Formulario - analisi matematica 2

Topologia e funzioni di più variabili

Note: Topologia di RnIn Rn la distanza tra due punti è la norma euclidea della differenza, ‖X − Y‖ = √(Σ(xi − yi)²). Con le palle aperte B(X0, r) si classificano i punti rispetto a un insieme D (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati) e si definiscono insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti (= chiusi e limitati) e connessi per archi.Topologia di Rn → · Funzioni di più variabili e insiemi di livelloUna funzione f: D ⊆ Rn → R associa a ogni punto X = (x1, …, xn) un numero reale. Il dominio naturale è l'insieme dei punti in cui l'espressione ha senso (da disegnare nel piano); il grafico {(X, f(X))} sta in Rn+1 (per n = 2 è una superficie); l'insieme di livello c è {X ∈ D : f(X) = c} (per n = 2 una curva, come le isoipse di una carta).Funzioni di più variabili e insiemi di livello → · Limiti e continuità per funzioni di più variabiliIl limite di una funzione di più variabili esiste se il valore si avvicina a $L$ indipendentemente dal percorso scelto; si verifica con stime in coordinate polari o si nega usando restrizioni a curve diverse. La continuità richiede che il limite coincida con il valore della funzione nel punto.Limiti e continuità per funzioni di più variabili →

• Norma e distanza in $\mathbb R^n$: $\|X\|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$, $d(X,Y)=\|X-Y\|$; palla aperta $B(X_0,r)=\{X:\|X-X_0\|<r\}$. Compatto $=$ chiuso e limitato.
• Grafico di $f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R$: $G_f=\{(X,f(X))\}\subseteq\mathbb R^{n+1}$. Insieme di livello: $L_c=\{X\in D:\ f(X)=c\}$ (per $n=2$ curva di livello).
• $\lim_{X\to X_0}f=L$ se $f(X_n)\to L$ per ogni $X_n\to X_0$, $X_n\ne X_0$; se esiste, lungo ogni curva $\gamma(t)\to X_0$ si ha $f(\gamma(t))\to L$ (basta un controesempio per negarlo). Continua in $X_0$ se $\lim f=f(X_0)$.

Calcolo differenziale in più variabili

Note: Derivate parziali e derivate direzionaliLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali → · Differenziabilità e gradientef è differenziabile in x0 se f(x) = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) + o(‖x − x0‖): vicino a x0 il grafico si confonde con il piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0). Differenziabile ⇒ continua, derivabile e D_v f = ∇f·v; derivate parziali continue ⇒ differenziabile. Il gradiente indica la direzione di massima crescita (pendenza ‖∇f‖) ed è ortogonale alle curve di livello.Differenziabilità e gradiente → · Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte → · Teorema delle funzioni implicite (Dini)Se F è C¹, F(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) ≠ 0, vicino a (x0, y0) l'insieme F(x, y) = 0 è il grafico di un'unica funzione y = g(x) di classe C¹, con g'(x) = −Fx/Fy (si ottiene derivando F(x, g(x)) = 0). La retta tangente è ortogonale a ∇F. Dove Fy = 0 ma Fx ≠ 0 si esplicita x = h(y); dove ∇F = 0 il punto è singolare.Teorema delle funzioni implicite (Dini) → · Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabiliLe derivate seconde ∂²f/∂xj∂xi formano la matrice hessiana Hf; per il teorema di Schwarz (derivate miste continue) è simmetrica. Taylor al secondo ordine: f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ hᵀHf(x0)h + o(‖h‖²). Una matrice simmetrica è definita positiva/negativa, semidefinita o indefinita a seconda del segno della forma quadratica hᵀAh; si riconosce con gli autovalori o con i minori principali (in 2×2: determinante e primo elemento).Matrice hessiana e formula di Taylor in più variabili →

