Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero

Le note sulle probabilità d'errore (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →) usano l'energia $E_s$ al ricevitore, nel punto di decisione. Questa nota dice come si passa dall'energia trasmessa a quella ricevuta, per i tre mezzi più comuni.

Versione per Ing. Elettronica: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →. Versione per Ing. delle Telecomunicazioni: Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →.

Modello di canale: attenuazione e guadagno

Il modello è quello AWGN della modulazione digitale (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'_m$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →) con in più un fattore di scala reale $A>0$: $$r(t)=A\,s_{Tx}(t)+w(t).$$ Il segnale ricevuto ha energia $E_r=A^2E_{s_{Tx}}$ (l'ampiezza si moltiplica per $A$, l'energia per $A^2$): $$\frac{E_r}{E_{s_{Tx}}}=A^2\ \begin{cases}A>1&\text{guadagno}\\A<1&\text{attenuazione}\end{cases}$$ Si definisce l'attenuazione $a=\frac1A>1$ (quindi $a^2=\frac{E_{Tx}}{E_r}$) e si esprime in decibel: $$(a^2)_{dB}=10\log_{10}a^2=-(A^2)_{dB}\ \ \left[(A^2)_{dB}=10\log_{10}A^2\right].$$ Il rumore $w(t)$ nasce al ricevitore (rumore termico dei circuiti di ingresso): non viene attenuato dal canale. Per questo attenuare il segnale peggiora l'SNR: il rapporto $\frac{E_r}{\sigma_I^2}$ cala di un fattore $a^2$.

Tabella utile ($10^{x/10}$): $3$ dB $\to\times1{,}995\simeq2$; $5$ dB $\to3{,}16$; $10$ dB $\to10$; $20$ dB $\to100$; $30$ dB $\to1000$. Un canale che attenua di $10$ dB dà $E_r=\frac{E_{Tx}}{10}$; un guadagno di $5$ dB dà $E_r=3{,}16\,E_{Tx}$. Attenuazioni e guadagni in cascata si sommano in dB (si moltiplicano i fattori); l'attenuazione contraria è il guadagno: $\left(\frac1{A^2}\right)_{dB}=-(A^2)_{dB}$.

Energia e potenza. Se un segnale di energia (per simbolo) $E_s$ occupa un periodo di simbolo $T$, la potenza media è $P_s=\frac{E_s}{T}$. All'uscita $P_r=\frac{E_r}{T}$ e quindi $$\frac{E_r}{E_s}=\frac{P_rT}{P_sT}=\frac{P_r}{P_s}:$$ si può calcolare l'attenuazione con le potenze o con le energie. (In questo corso le potenze sono "normalizzate": segnali in volt, energie in $\text{V}^2\text{s}$, potenze in $\text{V}^2$; con un carico di riferimento da $1\,\Omega$ coincidono numericamente con W e J.) Altre conversioni in dB, dBW e dBm: Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

Cavo elettrico

Un cavo a due fili di lunghezza $l$ si può pensare come $l$ tratte da $1$ km in serie, ciascuna con fattore $A<1$ (cioè $A^2$ in energia). Dopo due tratte: $r_2=A\,r_1=A^2s_{Tx}$; dopo $l$ chilometri il fattore è $A^l$ e l'attenuazione è $a_{tot}=\frac1{A^l}$. In dB (per l'energia): $$(a_{tot}^2)_{dB}=10\log_{10}a^{2l}=l\cdot\underbrace{10\log_{10}a^2}_{\text{attenuazione per km, in dB/km}}\ \Rightarrow\ \boxed{(a^2_{tot})_{dB}=\tilde a_{dB/km}\cdot l_{km}}$$ L'attenuazione cresce linearmente in dB con la lunghezza (e quindi esponenzialmente come fattore). Non serve che la lunghezza sia un numero intero di chilometri: $2{,}2$ km sono $2{,}2$ volte l'attenuazione per km. Esempio: con $\tilde a=1{,}5$ dB/km, $l=2{,}2$ km danno $3{,}3$ dB, cioè $E_r=E_{Tx}\cdot10^{-0{,}33}=0{,}468\,E_{Tx}$.

Dipendenza dalla frequenza. Nei cavi in rame l'attenuazione per km dipende dalla frequenza della sinusoide trasmessa (effetto pelle): $$(a^2)_{dB}=\left(\tilde a_{ch}^2\right)_{dB/km}\sqrt{\frac{f}{f_0}}\ l_{km},$$ dove $\left(\tilde a_{ch}^2\right)_{dB/km}$ è il valore alla frequenza di riferimento $f_0$. Ordini di grandezza: $1\div2$ dB/km a $f_0\simeq1$ kHz. A frequenza $100$ volte più alta ($100$ kHz) l'attenuazione per km sale di $\sqrt{100}=10$ volte (da $1{,}5$ a $15$ dB/km): i cavi non si usano per segnali a banda larga su lunghe distanze.

Fibra ottica

Per la fibra ottica si usa lo stesso modello lineare in dB, senza dipendenza dalla frequenza nella banda utile: $$(a^2)_{dB}=\tilde a_{dB/km}\cdot l_{km},\qquad\tilde a\simeq0{,}2\ \text{dB/km}.$$ Esempio: $150$ km danno $30$ dB, cioè un fattore $1000$ di potenza (da $10$ W a $10$ mW). Per questo la fibra supera di molto cavo e radio sulle lunghe distanze.

