Esercizio 7progetto di una sonda passiva (temi d'esame gennaio 2023, febbraio 2025 e settembre 2020)

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Teoria usata: Sonde passive per oscilloscopioLa sonda passiva è una rete $R_p\parallel C_p$ in serie all'ingresso $R_i\parallel C_i$ dell'oscilloscopio: riduce il carico (impedenza equivalente $R_{eq}=R_i+R_p$, $C_{eq}=C_iC_p/(C_i+C_p)$) e attenua il segnale. Con $V_i/V_s=Z_i/(Z_i+Z_p)$ la condizione di compensazione $R_iC_i=R_pC_p$ rende il rapporto indipendente dalla frequenza: $V_i=\alpha V_s$, $\alpha=\frac{R_i}{R_i+R_p}$ (sonda $\times10$: $\alpha=\frac1{10}$, $R_p=9R_i$, $C_p=C_i/9$). Si verifica con un'onda quadra: Cp troppo grande dà picchi sui fronti, troppo piccola fronti arrotondati. Si moltiplica la lettura per $1/\alpha$ o si imposta il fattore della sonda.Sonde passive per oscilloscopio →, Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingressoLo stadio d'ingresso dell'oscilloscopio è un doppio bipolo con impedenza $Z_i=R_i\parallel C_i$ ($1\ \mathrm{M}\Omega$, decine di pF) e risposta $G(f)$ in banda $B$. Senza distorsione: $|G|$ costante e fase lineare. Tempo di salita dello strumento $T_r=0{,}35/B$; un fronte di durata $T_s$ si vede lungo $T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}$, con errore $\simeq\frac12(T_r/T_s)^2$. Accoppiamento AC: capacità $C_{ac}$ in serie, filtro passa-alto $H(s)=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}}$, $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ ($7{,}96$ Hz per $20$ nF); alla frequenza $f$: $|H|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}$. Toglie la componente continua ma attenua e deforma le componenti lente.Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

Il modello

Sonda: $R_p\parallel C_p$ in serie all'ingresso $R_i\parallel C_i$. La tensione ai capi del DSO è $V_d=V_p\dfrac{Z_i}{Z_i+Z_p}$. La condizione di compensazione e l'attenuazione sono (in tutti e tre i casi) $$R_iC_i=R_pC_p=\tau,\qquad\frac{V_d}{V_p}=\frac{R_i}{R_i+R_p}=\alpha_{eff}\ (<1),\qquad R_p=\Big(\frac1{\alpha_{eff}}-1\Big)R_i,\quad C_p=\frac{R_iC_i}{R_p}.$$ Nei temi (b) e (c) "fattore di attenuazione $\alpha=10$ o $100$" significa $V_p/V_d=10$ o $100$, quindi $\alpha_{eff}=\frac1{10}$ o $\frac1{100}$.

(a) Gennaio 2023

1. Senza sonda. Con $R_i\gg R_G$: partitore resistivo $\frac{R_i}{R_i+R_G}\simeq0{,}99$; costante di tempo $\tau\simeq R_G C_i=10^4\cdot18\cdot10^{-12}=0{,}18\ \mu$s e frequenza di taglio $f_t=\frac1{2\pi R_GC_i}=884$ kHz. A $f_0=500$ kHz: $$|V_D(f_0)|=|V_G|\frac1{\sqrt{1+(f_0/f_t)^2}}=\frac1{\sqrt{1+(500/884)^2}}=0{,}87\ \text{V}.$$ (Il calcolo esatto con il partitore completo dà $0{,}864$ V.) L'ampiezza è ridotta del $13\%$ dalla capacità.

2. Sonda $\alpha=0{,}25$. $\tau=R_iC_i=10^6\cdot18\cdot10^{-12}=18\ \mu$s. Da $\alpha=\frac{R_i}{R_i+R_p}$: $R_p=\frac{1-\alpha}\alpha R_i=\frac{0{,}75}{0{,}25}\cdot1\ \text{M}\Omega=3$ M$\Omega$, e $C_p=\frac\tau{R_p}=\frac{18\ \mu\text{s}}{3\ \text{M}\Omega}=6$ pF.