• $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+he_i)-f(x_0)}h$; gradiente $\nabla f=\big(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\big)$; derivata direzionale lungo il versoreVettore di norma 1. $v$: $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+hv)-f(x_0)}h$.
• Differenziabile in $x_0$: $f(x)=f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot(x-x_0)+o(\|x-x_0\|)$ (piano tangente $z=f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot(x-x_0)$). Differenziabile $\Rightarrow$ continua, derivabile e $D_vf=\nabla f\cdot v$. Derivate parziali continue in un intorno $\Rightarrow$ differenziabile. $\nabla f$ indica la direzione di massima crescita ed è ortogonale alle curve di livello.
• Jacobiana di $F=(f_1,\dots,f_m)$: $(J_F)_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$. Catena: $J_{f\circ g}(x)=J_f(g(x))\,J_g(x)$; $\frac{d}{dt}f(\gamma(t))=\nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)$. Se $\det J_F(x_0)\ne0$, $F$ è localmente invertibile e $J_{F^{-1}}(y)=[J_F(x)]^{-1}$, $y=F(x)$.
• Dini: $F\in C^1$, $F(x_0,y_0)=0$, $F_y(x_0,y_0)\ne0\Rightarrow$ vicino a $(x_0,y_0)$ esiste un'unica $y=g(x)$ di classe $C^1$ con $F(x,g(x))=0$ e $\displaystyle g'(x)=-\frac{F_x}{F_y}$. Se $\nabla F=0$ il punto è singolare.
• Schwarz: $f\in C^2\Rightarrow f_{x_ix_j}=f_{x_jx_i}$, quindi la hessiana $H_f$ è simmetrica. Taylor: $\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+\nabla f(x_0)\cdot h+\frac12h^TH_f(x_0)h+o(\|h\|^2)$.
• $A$ simmetrica è definita positiva se $h^TAh>0\ \forall h\ne0$ (negativa con $<$), semidefinita se $\ge0$ (o $\le0$) con zeri, indefinita se la forma assume entrambi i segni. Si riconosce con gli autovalori (tutti $>0$, tutti $<0$, segni misti) o con i minori principali.

Massimi e minimi

Note: Massimi e minimi liberi in più variabiliSe f è differenziabile e ha un estremo relativo in un punto interno x0, allora ∇f(x0) = 0 (Fermat): gli estremi interni vanno cercati tra i punti critici. Se f è C², in un punto critico: hessiana definita positiva → minimo, definita negativa → massimo, indefinita → sella, semidefinita → il test non decide e si studia il segno di f(x) − f(x0). In due variabili: det H > 0 e fxx > 0 minimo, det H > 0 e fxx < 0 massimo, det H < 0 sella.Massimi e minimi liberi in più variabili → · Funzioni convesse in più variabiliUn insieme C è convesso se contiene il segmento tra due suoi punti; f: C → R è convessa se f(tx + (1−t)y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y) per t in [0,1], cioè il grafico sta sotto le corde. Se f è differenziabile, è convessa se e solo se f(y) ≥ f(x) + ∇f(x)·(y − x) (il grafico sta sopra ogni piano tangente). Se f è C² su un aperto convesso, è convessa se e solo se l'hessiana è semidefinita positiva in ogni punto; se è definita positiva ovunque f è strettamente convessa (non vale il viceversa: x⁴). Per una funzione convessa ogni punto critico è un minimo globale.Funzioni convesse in più variabili → · Massimi e minimi assoluti su insiemi compattiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto (chiuso e limitato) di Rn ha massimo e minimo assoluti. Si trovano confrontando i valori nei punti critici interni, nei punti critici delle restrizioni ai pezzi della frontiera (parametrizzati) e nei vertici. Su un insieme chiuso illimitato, se f → +∞ all'infinito il minimo esiste e il massimo no.Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti → · Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di LagrangeGli estremi di f sul vincolo g = c si cercano per sostituzione, per parametrizzazione o con i moltiplicatori di Lagrange: se f, g sono C¹, P0 è un estremo vincolato e ∇g(P0) ≠ 0, esiste λ con ∇f(P0) = λ∇g(P0) (curva di livello di f tangente al vincolo). Si risolve il sistema ∇f = λ∇g, g = c, si aggiungono i punti del vincolo con ∇g = 0 e si confrontano i valori; se il vincolo è compatto, Weierstrass garantisce massimo e minimo.Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange →

