Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti

Nell'incertezza di tipo B non si ripete la misura: si associa una densità di probabilità al risultato usando tutte le informazioni disponibili (specifiche del costruttore, tolleranze, dati di taraturaconfronto con un campione di riferimento e regolazione dello strumento, esperienza, risoluzione), e l'incertezza standard $u$ è la deviazione standard di quella distribuzione. Si usa quando si ha una sola misura (o poche, tutte uguali), quando la misura è distruttiva, oppure per i contributi che non compaiono nelle ripetizioni (sistematici residui, risoluzione). Una buona valutazione di tipo B può essere affidabile quanto una di tipo A, e più di una di tipo A basata su pochi dati (Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →).

Le quattro situazioni ricorrenti

1. Incertezza estesa con fattore di coperturanumero k per cui si moltiplica l'incertezza standard per ottenere l'estesa noto. Il manuale dà $U(x)$ con $k$: allora $$u_B(x)=\frac{U(x)}{k}.$$ Esempio: per il multimetro del tema di febbraio 2021 ($k=2$ dichiarato) $U=10$ mV dà $u=5$ mV. Se invece un valore è dato come "$10\pm1$ mV" senza $k$ né probabilità, si tratta il $\pm1$ mV come limite certo, cioè distribuzione uniforme ($u=1/\sqrt3=0{,}58$ mV, tema di gennaio 2020, caso 3 qui sotto).

2. $U$ riferita a un livello di confidenzaprobabilità che il valore vero sia nell'intervallo $p$. Se il costruttore dà "al $95\%$" senza altro, si assume una distribuzione gaussianacampana simmetrica definita da media e deviazione standard e si ricava $k$ da $p$ ($90\%\to1{,}64$, $95\%\to1{,}96$, $99\%\to2{,}58$): $u=U/k$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Se l'intervallo $[x_{min},x_{max}]$ ha probabilità $p<100\%$, la stima è il punto centrale e $u=\frac{x_{max}-x_{min}}{2k}$.

3. Intervallo con probabilità 100%: distribuzione uniforme. È la situazione di minima informazione: il valore sta sicuramente in $[x_{min},x_{max}]$ ma non si sa dove. Si assume una densità uniformerettangolare: tutti i valori dell'intervallo hanno la stessa probabilità con valore atteso $\hat x=\frac{x_{max}+x_{min}}2$ e varianza $\frac{(x_{max}-x_{min})^2}{12}$ (Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →). Detta $a=\frac{x_{max}-x_{min}}2$ la semiampiezza: $$\boxed{u_B=\frac{x_{max}-x_{min}}{2\sqrt3}=\frac a{\sqrt3}\qquad\Big(\sigma^2=\frac{a^2}3\Big).}$$ È la formula che i temi ricordano nel testo: "per una v.a. uniformemente distribuita tra $x-\Delta$ e $x+\Delta$ la varianza vale $\Delta^2/3$". Si applica a: tolleranzascostamento massimo dichiarato tra valore nominale e valore effettivo di un componente di un componente (resistore da $12\ \Omega$ al $10\%$: $R\in[10{,}8;\,13{,}2]$, $a=1{,}2\ \Omega$, $u=0{,}693\ \Omega$), risoluzione di un display o di un cursore, limiti di variazione di una grandezza (lunghezza di un cavo, temperatura ambiente tra due valori).

4. Distribuzione trapezoidale o triangolare. Se i valori vicino agli estremi sono meno probabili di quelli centrali si usa la distribuzione trapezoidalerettangolo con i lati inclinati: la base maggiore misura x_max meno x_min e quella minore beta volte la base maggiore con base minore $\beta\,(x_{max}-x_{min})$, con $0\le\beta\le1$: $$u_B=a\sqrt{\frac{1+\beta^2}6}.$$ Per $\beta=1$ si ritrova la uniforme ($a/\sqrt3$), per $\beta=0$ la triangolare ($a/\sqrt6$).

