, relativa $\frac{2{,}04}{150}=1{,}36\%$. $$\frac{u(\varphi)}\varphi=\sqrt{(5{,}8\cdot10^{-6})^2+(1{,}36\cdot10^{-2})^2}=1{,}36\%,\quad u(\varphi)=0{,}0128\ \text{rad},\quad U(\varphi)=0{,}0257\to0{,}03\ \text{rad}.$$ Risultato: $\varphi=0{,}94\pm0{,}03$ rad ($54{,}0^\circ\pm1{,}5^\circ$).

D. Contributo prevalente. La misura del ritardo con i cursori ($1{,}36\%$ contro $0{,}0006\%$ per la frequenza: tre ordini di grandezza). Per ridurlo si usa una scala orizzontale più veloce: il ritardo è solo $0{,}6$ divisioni a $250\ \mu$s/div; a $50\ \mu$s/div sarebbe $3$ divisioni con $\Delta x=0{,}5\ \mu$s e relativa $0{,}27\%$.

Interpretazione dei dati. Nel testo ufficiale l'incertezza dell'ampiezza di ingresso e quella della frequenza sono date come $\pm$ (limiti): si trattano come intervalli certi, cioè uniformi; per l'uscita e per il ritardo si usa la risoluzione dello strumento. Altre scelte ragionevoli (per esempio $\pm1$ pixel per cursore anziché $\pm\frac12$) cambiano i numeri di un fattore al più $2$, non la conclusione.

Errori comuni

• Dimenticare che il ritardo ha $\sqrt2$ (due cursori).
• Usare l'incertezza estesa $\pm0{,}01$ mV come standard ($u=U/\sqrt3$ per un limite certo).
• Calcolare $G$ con un'ampiezza di picco in ingresso e un valore efficace in uscita.
• Scordare che la risoluzione verticale è $8\,\Delta V/2^8$ e non $\Delta V/2^8$.