• Fermat: estremo relativo interno e $f$ differenziabile $\Rightarrow\nabla f(x_0)=0$ (punto critico). Con $f\in C^2$ in un punto critico: $H_f$ definita positiva $\to$ minimo; definita negativa $\to$ massimo; indefinita $\to$ sella; semidefinita $\to$ il test non decide.
• In due variabili: $\det H>0$ e $f_{xx}>0$ minimo; $\det H>0$ e $f_{xx}<0$ massimo; $\det H<0$ sella.
• Convessa: $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$, $t\in[0,1]$, su $C$ convesso. $f$ differenziabile è convessa $\iff f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)\cdot(y-x)$; $f\in C^2$ è convessa $\iff H_f$ semidefinita positiva ovunque (definita positiva $\Rightarrow$ strettamente convessa, non viceversa: $x^4$). Per $f$ convessa ogni punto critico è di minimo globale.
• Weierstrass: $f$ continua su un compatto ha massimo e minimo assoluti. Si confrontano i valori nei punti critici interni, nei punti critici sulle parti della frontiera e nei vertici.
• Lagrange: $f,g\in C^1$, $P_0$ estremo di $f$ vincolato a $g=c$ con $\nabla g(P_0)\ne0\Rightarrow\exists\lambda:\ \nabla f(P_0)=\lambda\nabla g(P_0)$. Si risolve $\nabla f=\lambda\nabla g$, $g=c$ e si aggiungono i punti del vincolo con $\nabla g=0$.

Integrali multipli

Note: Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini → · Integrali dipendenti da parametriUn integrale dipendente da un parametro è F(y) = ∫ab f(x,y) dx. Se f è continua sul rettangolo [a,b]×[c,d], F è continua su [c,d] (quindi si può portare il limite sotto il segno di integrale: lim F(y) = ∫ lim f). Se anche ∂f/∂y è continua, F è derivabile e F'(y) = ∫ab ∂f/∂y (x,y) dx (derivazione sotto il segno di integrale, regola di Leibniz). Con estremi variabili, G(y) = ∫α(y)β(y) f(x,y) dx, vale G' = f(β,y)β' − f(α,y)α' + ∫ ∂f/∂y dx. Serve per calcolare integrali che non hanno primitiva elementare.Integrali dipendenti da parametri → · Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari → · Integrali tripli e coordinate cilindriche e sfericheL'integrale triplo ∭R f dV si calcola per fili (prima in z tra due superfici z = φ1(x, y) e z = φ2(x, y), poi un integrale doppio sull'ombra D del solido) o per strati (prima un integrale doppio sulla sezione Rz, poi in z). Volume = ∭R 1 dV. Coordinate cilindriche: dV = r dr dθ dz (simmetria attorno all'asse z); sferiche x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ (sfere, coni con vertice nell'origine).Integrali tripli e coordinate cilindriche e sferiche →