Le specifiche dei multimetri

Le specifiche di incertezza hanno quasi sempre la forma $$U=\pm\Big(k_1\%\cdot\text{lettura}+k_2\%\cdot\text{fondo scala}\Big)\quad\text{oppure}\quad\pm\big(k_1\%\cdot\text{lettura}+n\text{ counts}\big).$$ Il primo termine (guadagno) dipende dal valore letto, il secondo (offset e rumore interno) dal fondo scalavalore massimo del campo di misura selezionato scelto: sono incertezze estese e di solito il manuale indica $k$ (per esempio $k=2$) o il livello di confidenza. I coefficienti dipendono da:

• il fondo scala (campo) scelto: si sceglie il più piccolo campo che contiene la misura, perché a parità di lettura il termine in % di fondo scala cresce con il campo;
• il tipo di misura e, per la corrente alternata, la banda di frequenza del segnale: per la fondamentale $1$ kHz di una sinusoide la riga è $10$ Hz-$20$ kHz ($0{,}10+0{,}03$); a $6{,}7$ Hz la riga è $5$-$10$ Hz ($0{,}38+0{,}03$);
• il tempo trascorso dalla taratura: colonne 24 ore, 90 giorni, 1 anno, 2 anni (e variazione di temperatura $\pm1$ o $\pm5\ ^\circ$C): in laboratorio si assume il caso peggiore (1 anno, $\pm5\ ^\circ$C);
• il numero di cifre del display: i counts sono multipli della cifra meno significativa (un multimetro da $5\tfrac12$ cifre sul campo $30$ k$\Omega$ mostra fino a $39{,}9999$ k$\Omega$: la cifra meno significativa vale $0{,}1\ \Omega$);
• per la misura di resistenza a due fili si aggiunge un termine fisso ($0{,}2\ \Omega$ nel manuale del corso) per i cavi (Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →).

Esempio 1 (tensione alternata, febbraio 2021). Il DMM legge $V_{out}=6{,}98765$ V su un amplificatore con segnale a $1$ kHz; campo $10$ V (il più piccolo $>7{,}07$ V atteso); riga $10$ Hz-$20$ kHz: $0{,}10\%$ della lettura più $0{,}03\%$ del fondo scala: $$U=0{,}001\cdot6{,}98765+0{,}0003\cdot10=0{,}00699+0{,}003=0{,}00999\ \text{V}\approx10\ \text{mV},\qquad u=\frac U2=5\ \text{mV}.$$

Esempio 2 (resistenza a due fili, dispensa). Multimetro a $5\frac12$ cifre, campo $30$ k$\Omega$, resistore da $10$ k$\Omega$ ($5\%$): colonna "1 anno, $T_{cal}\pm5\ ^\circ$C" $0{,}016+2$ counts, $0{,}2\ \Omega$ per i due fili: $$U=\frac{0{,}016}{100}\cdot10\,000+2\cdot0{,}1+0{,}2=1{,}6+0{,}2+0{,}2=2{,}0\ \Omega.$$ Poiché $U=2\ \Omega<1\%\cdot R=100\ \Omega$ lo strumento è adatto a verificare la tolleranza del $5\%$; il rapporto $2/(0{,}05\cdot10\,000)=0{,}004$ è il test uncertainty ratio (Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratioDue misure dello stesso misurando sono compatibili se, con lo stesso fattore di copertura, i loro intervalli di incertezza si sovrappongono ($|x_1-x_2|\le U_1+U_2$). La miglior stima da più misure compatibili è la media pesata $\hat x=\sum w_nx_n$ con pesi $w_n=\frac{1/u_n^2}{\sum1/u_i^2}$ e incertezza $u=1/\sqrt{\sum1/u_i^2}$, sempre $\le$ della minore tra le $u_n$. Il test uncertainty ratio $\mathrm{TUR}=U/\text{tolleranza}$ misura l'idoneità dello strumento: si cerca $\le1/4$, meglio $1/10$.Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio →).

Esempio 3 (compitino del 2018). Resistore da $120\ \Omega$ con tolleranza $5\%$, misurato con lo stesso multimetro (tabella della dispensa, colonna "1 anno, $T_{cal}\pm5\ ^\circ$C"). Il campo è $300\ \Omega$ (il più piccolo che contiene $120\ \Omega$): coefficienti $0{,}017\%$ della lettura e $5$ counts; sul campo $300\ \Omega$ il display mostra fino a $399{,}999\ \Omega$, quindi un count vale $1\ \text{m}\Omega$ e $$U=\frac{0{,}017}{100}\cdot120+5\cdot0{,}001=0{,}0204+0{,}005=0{,}0254\ \Omega$$ (più $0{,}2\ \Omega$ se la misura è a due fili). Per un resistore da $220\ \text{k}\Omega$ ($10\%$) il campo è $300\ \text{k}\Omega$ (riga "$3\ \text{k}\Omega$-$300\ \text{k}\Omega$": $0{,}016\%$ e $2$ counts da $1\ \Omega$): $U=0{,}00016\cdot220\,000+2\cdot1=35{,}2+2=37{,}2\ \Omega$. In entrambi i casi la tolleranza del componente non entra nell'incertezza dello strumento: serve solo a verificare che $U$ sia molto più piccola della tolleranza ($0{,}0254\ \Omega$ contro $\pm6\ \Omega$).

