Incertezza di tipo A e distribuzione di Student

Si parla di incertezza di tipo A quando l'incertezza si ottiene con metodi statistici da una serie di misure ripetute dello stesso misurando. È l'idea più intuitiva (ripeto, guardo quanto i risultati si disperdono) e ha una forma precisa da usare negli esercizi. L'altro modo, che non richiede ripetizioni ma sfrutta le informazioni sullo strumento, è il tipo B (Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →).

Quando si può applicare

• si dispone di $N$ osservazioni indipendenti $x_1,\dots,x_N$;
• sono state fatte in condizioni di ripetibilitàstesso strumento, stesso operatore, stesso metodo e stesse condizioni ambientali, in un intervallo di tempo breve: se si cambiano strumento o operatore si studia un'altra cosa (la riproducibilità);
• la dispersione dei valori è maggiore della risoluzionevalore dell'ultima cifra dello strumento dello strumento. Se lo strumento dà sempre lo stesso numero, ripetere la misura è inutile e l'incertezza si ricava con il tipo B (la risoluzione è una distribuzione uniforme);
• il misurando è costante nel tempo e la misura non è distruttiva.

Un limite pratico: se si misura per troppo tempo, le variazioni lente (derivalenta variazione nel tempo del valore indicato dallo strumento, temperatura) fanno crescere la varianzamedia dei quadrati degli scarti dalla media invece di ridurla (si studia con la varianza di Allan, che nel corso è solo accennata).

Le tre formule

Siano $x_i$, $i=1,\dots,N$, i valori misurati.

1. Miglior stima del misurando: media campionariasomma delle misure divisa per il loro numero N $$\hat X=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i.$$
2. Dispersione dei valori: deviazione standard campionariastima della dispersione dei singoli valori attorno alla media; si divide per N-1 per non sottostimarla $$s(x)=\sqrt{\frac1{N-1}\sum_{i=1}^N\big(x_i-\hat X\big)^2}.$$
3. Incertezza della stima: la media di $N$ variabili indipendenti ha varianza $\sigma^2/N$ (l'incertezza scende come $1/\sqrt N$: Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →), quindi si prende la deviazione standard della media $$\boxed{u_A(\hat X)=s(\hat X)=\frac{s(x)}{\sqrt N}=\sqrt{\frac1{N(N-1)}\sum_{i=1}^N\big(x_i-\hat X\big)^2}.}$$

Attenzione: la dispersione $s$ descrive la dispersione di una misura; l'incertezza del risultato (la media) è $s/\sqrt N$, più piccola. Raddoppiare l'incertezza di $\hat X$ richiede quadruplicare $N$.

Esempio (dispensa del corso). $N=10$ misure di una stessa resistenza: $0{,}7$, $0{,}9$, $0{,}8$, $0{,}6$, $0{,}7$, $0{,}5$, $0{,}7$, $0{,}8$, $0{,}6$, $0{,}7$ (valori in $\mathrm{k}\Omega$). Media $\hat X=0{,}70$; scarti dalla media $0$, $0{,}2$, $0{,}1$, $-0{,}1$, $0$, $-0{,}2$, $0$, $0{,}1$, $-0{,}1$, $0$ con somma dei quadrati $0{,}12$; $s=\sqrt{0{,}12/9}=0{,}1155$; $u_A=0{,}1155/\sqrt{10}=0{,}0365$.

Dalla incertezza standard alla estesa

Per passare a $U=k\,u_A$ bisogna scegliere $k$ in base al livello di confidenzaprobabilità che il valore vero cada nell'intervallo voluto.

• Con $N$ grande ($N\ge30$) si modella la media con una distribuzione gaussianacampana simmetrica caratterizzata da media e deviazione standard (giustificata dal teorema del limite centrale, Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →): $k=1{,}96\simeq2$ per il $95\%$, $k=2{,}58$ per il $99\%$.
• Con $N<30$ la deviazione standard è essa stessa stimata con pochi dati: si usa la distribuzione di Studentdistribuzione a campana più larga della gaussiana, che dipende dal numero di gradi di libertà e tende alla gaussiana per N grande con $\nu=N-1$ gradi di libertànumero di dati indipendenti disponibili dopo aver stimato la media: N meno 1, e $k=t_{\nu,p}$ si legge in tabella.

(La riga si sceglie con $\nu=N-1$: per $N=10$ misure la riga corretta è $\nu=9$, $k=2{,}26$; nelle soluzioni dei temi si trova talvolta la riga $10$, $2{,}23$.) L'intervallo di confidenzaintervallo che contiene il valore vero con una probabilità fissata è $\hat X\pm t\cdot\frac s{\sqrt N}$.

Esempio. Con i dati precedenti al 95%: $k=2{,}26$ e $U=2{,}26\cdot0{,}0365=0{,}0825\to0{,}09\ \mathrm{k}\Omega$ (nel corso arrotondato a $0{,}1$): $R=0{,}70\pm0{,}09\ \mathrm{k}\Omega$ con $p=95\%$. Con $k=2$ (95% approssimato) si avrebbe $U=0{,}073$, più stretto: ignorare Student sottostima l'incertezza.

L'esercizio con $10$ misure di una resistenza da $150\ \Omega$ (Esercizio 18 · dieci misure ripetute di una resistenza (esercizio del corso)) mostra come la scelta $k=2$ o $k=2{,}26$ (95%) cambia il risultato e il significato: con $k$ assegnato non si può dire il livello di confidenza.

Combinare più contributi

Quando l'incertezza ha una parte statistica (tipo A) e altri contributi di specifica (tipo B) si combinano per somma dei quadrati delle incertezze standard: $$u_X=\sqrt{u_A^2+u_{1,B}^2+u_{2,B}^2+\dots}.$$ Esempio: media di $10$ misure con $u_A=0{,}0636\ \Omega$ e uno strumento con incertezza di specifica (tipo B) $u_B=0{,}05\ \Omega$ danno $u=\sqrt{0{,}0636^2+0{,}05^2}=0{,}081\ \Omega$. Il contributo che domina è il più grande dei due: ridurre l'altro non migliora il risultato.

Misura indiretta con ripetizioni

Quando il misurando è funzione di altre grandezze misurate più volte (come $R=V/I$ da dieci coppie), si può calcolare $R_n$ per ogni prova e poi applicare le formule del tipo A ai valori $R_n$. Dalle dieci coppie $(V_n,I_n)$ dell'esame di luglio 2023 si ottiene $\hat R=10{,}37\ \mathrm{k}\Omega$ e $u_A=0{,}37\ \mathrm{k}\Omega$: un valore anomalo ($14{,}80$ V con $1{,}08$ mA) porta il quoziente a $13{,}7\ \mathrm{k}\Omega$ e gonfia l'incertezza (Esercizio 19 · misure volt-amperometriche ripetute con un valore anomalo (tema d'esame luglio 2023)).

Errori comuni

• Dare $s$ al posto di $s/\sqrt N$ come incertezza della media.
• Dividere per $N$ invece che per $N-1$ in $s$ (con pochi dati sottostima).
• Usare $k=2$ con $N$ piccolo: con $N=5$ servirebbe $k=2{,}78$.
• Ripetere la misura e ottenere sempre lo stesso numero: l'incertezza di tipo A vale zero ma quella vera non è nulla, c'è la risoluzione (tipo B).
• Mescolare misure fatte con strumenti o in condizioni diverse come se fossero ripetizioni.