• Area$(D)=\iint_D1\,dx\,dy$. Fubini ($f$ continua): $D=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ (y-semplice) $\Rightarrow\displaystyle\iint_Df=\int_a^b\Big(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f\,dy\Big)dx$; analogamente per $D=\{c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ scambiando i ruoli.
• Parametri: $F(y)=\int_a^bf(x,y)\,dx$ con $f$ continua su $[a,b]\times[c,d]$ è continua. Leibniz: se anche $f_y$ è continua, $\displaystyle F'(y)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx$. Estremi variabili: $G(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f\,dx\Rightarrow G'=f(\beta,y)\beta'-f(\alpha,y)\alpha'+\int_\alpha^\beta f_y\,dx$.
• Cambio di variabili: $\Phi(u,v)=(x,y)$ di classe $C^1$, biunivoca, $\det J_\Phi\ne0$ (salvo insiemi di area nulla): $\displaystyle\iint_{D_{xy}}f\,dx\,dy=\iint_{D_{uv}}f(\Phi(u,v))\,|\det J_\Phi(u,v)|\,du\,dv$.
• Polari: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$. Cilindriche: $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. Sferiche: $x=\rho\sin\varphi\cos\theta$, $y=\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z=\rho\cos\varphi$, $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$.
• Volume $=\iiint_R1\,dV$; per fili: $\iint_D\big(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}f\,dz\big)dx\,dy$; per strati: $\int\big(\iint_{R_z}f\,dx\,dy\big)dz$. Sfera: $V=\frac43\pi R^3$; ellisse di semiassi $a,b$: area $\pi ab$.

Curve, campi vettoriali e integrali curvilinei

Note: Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specieUna curva è una funzione continua γ: [a, b] → Rn; il sostegno è la sua immagine. È regolare se γ è C¹ con γ'(t) ≠ 0 (γ'(t) è il vettore tangente), regolare a tratti se lo è a pezzi. Lunghezza: L = ∫ab ‖γ'(t)‖ dt (circonferenza 2πR, arco di cicloide 8a). Integrale curvilineo di prima specie: ∫γ f ds = ∫ab f(γ(t)) ‖γ'(t)‖ dt, per esempio la massa di un filo; non dipende né dalla parametrizzazione né dall'orientamento.Curve regolari, lunghezza e integrale curvilineo di prima specie → · Campi vettoriali e lavoro lungo una curvaUn campo vettoriale F = (M, N) associa un vettore a ogni punto. Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) lungo una curva orientata r(t), t ∈ [a, b], è ∫C F·dr = ∫ab F(r(t))·r'(t) dt = ∫C M dx + N dy, cioè l'integrale della componente tangente di F rispetto alla lunghezza d'arco. Non dipende dalla parametrizzazione ma cambia segno se si inverte il verso; si annulla se F è sempre ortogonale alla curva.Campi vettoriali e lavoro lungo una curva → · Campi conservativi e funzione potenzialeF è conservativo se F = ∇f per un potenziale f; allora il lavoro lungo una curva da P0 a P1 vale f(P1) − f(P0), quindi non dipende dal cammino ed è nullo su ogni curva chiusa (e viceversa). Condizione necessaria (per F di classe C¹): campo irrotazionale, ∂M/∂y = ∂N/∂x; è anche sufficiente su un dominio semplicemente connesso. Controesempio sul piano bucato: (−y, x)/(x² + y²). Il potenziale si trova integrando M in x e imponendo f_y = N.Campi conservativi e funzione potenziale → · Teorema di Green nel pianoSe R è un dominio regolare del piano con bordo ∂R orientato positivamente (R a sinistra) e F = (M, N) è C¹ su R, allora ∮∂R M dx + N dy = ∬R (∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy. Serve per calcolare circuitazioni con un integrale doppio, aree (Area = ½∮ x dy − y dx = ∮ x dy) e per dimostrare che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso è conservativo. Con i buchi i bordi interni vanno percorsi in senso orario.Teorema di Green nel piano → · Divergenza, rotore e flusso nel pianoPer un campo $\mathbf F=(M,N)$ la divergenza è $\operatorname{div}\mathbf F=M_x+N_y$ (quanto il campo "esce" da un punto) e il rotore scalare è $N_x-M_y$ (quanto "ruota"). Il flusso uscente da una curva chiusa è $\oint M,dy-N,dx$ e il teorema di Green ne dà la forma normale: $\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F,dx,dy$. Insieme alla forma tangenziale $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint(N_x-M_y)$ danno le due versioni del teorema nel piano.Divergenza, rotore e flusso nel piano →