3. Impedenza equivalente. Sorgente $\to$ serie $Z_p+Z_i$: $$Z_{eq}=\frac{R_p}{1+sR_pC_p}+\frac{R_i}{1+sR_iC_i}=\frac{R_p+R_i}{1+s\tau}=\frac{R_{eq}}{1+sR_{eq}C_{eq}},\quad R_{eq}=R_i+R_p=4\ \text{M}\Omega,\quad C_{eq}=\frac\tau{R_{eq}}=4{,}5\ \text{pF}.$$ $C_{eq}$ è la serie $\frac{C_pC_i}{C_p+C_i}=\frac{6\cdot18}{24}=4{,}5$ pF. Con questa sonda il taglio della sorgente passa a $f_t'=\frac{R_{eq}+R_G}{2\pi\tau R_G}=3{,}55$ MHz; a $500$ kHz il segnale sul DSO è $0{,}25\cdot0{,}988=0{,}247$ V e, dopo aver moltiplicato per $\frac1\alpha=4$, si legge $0{,}988$ V: errore $-1{,}2\%$ invece di $-13\%$.

(b) Febbraio 2025

Schema: sonda ($R_p$ in parallelo a $C_p$) in serie all'ingresso del DSO ($R_i$ in parallelo a $C_i$); grandezze note $R_i$, $C_i$ e rapporto $\alpha_{eff}=\frac1{10}$.

Condizione di compensazione. La funzione di trasferimento è $$\frac{V_d}{V_p}=\frac{Z_i}{Z_i+Z_p}=\frac{R_i(1+sR_pC_p)}{(R_i+R_p)+sR_iR_p(C_i+C_p)}=\frac{R_i}{R_i+R_p}\cdot\frac{1+sR_pC_p}{1+s\,\frac{R_iR_p(C_i+C_p)}{R_i+R_p}}.$$ È indipendente da $s$ (cioè dalla frequenza) quando i due termini $1+s\cdot(\dots)$ coincidono: $\frac{R_iR_p(C_i+C_p)}{R_i+R_p}=R_pC_p$, da cui $R_i(C_i+C_p)=(R_i+R_p)C_p$ e quindi $R_iC_i=R_pC_p$. In tal caso $\frac{V_d}{V_p}=\frac{R_i}{R_i+R_p}$.

Componenti. $\frac{R_i}{R_i+R_p}=\frac1{10}\Rightarrow R_p=9R_i=9$ M$\Omega$; $C_p=\frac{R_iC_i}{R_p}=\frac{C_i}9=\frac{25}9=2{,}78$ pF. Carico visto dalla sorgente: $R_{eq}=10$ M$\Omega$, $C_{eq}=\frac{C_pC_i}{C_p+C_i}=2{,}5$ pF.

(c) Settembre 2020

$\alpha_{eff}=\frac1{100}$: $R_p=99\,R_i=99$ M$\Omega$ e $C_p=\frac{R_iC_i}{R_p}=\frac{15\ \text{pF}}{99}=0{,}15$ pF. Impedenza equivalente: $R_{eq}=R_i+R_p=100$ M$\Omega$ e $C_{eq}=\frac{15}{100}=0{,}15$ pF: la sorgente vede cento volte meno carico, sia resistivo sia capacitivo ($C_{eq}=C_i/n$).

Effetto sul segnale visualizzato: le ampiezze sono divise per $100$: $V_d=\frac{V_p}{100}$. Un segnale da $1$ V diventa $10$ mV: è necessario moltiplicare per $100$ le letture (o indicare allo strumento il fattore della sonda), e il segnale ridotto va visualizzato con una scala verticale più sensibile; il rapporto segnale/rumore peggiora, quindi una sonda $\times100$ si usa per segnali molto grandi (centinaia di volt).

Errori comuni

• Porre $R_p=\alpha R_i$ (invece di $(1/\alpha-1)R_i$) o confondere la convenzione di $\alpha$ ($V_d/V_p$ oppure $V_p/V_d$).
• Calcolare $C_p=C_i$ o $C_p=\alpha C_i$ invece di $\frac{R_iC_i}{R_p}$.
• Dimenticare di moltiplicare per $n$ la lettura.
• Trattare $C_{eq}$ come somma $C_p+C_i$ (sono in serie).