Misurare - errori sistematici, scarti casuali e risultato di misura

Misurare vuol dire confrontare una grandezza con una grandezza omogenea presa come unità. Su qualunque misura agiscono l'operatore, il metodo, lo strumento e l'ambiente: per questo il numero letto sullo strumento non coincide con il valore verovalore della grandezza nel momento della misura; non è mai noto e non è conoscibile del misurando. Si può solo dare una stima e dire quanto è affidabile: la misura di quanta conoscenza manca è l'incertezza. Questa nota fissa il vocabolario che serve per le note successive (Incertezza di tipo A e distribuzione di StudentL'incertezza di tipo A si ricava da $N$ misure ripetute in condizioni di ripetibilità: miglior stima $\hat X=\frac1N\sum x_i$, deviazione standard campionaria $s=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\hat X)^2}$, incertezza standard $u_A=s/\sqrt N$ (deviazione standard della media). L'estesa è $U=k,u_A$ con $k=2$ per un 95% approssimato, oppure $k=t_{\nu,p}$ della distribuzione di Student con $\nu=N-1$ gradi di libertà se $N<30$ ($N=10$, 95%: $k=2{,}26$). Non serve ripetere la misura se la variabilità è sotto la risoluzione dello strumento.Incertezza di tipo A e distribuzione di Student →, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →, Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →), che seguono la GUMGuide to the Expression of Uncertainty in Measurement, guida internazionale del 2008 recepita in Italia dalla norma UNI CEI 13005.

Grandezze fondamentali e Sistema Internazionale

Misurare significa riferirsi a un'unità. Il Sistema Internazionale (SI) fissa sette grandezze di base: lunghezza (metro), massa (chilogrammo), tempo (secondo), corrente elettrica (ampere), temperatura termodinamica (kelvin), quantità di sostanza (mole), intensità luminosa (candela). Dal 2019 le unità non sono più definite da campioni fisici (il chilogrammo campione di platino-iridio) ma dal valore fissato di costanti fondamentali della fisica (la velocità della luce, la costante di Planck, la carica elementare, la costante di Boltzmann...), che rende riproducibile la definizione in ogni laboratorio. Gli strumenti si riferiscono a campioni secondari tramite la catena di taratura (un campione di resistenza da $100\ \Omega$ o di tensione da $10$ V in un laboratorio accreditato), con una incertezza che cresce a ogni passaggio.

Il modello additivo: scostamenti sistematici e scarti casuali

Si ripete $N$ volte la misura di una grandezza costante $x$. Ogni lettura si può scrivere $$\hat x(n)=x+e_s+e_n(n),\qquad n=1,\dots,N.$$

• $e_s$ è lo scostamento sistematico: costante in tutte le ripetizioni, sposta ogni lettura nella stessa direzione (per esempio la resistenza dei cavi in una misura a due fili, un'attenuazione dell'ingresso dell'oscilloscopio). Non si vede ripetendo la misura: se ne ricava una stima solo con informazioni esterne (taraturaconfronto periodico dello strumento con un campione di riferimento, con eventuale regolazione, per ridurre gli scostamenti sistematici, modello dello strumento) e allora lo si corregge; in tal caso si parla di errore sistematico. Anche dopo la correzione resta un residuo dovuto all'imperfezione dei campioni di riferimento.
• $e_n(n)$ è lo scarto casuale: varia a ogni misura per cause non controllate (rumorefluttuazioni casuali del segnale o dello strumento, risoluzione, variazioni ambientali), ha media nulla e si riduce mediando su molte misure. Se la variabilità è inferiore alla risoluzione dello strumento le ripetizioni danno sempre lo stesso numero e non servono a niente.

Per ricavare l'incertezza di quel che resta (sistematici non corretti, residui di taratura) si ragiona in modo probabilistico: si modellano con una variabile aleatoria e se ne calcola la deviazione standardradice della varianza: misura la dispersione dei valori attorno alla media (tipo B, Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →).

Esempio. Un resistore da $12\ \Omega$ viene misurato a due fili con cavi da $0{,}1\ \Omega$ ciascuno: ogni lettura vale circa $12{,}2\ \Omega$ invece di $12{,}0\ \Omega$. Lo scostamento sistematico $2R_L=0{,}2\ \Omega$ è noto e correggibile; la misura a quattro fili lo elimina (Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevateIl DMM misura una resistenza forzando una corrente nota $I_{REF}$ e misurando la tensione: $\hat R_x=V_{mis}/I_{REF}$ (componente staccato dal circuito). A due fili la tensione include i cavi: $\hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}$, errore sistematico $2R_L$ (relativo $2R_L/R_x$): inaccettabile per $R_x$ piccole. A quattro fili (Kelvin) due fili portano la corrente e due, con ingresso ad alta impedenza, misurano la tensione direttamente ai capi di $R_x$: $\hat R_x=R_x$. Per resistenze elevate si pone in parallelo una $R_p$ nota: $R=R_x\parallel R_p$ e $\hat R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$, con $R_p$ scelta in modo che $I_{REF},(R_{x,max}\parallel R_p)\le V_{FS,ADC}$.Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate →).

Altri termini che compaiono nelle specifiche: risoluzionepiù piccola variazione del misurando che lo strumento riesce a distinguere (il valore dell'ultima cifra), ripetibilitàvicinanza tra misure ripetute nelle stesse condizioni, con lo stesso strumento e lo stesso operatore, riproducibilitàvicinanza tra misure dello stesso misurando ottenute con strumenti, operatori o condizioni diverse, accuratezzavicinanza tra valore misurato e valore vero. La taratura riduce gli scostamenti sistematici (agisce sull'accuratezza); l'analisi dell'incertezza quantifica la dispersione.