• Curva regolare: $\gamma\in C^1$ con $\gamma'(t)\ne0$. Lunghezza $\displaystyle L=\int_a^b\|\gamma'(t)\|\,dt$; integrale di prima specie $\displaystyle\int_\gamma f\,ds=\int_a^bf(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt$ (non dipende da parametrizzazione e verso). Cicloide: $L=8a$; circonferenza $2\pi R$.
• Lavoro: $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_CM\,dx+N\,dy$ per $\mathbf F=(M,N)$; cambia segno invertendo il verso.
• Conservativo: $\mathbf F=\nabla f\Rightarrow\int_\gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r=f(P_1)-f(P_0)$ (nullo sulle curve chiuse). $\mathbf F\in C^1$ conservativo $\Rightarrow\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$; il viceversa vale in un dominio semplicemente connesso. Controesempio: $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ sul piano bucato. Potenziale: si integra $M$ in $x$ e si impone $f_y=N$.
• Green: $R$ regolare con bordo positivo (antiorario, buchi in senso orario), $\mathbf F\in C^1$: $\displaystyle\oint_{\partial R}M\,dx+N\,dy=\iint_R\Big(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Big)dx\,dy$. Area$(R)=\oint x\,dy=\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$.
• $\operatorname{div}\mathbf F=M_x+N_y$, rotore scalare $N_x-M_y$. Divergenza nel piano: $\displaystyle\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_R\operatorname{div}\mathbf F\,dx\,dy$.

Serie di funzioni e serie di potenze

Note: Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioniLa convergenza puntuale valuta il limite per ogni x fissato, mentre la convergenza uniforme controlla l'errore massimo su tutto l'insieme tramite la norma del sup. La convergenza uniforme preserva la continuità e consente lo scambio con integrale e derivata; per le serie di funzioni, il criterio M di Weierstrass ne garantisce la convergenza totale e uniforme.Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni → · Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →

• Puntuale: $\forall x\in E,\ f_n(x)\to f(x)$. Uniforme: $\sup_E|f_n-f|\to0$ (l'indice soglia non dipende da $x$). Uniforme $\Rightarrow$ il limite di continue è continuo, e $\lim\int_a^bf_n=\int_a^b\lim f_n$ su $[a,b]$.
• Derivate: se $f_n\in C^1$, $f_n(x_0)$ converge e $f_n'\to g$ uniformemente, allora $f_n\to f$ uniformemente e $f'=g$.
• Criterio M di Weierstrass: $|u_n(x)|\le M_n\ \forall x\in E$ e $\sum M_n<\infty\Rightarrow\sum u_n$ converge assolutamente e uniformemente su $E$.
• Serie di potenze $\sum a_n(x-x_0)^n$: raggio $\displaystyle\rho=\frac1L$, $L=\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$ ($\rho=+\infty$ se $L=0$, $\rho=0$ se $L=+\infty$); se esiste il limite, $\displaystyle\rho=\lim\Big|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big|$. Converge assolutamente per $|x-x_0|<\rho$, non converge per $|x-x_0|>\rho$, uniformemente su $[x_0-K,x_0+K]$, $K<\rho$.
• Termine a termine (stesso raggio $\rho$): $f'(x)=\sum_{n\ge1}na_n(x-x_0)^{n-1}$; $\int_a^bf=\sum\frac{a_n}{n+1}\big[(b-x_0)^{n+1}-(a-x_0)^{n+1}\big]$ per $a,b$ dentro l'intervallo.
• Serie di Taylor: $\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$; se converge a $f$ vicino a $x_0$, $f$ è analitica.

