Esercizio 25amperometro e ohmmetro costruiti con un voltmetro (temi d'esame febbraio 2026 e prova di esempio 2026)

Teoria usata: Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetroCon un voltmetro e un amperometro si ricava $R_x=V/I$ in due modi: voltmetro in parallelo a $R_x$ (misura $R_x\parallel R_V$, errore $\frac{R_x^2}{R_x+R_V}$) oppure amperometro in serie a $R_x$ e voltmetro su entrambi (misura $R_x+R_A$, errore $R_A$); il primo conviene per $R_x<\sqrt{R_AR_V}$. Dal voltmetro si ricava un amperometro con un resistore di shunt ($I=V_m/R_s$, $R_s=V_{FS}/I_{FS}$) e un ohmmetro con una corrente di prova nota o con un resistore di riferimento; con le specifiche si fissa il limite sull'incertezza dell'elemento aggiunto: $U_{agg}=\sqrt{U_{tot}^2-U_V^2}$ (relative, al fondo scala).Misura volt-amperometrica, shunt e strumenti derivati dal voltmetro →, Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →.

(a) Amperometro con shunt

1. Configurazione. Un amperometro in continua si ottiene facendo passare la corrente incognita in un resistore di shunt $R_s$ noto e misurando con il voltmetro la tensione ai capi: $I=\frac{V_m}{R_s}$. Lo schema è il voltmetro in parallelo allo shunt; lo shunt è in serie al circuito.

2. Dimensionamento. Un amperometro dovrebbe avere resistenza interna nulla: lo shunt, che costituisce la resistenza interna, deve essere piccolo e la tensione ai suoi capi (burden voltage) piccola. Questo si traduce nel far corrispondere al fondo scala di corrente il più piccolo fondo scala di tensione disponibile, $100$ mV (si minimizza anche la potenza $V_{FS}I_{FS}$, per evitare il riscaldamento dello shunt che ne altererebbe il valore). Per $1$ A: $R_s=\frac{0{,}1}1=0{,}1\ \Omega$ ($100$ mW) oppure con $1$ V: $1\ \Omega$ ($1$ W). Per $100$ mA, $10$ mA, $1$ mA non si può usare lo stesso resistore (al fondo scala di corrente non corrisponderebbe un fondo scala di tensione): campo $100$ mV con $R_s=1\ \Omega$, $10\ \Omega$, $100\ \Omega$ rispettivamente.

Incertezza. Le specifiche sono incertezze estese. In relativo, con $x$ la lettura e $FS$ il fondo scala, $$u_{V}^{ext}=\pm\Big[0{,}003\%+0{,}0005\%\frac{FS}x\Big],\qquad u_I^{ext}=\pm\Big[0{,}007\%+0{,}006\%\frac{FS}x\Big].$$ Per lo shunt il rapporto $FS/x$ è lo stesso per tensione e corrente (legge di Ohm). Nel caso di riferimento $FS/x=1$ (lettura a fondo scala, massima incertezza assoluta) i due intervalli diventano $\pm0{,}0035\%$ e $\pm0{,}013\%$. Voltmetro e shunt contribuiscono in quadratura: $U_I^2=U_V^2+U_{R}^2$, quindi $$U_R=\sqrt{U_I^2-U_V^2}=\sqrt{0{,}013^2-0{,}0035^2}\ \%=0{,}0125\%,$$ cioè $0{,}125$ ‰. Lo shunt va garantito entro $\pm0{,}0125\%$: $0{,}1\ \Omega\pm12{,}5\ \mu\Omega$ (o $1\ \Omega\pm125\ \mu\Omega$), in stabilità di temperatura. La specifica totale è praticamente occupata dallo shunt.

(b) Ohmmetro dal voltmetro

1. Configurazioni. Due schemi, entrambi validi:

• Corrente di prova nota: un generatore di corrente $I_{test}$ attraversa $R_x$ e il voltmetro misura $V_{mis}$: $R_x=\frac{V_{mis}}{I_{test}}$. L'incertezza dipende direttamente da quella del generatore.
• Resistore di riferimento $R$ noto in serie con $R_x$ (stessa corrente di prova): il voltmetro misura le due tensioni e $R_x=R\,\frac{V_x}{V_R}$. Ora conta l'accuratezza di $R$ (e il rapporto tra due tensioni, con incertezza al più quella del voltmetro); la stabilità della corrente è meno critica.

2. Limite della corrente di prova. $I_{test}$ deve essere abbastanza piccola perché la potenza dissipata nel resistore misurato non ne scaldi il materiale alterandone il valore: $P=R_xI_{test}^2\le P_{max}$. Con $P_{max}=0{,}1$ W e fondo scala $100$ k$\Omega$: $I_{test}\le\sqrt{\frac{0{,}1}{10^5}}=1$ mA e $V_{mis}\le100$ V. Si pone $I_{test}=1$ mA: al fondo scala $100\ \Omega$ la tensione è $100$ mV (esattamente il campo minimo del voltmetro, potenza $0{,}1$ mW); con $1$ k$\Omega$, $10$ k$\Omega$, $100$ k$\Omega$ le tensioni di fondo scala sono $1$ V, $10$ V, $100$ V, ognuna corrispondente a un campo del voltmetro. Con $I_{test}=1$ mA fissa si coprono tutti i campi di resistenza cambiando il campo del voltmetro.

3. Incertezza dell'elemento aggiunto. Specifiche relative con $x$ lettura: $U_V=\pm[0{,}02\%+0{,}005\%\frac{FS}x]$ e $U_{R_x}=\pm[0{,}05\%+0{,}07\%\frac{FS}x]$; poiché $\frac{FS}x$ è lo stesso nelle due (la proporzionalità di Ohm e la stessa corrente), nel caso $FS/x=1$: $\pm0{,}025\%$ e $\pm0{,}12\%$. Combinazione in quadratura (stesso $k$): per lo schema della corrente nota $U_{R_x}^2=U_V^2+U_I^2$, per quello del resistore di riferimento $U_{R_x}^2=U_V^2+U_{R}^2$; in entrambi i casi $$U_{agg}=\sqrt{0{,}12^2-0{,}025^2}\ \%=0{,}117\%\simeq0{,}12\%.$$ La corrente di prova (o il resistore di riferimento, a seconda dello schema) deve essere garantita entro $\pm0{,}12\%$ e di fatto determina la prestazione dell'intero strumento (il voltmetro pesa $0{,}025\%$, un quinto).

Verifica numerica

import numpy as np
print(np.sqrt(0.013**2 - 0.0035**2))     # shunt: 0.0125 %
print(np.sqrt(0.12**2 - 0.025**2))       # ohmmetro: 0.117 %
print(0.003+0.0005, 0.007+0.006, 0.02+0.005, 0.05+0.07)   # valori a FS/x = 1

Errori comuni

• Combinare le incertezze in modulo invece che in quadratura (sottraendo $0{,}013-0{,}0035$ si otterrebbe $0{,}0095\%$ invece di $0{,}0125\%$).
• Porre $FS/x$ diverso nelle due specifiche (a parità di lettura il rapporto è comune).
• Scegliere $I_{test}$ solo per far coincidere i campi, senza il vincolo di potenza.
• Usare uno shunt grande "per avere più segnale": aumenta il burden voltage e il riscaldamento.