Misure con i cursori e incertezza dell'oscilloscopio

Le due coppie di cursoridue linee mobili sul display, orizzontali o verticali, di cui lo strumento mostra la distanza (orizzontali e verticali) sono lo strumento standard con cui si trasforma la traccia visualizzata in numeri: il tema chiede quasi sempre di disegnare dove si posizionano, di leggere il valore e di dare l'incertezza. Qui si mettono insieme le regole di posizionamento e i modelli di incertezza, che si applicano poi alle misure derivate (pendenzavariazione di tensione per unità di tempo lungo un fronte, duty cyclerapporto tra durata dell'impulso e periodo, guadagno, sfasamentodifferenza di fase tra due segnali alla stessa frequenza).

Dove posizionare i cursori

• Intervalli di tempo e durate di un impulso: a metà dei fronti (livello 50%), dove la pendenza è massima: un piccolo errore di posizione verticale produce un errore piccolo nell'asse dei tempi. Per il tempo di salitatempo per passare dal 10% al 90% dell'ampiezza di un fronte si usano i livelli $10\%$ e $90\%$.
• Periodo: misurare un intervallo corrispondente al massimo numero intero di periodi visibili e dividere: la risoluzionepiù piccola variazione distinguibile: un pixel in orizzontale, un livello del convertitore in verticale $\Delta x$ si divide per quel numero. I fronti più ripidi (di discesa in una rampa) dànno meno incertezza, ma devono stare dentro lo schermo. Conviene allinearsi alla griglia (due punti dove una riga della griglia interseca la traccia).
• Ampiezza: si usa il valore picco-piccodifferenza tra massimo e minimo del segnale (due cursori orizzontali, uno al massimo, uno al minimo): non risente della componente continua, né dell'offset del segnale. Per tracce rumorose si posizionano i cursori a mano sul valore medio dei picchi (o si usa l'averagingmedia di più acquisizioni successive per ridurre il rumore dello strumento: la funzione automatica "peak-to-peak" include anche i picchi di rumore).
• Pendenza di un fronte: i cursori verticali agli estremi della zona lineare del fronte; i cursori orizzontali nei punti in cui la traccia interseca i cursori verticali. Meglio posizioni leggermente discoste dallo zero e dal picco, dove il fronte è davvero lineare, e con $\Delta y$ grande.
• Frequenza: reciproco del periodo, con la stessa incertezza relativa.
• Sfasamento: ritardo tra due canali (stessa base dei tempiasse orizzontale dell'oscilloscopio e la sua accuratezza in ppm e stesso trigger) tra i punti in cui attraversano lo stesso livello di riferimento.

Il modello della risoluzione

L'incertezza dovuta al posizionamento di un cursore è la risoluzione: un intervallo $\pm\Delta$ in cui il vero valore si trova con distribuzione uniforme (Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumentiL'incertezza di tipo B si ricava da informazioni a priori (manuale, tolleranza, risoluzione, taratura) assegnando una densità di probabilità al misurando. Estesa $U$ con fattore $k$ dato: $u=U/k$; intervallo $\pm a$ con probabilità 100% (tolleranza, risoluzione): distribuzione uniforme, $u=a/\sqrt3$; trapezoidale $u=a\sqrt{(1+\beta^2)/6}$ (triangolare $a/\sqrt6$). Le specifiche dei multimetri sono nella forma $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ (più eventuali counts e $0{,}2\ \Omega$ a due fili), valida per fondo scala, banda di frequenza e tempo dalla taratura; l'oscilloscopio ha formule per cursori e per la risoluzione ($T_w/1000$ in orizzontale, $FS/2^8$ in verticale).Incertezza di tipo B - distribuzioni e specifiche degli strumenti →): $$u(\text{cursore})=\frac\Delta{\sqrt3},\qquad U=k\,u.$$

• orizzontale: $\Delta x=\dfrac{T_w}{1000}$: a $5\ \mu$s/div, $50$ ns; a $20\ \mu$s/div, $200$ ns; a $100\ \mu$s/div, $1\ \mu$s;
• verticale: $\Delta y=\dfrac{8\,\Delta V}{2^8}$: a $1$ V/div, $31{,}25$ mV; a $200$ mV/div, $6{,}25$ mV.

