Segnali di test e parametri nel dominio del tempo

Un ingegnere elettronico caratterizza un dispositivo (un amplificatore, un diodo, un convertitore) applicandogli un segnale di testsegnale con forma e parametri noti, prodotto da un generatore, che si usa per eccitare il dispositivo e osservarne la risposta e misurando l'uscita. Per scegliere lo strumento giusto e interpretare le sue indicazioni bisogna sapere quali parametri descrivono ciascun segnale e come si leggono su uno schermo. Questa nota raccoglie i segnali che ricorrono nel corso e negli esami; il loro spettro è in Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopioUn segnale periodico di periodo $T$ ha uno spettro a righe alle frequenze $kf_0$, $f_0=1/T$. Per un'onda rettangolare $0\to A$ con duty cycle $d$ la riga $k$ ha ampiezza $2Ad,|\mathrm{sinc}(kd)|$ (inviluppo $|\sin x/x|$, primo zero a $f=1/\tau$); se $d\ne50%$ compaiono anche le armoniche pari. La FFT dell'oscilloscopio lavora sulla finestra visualizzata $T_w$: la risoluzione in frequenza è $\Delta f=1/T_w$ e si migliora solo aumentando $T_w$ (scala dei tempi più lenta), non con più campioni. Si ottengono righe pulite quando la finestra contiene un numero intero di periodi (campionamento coerente), altrimenti c'è dispersione spettrale.Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopio →, il valore efficace in Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →.

Il segnale sinusoidale

$$v(t)=V_{DC}+V_0\sin(2\pi f_0t+\varphi)$$

Due precisazioni che nei temi d'esame fanno la differenza. L'ampiezza picco-piccodifferenza tra massimo e minimo del segnale: vale il doppio dell'ampiezza di picco per una sinusoide è la più comoda da leggere con i cursori.

• Valori minimo e massimo. Con offset $V_{DC}$ il segnale oscilla tra $V_{min}=V_{DC}-V_0$ e $V_{max}=V_{DC}+V_0$. Per $v=3{,}3+0{,}2\sin(2\pi\,200\,t)$ si ha $3{,}1$ V e $3{,}5$ V: il livello di triggersoglia di tensione che, attraversata con una certa pendenza, fa partire l'acquisizione dell'oscilloscopio deve cadere tra questi due valori.
• La fase non si misura da sola. Per l'oscilloscopio $t=0$ è l'istante di trigger, cioè il punto in cui il segnale passa per il livello scelto con la pendenza scelta. Quindi, con un solo segnale, $\varphi$ risulta "forzatamente" nulla: ha senso soltanto lo sfasamento tra due segnali acquisiti con lo stesso trigger (per esempio ingresso e uscita di un amplificatore, Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →).

Guadagno di un amplificatore. Per misurare $G=V_{out}/V_{in}$ a una frequenza $f_0$ si manda in ingresso una sinusoide di ampiezza nota e si legge l'uscita; le due ampiezze devono essere grandezze omogenee (picco con picco, efficace con efficace, picco-picco con picco-picco). Se il segnale è rumoroso conviene l'efficace; il guadagno resta costante finché l'amplificatore è lineare, quindi si regola $V_{in}$ in modo che $V_{out}$ non saturi (non si "schiaccia"). In decibel $G_{dB}=20\log_{10}G$: per $G=98{,}82$ si ha $39{,}90$ dB.

Segnale sinusoidale distorto e THD

Un amplificatore reale o un generatore non ideale produce, oltre alla fondamentalecomponente alla frequenza f_1 del segnale: è l'unica che si vorrebbe avere, delle armonichecomponenti a frequenze multiple intere della fondamentale: $$v(t)=\sum_{n=1}^{N}V_n\sin(2\pi nf_1t+\varphi_n).$$ Se le componenti superiori non sono multiple della fondamentale il segnale non è periodico e la sua forma cambia da un periodo all'altro. Per quantificare la qualità si usa la distorsione armonica totaleTHD, rapporto tra il valore efficace delle armoniche superiori e quello della fondamentale $$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+\dots+V_N^2}}{V_1},\qquad \mathrm{THD}_{dB}=20\log_{10}\mathrm{THD}.$$ Per esempio una sinusoide con $V_1=1$ V e armoniche $V_2=20$ mV, $V_3=10$ mV ha $\mathrm{THD}=\sqrt{0{,}02^2+0{,}01^2}/1=2{,}24\%$, cioè $-33$ dB. Si misura sullo spettro (Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopioUn segnale periodico di periodo $T$ ha uno spettro a righe alle frequenze $kf_0$, $f_0=1/T$. Per un'onda rettangolare $0\to A$ con duty cycle $d$ la riga $k$ ha ampiezza $2Ad,|\mathrm{sinc}(kd)|$ (inviluppo $|\sin x/x|$, primo zero a $f=1/\tau$); se $d\ne50%$ compaiono anche le armoniche pari. La FFT dell'oscilloscopio lavora sulla finestra visualizzata $T_w$: la risoluzione in frequenza è $\Delta f=1/T_w$ e si migliora solo aumentando $T_w$ (scala dei tempi più lenta), non con più campioni. Si ottengono righe pulite quando la finestra contiene un numero intero di periodi (campionamento coerente), altrimenti c'è dispersione spettrale.Spettro dei segnali periodici e FFT dell'oscilloscopio →).

