Banda, tempo di salita e accoppiamento AC-DC dell'ingresso

Un oscilloscopio ideale dovrebbe essere "invisibile": misurare la tensione del circuito senza disturbarlo e senza alterarla. Un oscilloscopio reale ha un canale di ingresso con un'impedenza finita e una risposta che dipende dalla frequenza. Questa nota ne descrive gli effetti: la banda, il tempo di salita, il filtro dell'accoppiamento in alternata.

Modello a doppio bipolo

Il canale di ingresso si descrive con un doppio bipolocircuito con due porte: ingresso e uscita (Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →, Amplificatori e modello a doppio bipoloUn amplificatore è una rete lineare con due porte (ingresso e uscita). A seconda che ingresso e uscita siano in tensione o in corrente ci sono quattro modelli (parametri g, z, y, h); il più usato è il modello g dell'amplificatore di tensione: v2 = g21 v1 + g22 i2, i1 = g11 v1 + g12 i2, con Av = g21, Rin = 1/g11, Rout = g22. Un amplificatore unidirezionale ha g12 = 0 e il suo guadagno complessivo è un prodotto di tre fattori: partitore di ingresso, guadagno intrinseco, partitore di uscita.Amplificatori e modello a doppio bipolo →): alla porta di ingresso c'è l'impedenza di ingresso $Z_i$, alla porta di uscita il blocco di acquisizione, con una funzione di trasferimento $G$. Idealmente si vorrebbe misurare la tensione $V_d$ sul circuito; lo strumento in realtà misura $G\cdot V_i$ dove $V_i$ è la tensione ai suoi capi (il partitorecircuito che divide la tensione tra due impedenze in serie con l'impedenza della sorgente).

L'impedenza di ingresso è il parallelo di una resistenza $R_i$ e di una capacità parassitacapacità non voluta presente nei connettori e nei cavi $C_i$ dovuta anche al connettore: $$Z_i(s)=\frac{R_i}{1+sR_iC_i},\qquad R_i\simeq1\ \mathrm{M}\Omega,\quad C_i\simeq14\text{-}25\ \text{pF}.$$ A bassa frequenza lo strumento è "carico" per la sola $R_i$ ($1$ M$\Omega$: carico infinito per sorgenti con resistenza di uscita piccola). Ad alta frequenza la capacità domina: $|Z_i|\simeq\frac1{2\pi fC_i}$, che a $100$ MHz con $C_i=18$ pF vale appena $88\ \Omega$. Con una sorgente di resistenza $R_G$ la capacità forma un filtro passa-basso con frequenza di taglio $\frac1{2\pi R_GC_i}$ (per $R_G=10$ k$\Omega$, $C_i=18$ pF: $884$ kHz) e si può correggere con una sondaaccessorio che si interpone tra circuito e ingresso per ridurre il carico (Sonde passive per oscilloscopioLa sonda passiva è una rete $R_p\parallel C_p$ in serie all'ingresso $R_i\parallel C_i$ dell'oscilloscopio: riduce il carico (impedenza equivalente $R_{eq}=R_i+R_p$, $C_{eq}=C_iC_p/(C_i+C_p)$) e attenua il segnale. Con $V_i/V_s=Z_i/(Z_i+Z_p)$ la condizione di compensazione $R_iC_i=R_pC_p$ rende il rapporto indipendente dalla frequenza: $V_i=\alpha V_s$, $\alpha=\frac{R_i}{R_i+R_p}$ (sonda $\times10$: $\alpha=\frac1{10}$, $R_p=9R_i$, $C_p=C_i/9$). Si verifica con un'onda quadra: Cp troppo grande dà picchi sui fronti, troppo piccola fronti arrotondati. Si moltiplica la lettura per $1/\alpha$ o si imposta il fattore della sonda.Sonde passive per oscilloscopio →).

Condizioni di non distorsione. Per riprodurre il segnale senza deformarlo la risposta $G(f)$ deve avere modulo costante nella banda e fase proporzionale alla frequenza (cioè solo un ritardo). Il fattore di scala verticale agisce proprio sul guadagno $G$ (Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursoriL'oscilloscopio digitale (DSO) acquisisce e visualizza tensioni in funzione del tempo: ingresso (impedenza, accoppiamento), ADC a 8 bit, memoria di acquisizione, memoria grafica, display di $10$ divisioni orizzontali e $8$ verticali. Finestra visualizzata $T_w=10,\Delta T_h$ (s/div); fondo scala verticale $FS=8,\Delta V$ (V/div). Scelta della scala: $\Delta T_h\ge T_w^{min}/10$ (per $n$ periodi, $T_w\ge nT$), $\Delta V\ge2\max(|V_{min}|,|V_{max}|)/8$ con offset nullo ($\ge V_{pp}/8$ in AC), sempre al valore 1-2-5 immediatamente superiore. Risoluzione dei cursori: orizzontale $\Delta x=T_w/1000$, verticale $\Delta y=FS/2^8$.Oscilloscopio digitale - architettura, scale e risoluzione dei cursori →).