A questa si aggiunge, per le misure assolute di tempo, la accuratezza della base dei tempi (per esempio $100$ ppmparti per milione: 1 ppm vale 10 alla meno 6 della lettura). Se è piccola rispetto alla risoluzione si trascura: su $168\ \mu$s sono $16{,}8$ ns contro $200$ ns, un ordine di grandezza meno. In una misura relativa (rapportoquoziente tra due grandezze misurate di due intervalli dello stesso segnale) l'errore della base dei tempi è un fattore comune e si semplifica.

Alternativa: formule del manuale per l'incertezza estesa ($k=2$) in funzione di fondo scalaampiezza totale dell'asse verticale, 8 divisioni per i volt per divisione, lettura e larghezza dello schermo:

Qui $FS=8\,\Delta V$ e "larghezza dello schermo" è $T_w$. Per misurare $T_R=12$ ms su $T_w=20$ ms: $U=50\cdot10^{-6}\cdot12\ \text{ms}+0{,}0016\cdot20\ \text{ms}+200\ \text{ps}=0{,}6\ \mu\text{s}+32\ \mu\text{s}=32{,}6\ \mu\text{s}$: domina il termine $0{,}0016\,T_w$, perciò conviene scegliere la scala più veloce possibile che mostri l'intervallo. Per $\Delta V$ tra due cursori a $1$ V/div: $U=0{,}03\cdot8+0{,}1+0{,}002+0{,}0025\cdot8=0{,}362$ V (offset nullo; la soluzione del tema di gennaio 2023 riporta $0{,}38$ V perché somma $0{,}02$ al posto di $2$ mV).

Misure derivate

Durata di un fronte $T_s=t_2-t_1$ misurata con due cursori ($c_1=-1$, $c_2=+1$, indipendenti, stessa incertezza): non è un prodotto, quindi non si usano le relative: $$u(T_s)=\sqrt{u(t_1)^2+u(t_2)^2}=\sqrt2\,u(t).$$ Con $\Delta x=10\ \mu$s ($10$ ms$/1000$): $u(t)=10/\sqrt3=5{,}8\ \mu$s e $u(T_s)=8{,}2\ \mu$s; con le formule del manuale $U(T_s)=3\cdot10^{-6}\cdot5\ \text{ms}+0{,}0016\cdot10\ \text{ms}+100\ \text{ps}=16\ \mu$s, maggiore di un pixel ($10\ \mu$s) ma dello stesso ordine.

Pendenza $S=\Delta y/\Delta x$ (rapporto): incertezze relative in quadratura (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →), $$\frac{u(S)}S=\sqrt{\Big(\frac{u(\Delta x)}{\Delta x}\Big)^2+\Big(\frac{u(\Delta y)}{\Delta y}\Big)^2}.$$ Esempio (gennaio 2026): $\Delta y=3{,}6$ V, $\Delta x=1{,}05$ div $=5{,}25\ \mu$s a $5\ \mu$s/div, quindi $S=0{,}6857$ V/$\mu$s. $\Delta x_{ris}=50$ ns, $u(\Delta x)=29$ ns; $\Delta y_{ris}=31{,}25$ mV, $u(\Delta y)=18$ mV; $\frac{u(S)}S=\sqrt{(29/5250)^2+(18/3600)^2}=0{,}74\%$, con $k=2$: $1{,}5\%$, $U(S)=0{,}0102$ V/$\mu$s e $S=0{,}69\pm0{,}02$ V/$\mu$s (Esercizio 9 · impulso, pendenza, duty cycle e FFT con i cursori (tema d'esame gennaio 2026)).

Duty cycle $D=\tau/T$: rapporto di due intervalli dello stesso segnale e con la stessa base dei tempi: l'accuratezza di questa non conta, resta la risoluzione: $$\frac{u(D)}D=\sqrt{\Big(\frac{u(\tau)}\tau\Big)^2+\Big(\frac{u(T)}T\Big)^2},\quad u(\tau)=u(T)=\frac{\Delta x}{\sqrt3}.$$ Esempio: $\tau=58\ \mu$s, $T=192\ \mu$s, $T_w=200\ \mu$s: $D=30{,}2\%$, $\Delta x=200$ ns, $u=115$ ns, $\frac{u(D)}D=0{,}21\%$, con $k=2$ $0{,}42\%$: assoluta $0{,}13$ punti percentuali, $D=(30{,}2\pm0{,}2)\%$.