Onda quadra e onda rettangolare

L'onda rettangolare passa periodicamente tra un livello alto $V_H$ e uno basso $V_L$. I parametri sono:

• $V_{pp}=V_H-V_L$ e valore medio $V_{DC}=V_Hd+V_L(1-d)$;
• periodo $T$ e frequenza $f=1/T$;
• la durata dell'impulsotempo $\tau$ per cui il segnale resta al livello alto in un periodo $\tau$ e il duty cycle $$d=\frac\tau T\cdot100\%.$$

L'onda quadra è il caso $d=50\%$. Un generatore di funzioni consente di impostarla in due modi equivalenti: dando $V_H$ e $V_L$ oppure $V_{pp}$ e offset. Un esempio con valore medio nullo, $V_L=-1$ V e $d=20\%$ (tema d'esame febbraio 2022): da $V_Hd+V_L(1-d)=0$ si ricava $$V_H=\frac{-V_L(1-d)}{d}=\frac{1\cdot0{,}8}{0{,}2}=4\ \text{V}.$$

Fronti non ideali. Nessun generatore produce un'onda quadra ideale: le transizioni durano un tempo finito. Il tempo di salitatempo che il segnale impiega per passare dal 10% al 90% dell'ampiezza del fronte si misura tra il 10% e il 90% dell'ampiezza; invece durata dell'impulso e periodo si misurano tra i punti al 50% dei fronti. Il motivo è pratico: a metà fronte la pendenza è massima, quindi un piccolo errore di posizionamento di un cursore sull'asse verticale (o del livello di trigger) si traduce in un piccolo errore sull'istante, cioè sull'asse dei tempi.

L'onda quadra serve per testare la risposta al gradino di un oscilloscopio o di un amplificatore (Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →): con un periodo sufficientemente lungo la risposta si completa prima del fronte successivo.

Onda triangolare e dente di sega

L'onda triangolare sale e scende linearmente; il dente di sega ha una salita (o discesa) lenta e un ritorno praticamente istantaneo. Con $V_{min}$, $V_{max}$ e tempo di salita $T_R$:

• pendenza della rampa $m=\dfrac{V_{max}-V_{min}}{T_R}$ (in V/s);
• valore medio $\dfrac{V_{max}+V_{min}}2$ (se la rampa è lineare e il ritorno trascurabile);
• tempi per attraversare lo zero: la rampa va da $V_{min}$ a $0$ in $|V_{min}|/m$ e da $0$ a $V_{max}$ in $V_{max}/m$.

Esempio (febbraio 2023): rampa da $V_{min}=-150$ mV a $V_{max}=450$ mV con $T=150$ ms. La pendenza vale $0{,}6/0{,}15=4$ V/s; la rampa passa per lo zero $37{,}5$ ms dopo l'inizio e arriva al massimo $112{,}5$ ms dopo lo zero.

Applicazioni: la rampa è il segnale classico per provare la linearità di un convertitore A/D (Conversione analogico-digitale - campionamento e quantizzazioneLa conversione A/D campiona il segnale ogni $T_s=1/F_s$ (con $F_s\ge2B$, altrimenti aliasing) e lo quantizza su $2^N$ livelli: passo $\mathrm{LSB}=FS/2^N$, errore di quantizzazione tra $\pm\mathrm{LSB}/2$ (uniforme, $u=\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$), rapporto segnale/rumore di quantizzazione di una sinusoide a fondo scala $6{,}02N+1{,}76$ dB. Nell'oscilloscopio a $8$ bit il fondo scala è $8,\Delta V$: $\Delta y=8,\Delta V/256$ (31,25 mV a 1 V/div). Architetture: flash (veloce, poca risoluzione), approssimazioni successive, doppia rampa (lenta e precisa, nei multimetri), sigma-delta. Il sample-and-hold congela il valore durante la conversione.Conversione analogico-digitale - campionamento e quantizzazione →); la triangolare approssima l'ondulazione (ripple) di tensione all'uscita di un convertitore DC-DC.