Banda e tempo di salita

La banda passanteintervallo di frequenze entro cui l'attenuazione è inferiore a 3 dB $B$ è l'intervallo di frequenze entro cui l'attenuazione è inferiore a $3$ dB (cioè $|G|\ge\frac1{\sqrt2}$); è un dato di targa (per esempio $100$ MHz). Nel dominio del tempo corrisponde al tempo di salita $T_r$ della risposta a un gradino ideale (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →): una banda larga dà un tempo di salita breve. Si desidera una risposta senza sovraelongazionioscillazioni che superano il valore finale dopo un gradino e il più rapida possibile, tipicamente una risposta impulsiva di tipo gaussiano (nulla a che fare con la variabile aleatoria gaussiana): il suo tempo di salita, definito tra il $10\%$ e il $90\%$ del valore finale, è $$\boxed{T_r=\frac{0{,}35}{B}.}$$ Per $B=100$ MHz: $T_r=3{,}5$ ns; per $B=50$ MHz: $7$ ns. La stessa relazione vale per un sistema del primo ordine: $G=\frac1{1+s\tau}$ ha banda $B=\frac1{2\pi\tau}$ e tempo di salita (10%-90%) $\tau\ln9=2{,}2\tau$, quindi $T_rB=\frac{2{,}2}{2\pi}=0{,}35$.

Che tempo di salita si vede

Un segnale ha un fronte di durata $T_s$ (10%-90%). Lo strumento lo filtra con la sua risposta e il tempo visualizzato (misurato con i cursori sul 10% e 90%) è $$T_v=\sqrt{T_s^2+T_r^2}.$$ Si somma in quadratura (due sistemi in cascata con risposte gaussiane). Due usi:

• da $T_v$ misurato e $T_r=0{,}35/B$ si risale a $T_s=\sqrt{T_v^2-T_r^2}$;
• se $T_r\ll T_s$ si ha $T_v\simeq T_s$ e lo strumento non influisce. L'errore relativo si ricava sviluppando in serie ($x=T_r/T_s$): $\sqrt{1+x^2}\simeq1+\frac{x^2}2$, quindi $$\frac{T_v-T_s}{T_s}\simeq\frac12\Big(\frac{T_r}{T_s}\Big)^2.$$ Per $T_s=3T_r$ l'errore è $5{,}4\%$; per $T_s=5T_r$, $2\%$; per $T_s=10T_r$, $0{,}5\%$. Per un errore sotto il $10\%$ serve $T_s\gtrsim2{,}2\,T_r$. Esempio: con $B=100$ MHz ($T_r=3{,}5$ ns) un fronte di $10$ ns appare lungo $\sqrt{100+12{,}25}=10{,}6$ ns ($6\%$ in più); un fronte di $15\ \mu$s non risente dello strumento.

Regola pratica: per avere un errore sotto il $5\%$ serve $T_r\le T_s/3$, cioè $B\ge\frac{3\cdot0{,}35}{T_s}\approx\frac1{T_s}$.

Accoppiamento AC e DC

L'ingresso può essere accoppiato in continua (DC): il segnale entra direttamente; oppure in alternata (AC): si inserisce una capacità di disaccoppiamento $C_{ac}$ in serie, per eliminare la componente continuavalore medio del segnale e poter amplificare e leggere con migliore risoluzione piccole variazioni sovrapposte a un valore grande (il rippleondulazione residua della tensione di uscita di un alimentatore di $400\ \mu$V su $3{,}3$ V).

Risposta in frequenza. Il segnale arriva al canale attraverso $C_{ac}$ e $Z_i$: il partitore $H=\dfrac{Z_i}{Z_i+\frac1{sC_{ac}}}$ dà $$H(s)=\frac{V_d(s)}{V_{s}(s)}=\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_i(C_{ac}+C_i)}\simeq\frac{sR_iC_{ac}}{1+sR_iC_{ac}},$$ perché $C_{ac}\gg C_i$ (decine di nF contro decine di pF). È un filtro passa-altofiltro che lascia passare le frequenze alte e blocca la continua e le frequenze basse del primo ordine con $$\tau=R_iC_{ac},\qquad f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}},\qquad|H(f)|=\frac{f/f_T}{\sqrt{1+(f/f_T)^2}}.$$ Con $R_i=1$ M$\Omega$ e $C_{ac}=20$ nF: $\tau=20$ ms e $f_T=7{,}96\approx8$ Hz; con $C_{ac}=100$ nF: $f_T=1{,}59$ Hz. A $f=0$ vale $H=0$: la componente continua viene eliminata. Alla frequenza di taglio l'attenuazione è $1/\sqrt2$ ($-3$ dB).