Guadagno $G=V_{out,pp}/V_{in,pp}$: $\Delta y_1=1{,}067$ V ($5\tfrac13$ div a $200$ mV/div), $\Delta y_2=7$ V ($7$ div a $1$ V/div): $G=6{,}56$ ($16{,}3$ dB); $u(\Delta y_1)=\frac{6{,}25}{\sqrt3}=3{,}6$ mV, $u(\Delta y_2)=\frac{31{,}25}{\sqrt3}=18$ mV; $\frac{u(G)}G=\sqrt{(3{,}6/1067)^2+(18/7000)^2}=0{,}42\%$ e con $k=2$ $\simeq1\%$ (Esercizio 11 · guadagno e sfasamento di un amplificatore dalle due tracce (tema d'esame luglio 2026)).

Sfasamento $\varphi=360^\circ\frac{\tau_d}{T}$ tra due segnali: $\tau_d$ è il ritardo e $T$ il periodo; $\frac{u(\varphi)}\varphi=\sqrt{(\frac{u(\tau_d)}{\tau_d})^2+(\frac{u(T)}T)^2}$. Esempio: $T=310\ \mu$s (misurato con $\Delta x=0{,}5\ \mu$s sulla figura più veloce) e $\tau_d=200\ \mu$s (con $\Delta x=1\ \mu$s): $\varphi=232{,}3^\circ$, $0{,}3\%$ relativa, $U=1{,}4^\circ$. Un ritardo oltre mezzo periodo equivale a un anticipo: $232{,}3^\circ=-127{,}7^\circ$.

Semiampiezza e valore medio da due cursori. Con i cursori orizzontali ai livelli $V_{C1}$ (massimo) e $V_{C2}$ (minimo) di una sinusoide: $V_0=\dfrac{V_{C1}-V_{C2}}2$, $V_{DC}=\dfrac{V_{C1}+V_{C2}}2$, entrambe con coefficienti $\pm\frac12$ e quindi $u(V_0)=u(V_{DC})=\dfrac{u(V_C)}{\sqrt2}$. Da questi si ricava il valore efficace $V_{eff}=\sqrt{V_{DC}^2+V_0^2/2}$ e la sua incertezza con la propagazione (Esercizio 13 · semiampiezza, valore medio e valore efficace dai cursori (tema d'esame gennaio 2022)).

Quando usare altre funzioni dell'oscilloscopio

• Averaging (media di più acquisizioni): riduce il rumore di $\sqrt M$ ma solo per segnali ripetitivi stabilmente sincronizzati.
• Funzioni di misura automatiche (RMS, picco-picco, frequenza, duty cycle, tempo di salita): praticano calcoli sui campioni e includono rumore e picchi; per il valore efficace distinguono DC RMS/AC RMS e full screen/N cycles (Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodiciIl valore efficace è $V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2dt}$. Due versioni: RMS-DC (tutto il segnale, componente continua compresa) e RMS-AC (si toglie il valor medio), legate da $V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$. Sinusoide $V_0/\sqrt2$; onda rettangolare $\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)}$, AC $(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}$; triangolare/dente di sega AC $V_{pp}/(2\sqrt3)$, DC $\sqrt{(V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2)/3}$. Il multimetro true-RMS in AC dà solo l'RMS-AC; l'oscilloscopio ha le funzioni DC RMS e AC RMS, da usare su un numero intero di periodi (N cycles).Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici →).

Errori comuni

• Misurare il tempo sul 10-90% invece che sul 50% dei fronti (se non è un tempo di salita).
• Dare l'incertezza di un periodo singolo quando si poteva misurare $n$ periodi e dividere per $n$.
• Combinare la base dei tempi con la risoluzione anche in un rapporto di intervalli (duty cycle, sfasamento tra due tracce con lo stesso segnale).
• Usare le incertezze relative per una differenza (durata di un fronte): si usa $\sqrt2\,u$.
• Prendere la risoluzione come incertezza standard senza dividere per $\sqrt3$.