Segnali modulati

Modulazione di ampiezza (AM). È una sinusoide ad alta frequenza, la portantesinusoide a frequenza $f_C$ la cui ampiezza viene fatta variare dal segnale modulante, la cui ampiezza varia nel tempo secondo una sinusoide più lenta, la modulante: $$x(t)=A_C\big(1+K_M\cos2\pi f_Mt\big)\cos2\pi f_Ct,\qquad f_M\ll f_C.$$ Il fattore di modulazioneparametro $K_M$ compreso tra 0 e 1 che dice quanto l'ampiezza varia rispetto al valore medio $A_C$; chiamato anche profondità $K_M$ è tra 0 e 1. L'inviluppo oscilla tra $A_C(1-K_M)$ e $A_C(1+K_M)$, quindi con i cursori verticali si misurano il massimo e il minimo del picco-picco: $$V_{pp,max}=2A_C(1+K_M),\quad V_{pp,min}=2A_C(1-K_M)\ \Longrightarrow\ A_C=\frac{V_{pp,max}+V_{pp,min}}4,\quad K_M=\frac{V_{pp,max}-V_{pp,min}}{V_{pp,max}+V_{pp,min}}.$$ Con $V_{pp,max}=2{,}8$ V e $V_{pp,min}=1{,}5$ V (esempio di prova scritta 2026) risulta $A_C=1{,}075$ V e $K_M=0{,}30$.

Applicazioni: radio AM e prove di robustezza di dispositivi (modulazioni a $50$ Hz della tensione di rete). La modulazione in frequenza (FM) varia invece la frequenza istantanea attorno a $f_C$ lasciando costante l'ampiezza (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM → per la parte di segnali).

Modulazione a larghezza di impulso (PWM). È un'onda rettangolare a frequenza fissa il cui duty cycle viene fatto variare nel tempo: il valore medio segue il segnale da rappresentare.

Sweep lineare in frequenza

Lo sweepsegnale sinusoidale la cui frequenza aumenta nel tempo, tra due frequenze estreme, e poi riparte da capo è una sinusoide la cui frequenza cresce linearmente da $f_{start}$ a $f_{stop}$ in un tempo $T_{sweep}$, poi si ripete: $$f(t)=f_{start}+m\,t,\qquad m=\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}\quad(0\le t<T_{sweep}).$$ (La frequenza istantanea è la derivata della fase divisa per $2\pi$: nei testi d'esame $f(t)$ indica direttamente questa grandezza.) Il segnale permette di provare un amplificatore a tante frequenze con un'unica acquisizione. I parametri sono la banda spazzata (span) $f_{stop}-f_{start}$, il centro, $T_{sweep}$ e l'ampiezza.

Il generatore fornisce anche un segnale di sincronizzazione, il syncsegnale a livelli 0 V e 5 V che ha lo stesso periodo dello sweep e un fronte in un istante noto dello sweep, con impulso alto di durata $t_M$ (impostabile: duty cycle $d=t_M/T_{sweep}$). Acquisendo sync e sweep con lo stesso oscilloscopio e usando il sync come sorgente di trigger si ottiene una traccia stabile; il fronte di discesa del sync marca l'istante $t_M$, in cui la frequenza istantanea è $$f_M=f_{start}+t_M\,\frac{f_{stop}-f_{start}}{T_{sweep}}=f_{start}+d\,(f_{stop}-f_{start}).$$ Esempio (gennaio 2025): $f_{start}=100$ Hz, $f_{stop}=10$ kHz, $d=20\%$ danno $f_M=0{,}2\cdot9900+100=2080$ Hz (Esercizio 15 · sweep lineare in frequenza e duty cycle del sync (temi d'esame gennaio 2024 e gennaio 2025)).

Errori comuni

• Confondere picco e picco-picco: $V_{pp}=2V_0$ per la sinusoide; per un'onda con offset si legge $V_{pp}$ e non $V_{max}$.
• Dire che il duty cycle è il rapporto tra durata alta e durata bassa: è il rapporto tra durata alta e periodo.
• Misurare durate sul 10% e 90% invece che al 50% dei fronti (il 10-90% serve solo per il tempo di salita).
• Calcolare $K_M$ con il solo $V_{pp,max}$ o confondere $A_C$ con $V_{pp,max}/2$: servono massimo e minimo dell'inviluppo.
• Dare un guadagno come rapporto tra un efficace e un picco senza il fattore $\sqrt2$.