Che cos'è l'incertezza

L'incertezza di misura è un parametro associato al risultato che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Ne esiste una forma "standard" e una "estesa":

• l'incertezza standard $u(x)$ è un numero che quantifica la dispersione: per le distribuzioni gaussiane è la deviazione standard (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →);
• l'incertezza estesa $U(x)$ è la semiampiezza dell'intervallo che contiene il valore vero con una probabilità data.

Il risultato di una misura è l'intervallo $I=[\hat x-U(x),\ \hat x+U(x)]$ e si scrive $\hat x\pm U(x)$. La probabilità $p$ che il valore vero sia in $I$ è il livello di confidenzaprobabilità, tipicamente 95%-99%, che il valore vero appartenga all'intervallo di incertezza estesa. Il legame si stabilisce con il fattore di coperturanumero $k$ per cui si moltiplica l'incertezza standard per ottenere quella estesa $k$: $$U(x)=k\,u(x).$$ Per una distribuzione gaussiana $k=1,2,3$ coprono il $68{,}27\%$, il $95{,}45\%$, il $99{,}73\%$ dei valori; per i livelli usuali $p=90\%\to k=1{,}64$, $p=95\%\to k=1{,}96$, $p=99\%\to k=2{,}58$. Nella pratica si prende $k=2$ per circa il 95% e $k=3$ per circa il 99%. Se il risultato è dato senza dire $k$ o la probabilità, il livello di confidenza non è definito.

L'incertezza non può mai essere resa nulla (strumenti, campioni, interazione strumento-circuito, definizione del misurando): dipende da un compromesso tra qualità e costo.

Come si scrive il risultato

Il risultato completo ha tre elementi: valore, unità di misura, incertezza (e, se utile, $k$ e le condizioni).

• l'incertezza si indica senza segno ($U$ per l'estesa, $u$ per la standard);
• l'incertezza estesa si scrive con una cifra significativa, arrotondata per eccesso ($U=0{,}13\to0{,}2$); l'incertezza relativa con due cifre significative;
• il valore misurato ha lo stesso numero di cifre decimali dell'incertezza e la stessa unità: $12{,}34\pm0{,}01$ k$\Omega$, $120\pm1$ mV;
• nelle soluzioni dei temi si vedono spesso due cifre nei risultati intermedi (per esempio $0{,}13\ \Omega$): è corretto per i calcoli, la forma finale segue la regola della cifra singola.

Esempio: il risultato dell'oscilloscopio $S=0{,}6857$ V/$\mu$s con incertezza estesa relativa dell'$1{,}5\%$ ha $U=0{,}0103$ V/$\mu$s e si scrive $S=0{,}69\pm0{,}02$ V/$\mu$s: l'incertezza viene arrotondata per eccesso a una cifra, $0{,}0103\to0{,}02$, e il valore a due decimali.

Quanto deve valere l'incertezza

Se una misura serve a verificare una tolleranzascostamento massimo dichiarato dal costruttore tra valore nominale e valore effettivo, la qualità richiesta è di un ordine di grandezza migliore: per un resistore dato entro $\pm5\%$ basta misurare con $\pm0{,}5\%$ o anche $\pm1\%$; un'incertezza più piccola è inutile e costa di più. Il rapporto $U/\text{tolleranza}$ si chiama test uncertainty ratio (si cerca $\le1/4$, meglio $\le1/10$; Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratioDue misure dello stesso misurando sono compatibili se, con lo stesso fattore di copertura, i loro intervalli di incertezza si sovrappongono ($|x_1-x_2|\le U_1+U_2$). La miglior stima da più misure compatibili è la media pesata $\hat x=\sum w_nx_n$ con pesi $w_n=\frac{1/u_n^2}{\sum1/u_i^2}$ e incertezza $u=1/\sqrt{\sum1/u_i^2}$, sempre $\le$ della minore tra le $u_n$. Il test uncertainty ratio $\mathrm{TUR}=U/\text{tolleranza}$ misura l'idoneità dello strumento: si cerca $\le1/4$, meglio $1/10$.Compatibilità tra misure, media pesata e test uncertainty ratio →). Lo stesso criterio è alla base della scelta dello strumento: per misurare il resistore da $150\ \Omega$ con tolleranza $1\%$ (cioè $\pm1{,}5\ \Omega$) un'incertezza estesa di $0{,}13\ \Omega$, un ordine di grandezza sotto, rende la misura sensata (Esercizio 18 · dieci misure ripetute di una resistenza (esercizio del corso)).

Esempio con il codice a colori: bande grigio, rosso, arancione, oro significano $8$, $2$, $\times10^3$, $\pm5\%$: resistore da $82$ k$\Omega$ con valore effettivo compreso tra $77{,}9$ e $86{,}1$ k$\Omega$.

Errori comuni

• Dire "l'errore è $\pm0{,}5$" senza distinguere sistematico e casuale: il primo si corregge, il secondo si media.
• Confondere incertezza standard ($u$) ed estesa ($U=ku$) nel dare il risultato o nel passare da una all'altra.
• Dare più cifre significative di quante l'incertezza giustifichi (valore $12{,}3456$ con $U=0{,}2$) o un numero di decimali diverso tra valore e incertezza.
• Considerare l'incertezza come "l'errore commesso": il valore vero non è noto e l'incertezza è un intervallo, non una differenza.