Che cosa cambia nel segnale visualizzato. Il sistema è lineare e tempo-invariante, quindi una sinusoide a $f_0$ resta una sinusoide alla stessa frequenza, ma con ampiezza moltiplicata per $|H(f_0)|$ e fase spostata (la fase è irrilevante se c'è un solo segnale: l'origine dei tempi è l'istante di trigger).

• Componente continua: tolta. $v=V_{DC}+V_0\sin$ si vede come $V_0|H(f_0)|\sin(\cdot)$ con media nulla.
• Segnale a frequenza molto maggiore di $f_T$: attenuazione trascurabile ($|H|\simeq1$: a $f=10f_T$ è $0{,}995$; a $500$ Hz con $f_T=8$ Hz è $0{,}9999$) e il segnale risulta semplicemente traslato verso il basso del suo valor medio (rampa da $-150$ a $450$ mV con $T=2$ ms: visualizzata da $-300$ a $+300$ mV).
• Segnale a frequenza vicina o inferiore a $f_T$: viene attenuato e deformato perché le sue componenti hanno attenuazioni diverse (non una semplice scala). Esempio: sinusoide da $10$ V di picco a $f_0=8$ Hz in AC con $f_T=7{,}96$ Hz: $|H|=0{,}709$, quindi ampiezza visualizzata $7{,}1$ V (con $f_0=f_T$ sarebbe esattamente $10/\sqrt2=7{,}07$ V). A $f_0=2{,}5$ Hz con $f_T=1{,}59$ Hz: $|H|=0{,}844$, ampiezza $0{,}84$ V invece di $1$ V; è un errore sistematicoscostamento che si ripete uguale a ogni misura, per esempio un'attenuazione dovuta allo strumento (si ripete uguale a ogni misura, indipendentemente da rumore) di $15{,}6\%$: per misurare l'ampiezza della sola componente alternata si usa l'accoppiamento DC (e un offset), oppure una $C_{ac}$ maggiore.
• Onde con pochi hertz (rampa a $6{,}7$ Hz, $|H|=0{,}64$, $-3{,}84$ dB): la fondamentale cala del $36\%$ e la forma cambia; un'onda quadra mostra un calo (tiltcalo graduale del livello alto di un'onda quadra dovuto al filtro passa-alto) del livello alto come $e^{-t/\tau}$, con $\tau=20$ ms.

Quando usare l'AC: quando la continua è grande rispetto alla parte alternata e questa non è troppo lenta ($f_0\gtrsim10f_T$); con $f_0$ vicino a $f_T$ si perde ampiezza. Quando non usarla: segnali con informazione a bassa frequenza o continua (livelli logici, rampe lente).

Tolleranze. Se i componenti hanno tolleranza, $f_T$ ne eredita l'incertezza: da $f_T=\frac1{2\pi R_iC_{ac}}$ si ha $\frac{u(f_T)}{f_T}=\sqrt{\big(\frac{u(R_i)}{R_i}\big)^2+\big(\frac{u(C_{ac})}{C_{ac}}\big)^2}$ (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →); con $R_i$ al $1\%$ e $C_{ac}$ al $20\%$, e le tolleranze lette come incertezze estese con $k=2$ ($0{,}5\%$ e $10\%$): $u(f_T)=7{,}96\sqrt{0{,}005^2+0{,}1^2}=0{,}8$ Hz e $U(f_T)=1{,}6$ Hz. Domina la capacità.

Errori comuni

• Dire che la banda è la frequenza massima del segnale visualizzabile senza distorsione: a $B$ l'ampiezza è già ridotta del $30\%$.
• Calcolare $T_v=T_s+T_r$ invece che in quadratura.
• Dimenticare che in AC si cambia anche il livello di trigger e la scala verticale utile (Trigger e sincronizzazioneIl trigger fa partire l'acquisizione sempre dallo stesso punto di un segnale periodico, per avere una traccia stabile. Si imposta con sorgente, livello, pendenza (fronte di salita o discesa), modo (auto, normal, single), hold-off e posizione ($t=0$ = istante di trigger). Il livello deve cadere dentro l'escursione del segnale, $V_{min}<V_{trig}<V_{max}$ (meglio dove la pendenza è massima); con accoppiamento AC cambia l'escursione. Segnali con più passaggi per il livello in un periodo si risolvono con un livello tra le ampiezze degli impulsi o con un hold-off poco più corto del periodo. Per segnali a bassissima frequenza si disattiva l'auto.Trigger e sincronizzazione →).
• Usare l'AC per segnali lenti o per misurare l'ampiezza di una sinusoide vicina a $f_T$.
• Usare $R_iC_i$ al posto di $R_iC_{ac}$ per la frequenza di taglio inferiore: $C_i$ dà il taglio superiore della sorgente (ma qui trascurabile).