Analisi complessa

Note: Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi → · Funzioni elementari complesseLe funzioni elementari complesse sono estese tramite le loro serie di potenze nel piano complesso. La formula di Eulero $e^{iz} = \cos z + i \sin z$ collega l'esponenziale alle funzioni trigonometriche, mentre il logaritmo complesso risulta essere una funzione polidroma.Funzioni elementari complesse → · Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-RiemannStudio delle funzioni complesse come trasformazioni da C in C, definizione di limite, derivata complessa e funzioni olomorfe. Enunciazione e dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann e loro legame con l'equazione di Laplace e le funzioni armoniche.Funzioni di variabile complessa e condizioni di Cauchy-Riemann → · Integrale di linea complesso e teorema di CauchyL'integrale di una funzione complessa lungo una curva $z(t)$, $t\in[a,b]$, vale $\int_C f(z),dz=\int_a^b f(z(t)),z'(t),dt$ e dipende in generale dal cammino. Se $f$ è olomorfa in un dominio semplicemente connesso l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (teorema di Cauchy), l'integrale dipende solo dagli estremi e vale $F(z_1)-F(z_0)$ con $F'=f$. Si può deformare il cammino senza attraversare singolarità: $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ per ogni curva che gira una volta attorno a $z_0$.Integrale di linea complesso e teorema di Cauchy → · Formula integrale di CauchyLa formula integrale di Cauchy permette di calcolare i valori di una funzione olomorfa all'interno di un dominio semplicemente connesso conoscendone i valori sul bordo. Da essa discendono la proprietà di analiticità infinita, le formule per le derivate successive, il teorema di Liouville e la relazione tra il raggio di convergenza di una serie di potenze e la distanza dalle singolarità.Formula integrale di Cauchy → · Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate → · Teorema dei residuiIl teorema dei residui permette di calcolare integrali di funzioni complesse su curve chiuse sfruttando il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent attorno alle singolarità isolate. Il residuo in un polo semplice si calcola come $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$, mentre per poli di ordine $n$ si usa la formula di derivazione.Teorema dei residui → · Zeri, poli e teorema dell'indicatore logaritmicoUno zero di ordine k di una funzione olomorfa è un punto in cui f = (z − z0)^k g con g(z0) ≠ 0; un polo di ordine m è un punto in cui f = h/(z − z0)^m con h(z0) ≠ 0. Gli zeri di una funzione olomorfa non identicamente nulla sono isolati. La derivata logaritmica f'/f ha un polo semplice in ogni zero (residuo +k) e in ogni polo (residuo −m) di f: da qui il teorema dell'indicatore logaritmico, (1/2πi)∮ f'/f dz = (zeri) − (poli) dentro la curva, contati con la molteplicità. Attenzione alle singolarità eliminabili, che non contano.Zeri, poli e teorema dell'indicatore logaritmico →