Nel calcolo si può usare il valore nominale invece della lettura: la differenza è trascurabile rispetto agli altri contributi.

Le specifiche dell'oscilloscopio

L'oscilloscopio ha specifiche di forma simile, ma legate alle quantità del display (Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopioCon i cursori si misurano intervalli di tempo e di tensione; la risoluzione ($\Delta x=T_w/1000$, $\Delta y=FS/2^8$) vale come incertezza assoluta con $u=\Delta/\sqrt3$ (e il manuale dà formule per l'incertezza estesa, $k=2$). Periodo su $n$ periodi: $\Delta x/n$. Grandezze derivate si trattano con la propagazione: pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ e guadagno $G=\Delta y_2/\Delta y_1$ con le incertezze relative in quadratura; duty cycle $D=\tau/T$ (la base dei tempi non conta, restano le risoluzioni); sfasamento $\varphi=360^\circ,\tau_d/T$; durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ con $u(T_s)=\sqrt2,u(t)$. Per $V_0$ e $V_{DC}$ da due cursori: $\frac{V_{C1}-V_{C2}}2$ e $\frac{V_{C1}+V_{C2}}2$.Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio →):

• risoluzione dei cursori: sull'asse orizzontale è un intervallo di $T_w/1000$ (la finestra $T_w=10\cdot$ s/div è divisa in $1000$ intervalli): a $5\ \mu$s/div, $\Delta x=50\ \mu\text{s}/1000=50$ ns; sull'asse verticale è un livello del convertitore a $8$ bit: $\Delta y=\frac{8\cdot\text{V/div}}{2^8}$ ($31{,}25$ mV a $1$ V/div, $6{,}25$ mV a $200$ mV/div). L'incertezza è uniformemente distribuita nell'intervallo $\pm\Delta$ e quindi $u=\Delta/\sqrt3$;
• formule del manuale ($k=2$): Time accuracy $=\pm[\text{base tempi}\times\text{lettura}+0{,}0016\times\text{larghezza schermo}+200\ \text{ps}]$; DC vertical accuracy $=\pm[\text{gain}+\text{offset}+0{,}25\%\,\text{FS}]$ con gain $3\%$ FS e offset $0{,}1$ div $+\,2$ mV $+\,1\%$ offset impostato; Dual cursor accuracy $=\pm[2{,}0\%+0{,}5\%]\,\text{FS}$.

Con la base dei tempi data in ppm (parti per milione, $1\ \text{ppm}=10^{-6}$): $\pm100$ ppm su $168\ \mu$s sono $\pm16{,}8$ ns, trascurabili rispetto alla risoluzione di $200$ ns.

Combinare tipo A e tipo B

L'incertezza globale di una grandezza che ha contributi di entrambi i tipi è $$u_X=\sqrt{u_A^2+u_{1,B}^2+\dots+u_{M,B}^2},$$ e si calcola l'estesa moltiplicando per il $k$ scelto (di solito lo stesso per tutte le grandezze). Se il misurando è funzione di più grandezze, si usa la legge di propagazione (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →).

Errori comuni

• Usare la semiampiezza per la larghezza, o viceversa: nella uniforme $u=a/\sqrt3$ con $a$ semiampiezza ($u=\frac{x_{max}-x_{min}}{2\sqrt3}$).
• Prendere $U$ del manuale come incertezza standard: va divisa per $k$.
• Scegliere un fondo scala troppo ampio (il termine in % FS pesa di più) o troppo stretto (il segnale satura).
• Usare i coefficienti di una banda di frequenza sbagliata (per un segnale non sinusoidale conta la fondamentale, tema febbraio 2023: $f_0=1/T=6{,}7$ Hz).
• Trascurare la risoluzione dei cursori quando le altre componenti sono più piccole.