• $z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$; $\bar z=x-iy$; $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. Radici $n$-esime di $z=re^{i\theta}$: $\displaystyle w_k=\sqrt[n]r\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}n}$, $k=0,\dots,n-1$ (vertici di un poligono regolare).
• $\displaystyle e^z=\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{n!}$ (raggio $+\infty$); Eulero: $e^{iz}=\cos z+i\sin z$, $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2$, $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$. Logaritmo (polidromo): $\ln w=\ln|w|+i(\mathrm{Arg}\,w+2k\pi)$, $k\in\mathbb Z$.
• Derivata complessa: $\displaystyle f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$; olomorfa se derivabile in tutto un aperto. Cauchy-Riemann ($f=u+iv$): $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$ (necessarie; sufficienti se le parziali sono continue). $u,v$ sono armonicheSoddisfano l'equazione di Laplace: la somma delle derivate seconde pure è nulla.: $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$.
• Integrale: $\displaystyle\int_Cf\,dz=\int_a^bf(z(t))\,z'(t)\,dt$. Se $F'=f$: $\int_Cf\,dz=F(z_1)-F(z_0)$. Cauchy: $f$ olomorfa in un dominio semplicemente connesso $\Rightarrow\oint_Cf\,dz=0$. Deformazione: nessuna singolarità tra le due curve $\Rightarrow$ integrali uguali. $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ (una volta, antiorario).
• Formula integrale di Cauchy (curva semplice antioraria, $z_0$ interno): $\displaystyle f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$; derivate $\displaystyle f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$. Liouville: intera e limitata $\Rightarrow$ costante. Il raggio della serie di Taylor in $z_0$ è la distanza dalla singolarità più vicina.
• Laurent in $R_1<|z-z_0|<R_2$: $\displaystyle f=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$, $c_n=\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta$. Polo di ordine $m$: $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)=A\ne0$ finito.
• Residuo $\mathrm{Res}(f,z_0)=c_{-1}$. Polo semplice: $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$, e per $\frac PQ$ ($Q(z_0)=0$, $Q'(z_0)\ne0$) $\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$. Polo di ordine $n$: $\displaystyle\frac1{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\big[(z-z_0)^nf(z)\big]$.
• Teorema dei residui: $\displaystyle\oint_\gamma f\,dz=2\pi i\sum_j\mathrm{Res}(f,z_j)$ (singolarità interne, curva semplice antioraria). Integrali reali: $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P}{Q}dx=2\pi i\sum_{\mathrm{Im}z_j>0}\mathrm{Res}$ se $\deg Q\ge\deg P+2$ e $Q$ senza zeri reali; con $e^{iax}$, $a>0$ ({{lemma di Jordan|Sulla semicirconferenza di raggio R l'integrale di f(z)e^{iaz} tende a 0 se f tende a 0 all'infinito.}}) basta $\deg Q\ge\deg P+1$.
• Indicatore logaritmico: $\displaystyle\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'}{f}dz=N-P$ ($N$ zeri e $P$ poli dentro $\gamma$, con la molteplicità, nessuno su $\gamma$). Gli zeri di una olomorfa non identicamente nulla sono isolati.

Equazioni differenziali ordinarie

Note: Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy → · Equazioni riconducibili a variabili separabiliCon un cambio di incognita alcune equazioni del primo ordine diventano a variabili separabili o lineari. Omogenee y' = f(y/t): z = y/t, y' = z + tz', quindi tz' = f(z) − z. y' = f(at + by + c): z = at + by + c, z' = a + bf(z). Bernoulli y' = a(t)y + b(t)y^α (α ≠ 0, 1): z = y^(1−α) dà la lineare z' = (1 − α)[a(t)z + b(t)]. Si controllano sempre le soluzioni stazionarie e l'intervallo di esistenza.Equazioni riconducibili a variabili separabili → · Metodo di variazione delle costantiPer y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), note due soluzioni indipendenti y1, y2 dell'omogenea, una soluzione particolare è yp = c1(t)y1 + c2(t)y2 con c1'y1 + c2'y2 = 0 e c1'y1' + c2'y2' = f. Con Cramer: c1' = −y2 f/W, c2' = y1 f/W, dove W = y1y2' − y2y1' è il wronskiano. Funziona per ogni termine noto continuo (anche 1/sin t, e^(3t)/t), dove il metodo di somiglianza non si applica.Metodo di variazione delle costanti → · Sistemi di equazioni differenziali lineariSistema lineare Y' = A(t)Y + B(t): con A, B continue su I il problema di Cauchy ha una sola soluzione, definita su tutto I. Le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione n (colonne di una matrice fondamentale, wronskiano ≠ 0). A coefficienti costanti: Y = e^(λt)V con λ autovalore e V autovettore di A; con λ = α ± iβ si prendono parte reale e immaginaria. Y(t) = e^(tA)Y0, con e^(tA) = P e^(tD) P⁻¹ se A = PDP⁻¹. Un'equazione di ordine n equivale a un sistema con la matrice compagna.Sistemi di equazioni differenziali lineari →

• Cauchy: $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$. Peano: $f$ continua $\Rightarrow$ esiste almeno una soluzione locale (non unica: $y'=\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$). Cauchy-Lipschitz: $f$ continua e lipschitziana in $y$ ($|f(t,y_2)-f(t,y_1)|\le L|y_2-y_1|$, basta $f_y$ limitata) $\Rightarrow$ soluzione unica in un intorno di $t_0$; se lipschitziana su $[a,b]\times\mathbb R^n$ la soluzione è unica su tutto $[a,b]$. Esplosione in tempo finito: $y'=y^2$, $y(0)=1$ dà $y=\frac1{1-t}$.
• Omogenea $y'=f(y/t)$: $z=y/t$, $tz'=f(z)-z$. $y'=f(at+by+c)$: $z=at+by+c$, $z'=a+bf(z)$. Bernoulli $y'=a(t)y+b(t)y^\alpha$ ($\alpha\ne0,1$): $z=y^{1-\alpha}$ dà la lineare $z'=(1-\alpha)[a(t)z+b(t)]$. Si controllano sempre le soluzioni stazionarie.
• Variazione delle costanti per $y''+a(t)y'+b(t)y=f(t)$: $y_p=c_1y_1+c_2y_2$ con $c_1'y_1+c_2'y_2=0$, $c_1'y_1'+c_2'y_2'=f$; con $W=y_1y_2'-y_2y_1'$: $\displaystyle c_1'=-\frac{y_2f}W$, $\displaystyle c_2'=\frac{y_1f}W$.
• Sistemi $Y'=A(t)Y+B(t)$ con $A,B$ continue su $I$: Cauchy con soluzione unica su tutto $I$; le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione $n$ (matrice fondamentale, wronskiano $\ne0$). $A$ costante: $Y=e^{\lambda t}V$ con $\det(A-\lambda I)=0$ e $V$ autovettore; integrale generale $\sum c_ie^{\lambda_it}V_i$; per $\lambda=\alpha\pm i\beta$ si usano parte reale e parte immaginaria di $e^{(\alpha+i\beta)t}V$. $Y(t)=e^{tA}Y_0$, $e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}$ se $A=PDP^{-1}$.

Complementi: superfici e flusso nello spazio

Note: Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di StokesUna superficie parametrica è r(u,v) con (u,v) in un dominio D; il vettore normale è N = r_u × r_v e l'elemento di area è dσ = |N| du dv. Area = ∬|N| du dv; per un grafico z = g(x,y): ∬√(1 + g_x² + g_y²) dx dy. Integrale superficiale: ∬ f dσ. Superficie di rotazione di una curva (x(t), z(t)) attorno all'asse z: A = 2π ∫ x(t)|γ'(t)| dt (Guldino). Flusso di F attraverso S orientata: ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u × r_v) du dv. Teorema della divergenza: flusso uscente da una superficie chiusa = ∭ div F dV. Teorema di Stokes: flusso di rot F attraverso S = circuitazione di F sul bordo, con orientazioni compatibili.Superfici, flusso e teoremi della divergenza e di Stokes →

• Superficie $\mathbf r(u,v)$, $(u,v)\in D$: normale $\mathbf N=\mathbf r_u\times\mathbf r_v$, $d\sigma=|\mathbf N|\,du\,dv$, area $\iint_D|\mathbf N|\,du\,dv$; grafico $z=g(x,y)$: $\iint\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy$. Superficie di rotazione (Guldino): $A=2\pi\int x(t)\,|\gamma'(t)|\,dt$.
• Flusso: $\displaystyle\Phi=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$ (segno $\pm$ secondo il verso di $\mathbf n$).
• Divergenza: $\displaystyle\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV$, $\operatorname{div}\mathbf F=\partial_xF_1+\partial_yF_2+\partial_zF_3$. Stokes: $\displaystyle\iint_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n\,d\sigma=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ con orientazioni compatibili.