Canale radio in spazio libero

Un'antenna trasmittente isotropica irradia la potenza $P_{Tx}$ in modo uguale in tutte le direzioni. A distanza $d$ la potenza è distribuita su una sfera di area $4\pi d^2$ e la densità di potenza è $$\Phi_0=\frac{P_{Tx}}{4\pi d^2}\quad[\text{W/m}^2].$$ Una antenna direttiva concentra la potenza in alcune direzioni, con un guadagno (di potenza) $g_{Tx}$ nella direzione puntata: la densità diventa $\Phi_0g_{Tx}$. L'antenna ricevente con area efficace $A_{Rx}$ e efficienza $\eta_{Rx}$ raccoglie $$P_{Rx}=\Phi_0\,A_{Rx}\,g_{Tx}\,\eta_{Rx}.$$ Il guadagno di un'antenna in funzione dell'area è $$g=\frac{4\pi}{\lambda^2}A_{Ant}\,\eta,\qquad\lambda=\frac cf\quad(c=3\cdot10^8\ \text{m/s}),$$ cioè, per l'antenna ricevente, $A_{Rx}\eta_{Rx}=\frac{g_{Rx}\lambda^2}{4\pi}$. Sostituendo: $$P_{Rx}=\frac{P_{Tx}}{4\pi d^2}\cdot\frac{g_{Rx}\lambda^2}{4\pi}\cdot g_{Tx}=P_{Tx}\,g_{Tx}\,g_{Rx}\left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2,$$ formula di Friis dello spazio libero. L'attenuazione del canale radio è $\frac{P_{Tx}}{P_{Rx}}$; in dB, con $d=d_{km}\cdot10^3$ m e $f=f_{MHz}\cdot10^6$ Hz, $$20\log_{10}\frac{4\pi d}{\lambda}=20\log_{10}\frac{4\pi\cdot10^3\cdot10^6}{3\cdot10^8}+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}=32{,}4+\dots$$ $$\boxed{(a)_{dB}=\left(\frac{P_{Tx}}{P_{Rx}}\right)_{dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-(g_{Tx})_{dB}-(g_{Rx})_{dB}}$$ ($20\log_{10}\frac{4\pi\cdot10^9}{3\cdot10^8}=20\log_{10}41{,}89=32{,}44$.) I guadagni delle antenne (in dB) si sottraggono: antenne più direttive riducono l'attenuazione. L'attenuazione cresce di $6$ dB se raddoppia la distanza ($20\log_{10}2$) e di $6$ dB se raddoppia la frequenza.

Dall'attenuazione alla probabilità d'errore

Il percorso tipico di un esercizio è:

1. Energia trasmessa $E_{Tx}$ dalla forma del segnale (per esempio $\frac{A^2T}2$ per un coseno, $E_h\cdot\frac{M^2-1}{3}$ per la PAM, $E_h\frac{M-1}3$ per la QAM) o dalla potenza: $E_{Tx}=P_{Tx}T$.
2. Energia ricevuta $E_s=\frac{E_{Tx}}{a^2}$, con $a^2$ in lineare ($=10^{(a^2)_{dB}/10}$).
3. SNR di simbolo $\frac{E_s}{\sigma_I^2}$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$.
4. $P[E]$ dalla formula della modulazione; viceversa, da una $P[E]$ voluta si ricava $Q^{-1}$, quindi $\frac{E_s}{\sigma_I^2}$ necessario, quindi l'attenuazione massima e poi la lunghezza massima del collegamento.

Esempio 1: cavo, lunghezza massima. BPSK $A=2$ V, $T=1\ \mu$s (bit rate $1$ Mbit/s), $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=10^{-8}$ V$^2$/Hz, cavo da $3$ dB/km. Si vuole $P_{bit}=10^{-6}$.

• Energia trasmessa $E_{Tx}=\frac{A^2T}{2}=\frac{4\cdot10^{-6}}{2}=2\cdot10^{-6}$ V$^2$s.
• BPSK: $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)=10^{-6}\Rightarrow\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}=Q^{-1}(10^{-6})=4{,}753$, $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=22{,}60$.
• $E_s=22{,}60\cdot10^{-8}=2{,}26\cdot10^{-7}$ V$^2$s.
• Attenuazione massima: $a^2=\frac{2\cdot10^{-6}}{2{,}26\cdot10^{-7}}=8{,}85$, cioè $10\log_{10}8{,}85=9{,}47$ dB.
• Lunghezza: $l_{max}=\frac{9{,}47\ \text{dB}}{3\ \text{dB/km}}=3{,}16$ km.

Esempio 2: radio, probabilità d'errore. BPSK a $1$ Mbit/s ($T=1\ \mu$s), $f=100$ MHz, $d=100$ km, antenne isotropiche ($g=1$, $0$ dB), $P_{Tx}=10$ mW, $N_0=4\cdot10^{-21}$ W/Hz ($\sigma_I^2=2\cdot10^{-21}$).

• $(a)_{dB}=32{,}4+20\log_{10}100+20\log_{10}100=32{,}4+40+40=112{,}4$ dB.
• $P_{Rx}=10^{-2}\cdot10^{-11{,}24}=5{,}75\cdot10^{-14}$ W ($-102{,}4$ dBm).
• $E_s=P_{Rx}T=5{,}75\cdot10^{-20}$ J, $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=28{,}8$ ($14{,}6$ dB).
• $P_{bit}=Q\left(\sqrt{28{,}8}\right)=Q(5{,}36)=4{,}1\cdot10^{-8}$.

Con antenne direttive da $15$ dB ciascuna l'attenuazione scenderebbe a $112{,}4-30=82{,}4$ dB e lo SNR salirebbe di $30$ dB.

Errori comuni

• Usare i dB dell'ampiezza al posto di quelli dell'energia: l'attenuazione di un canale è $10\log_{10}$ del rapporto di energie (o potenze); $20\log_{10}$ solo per ampiezze, o nelle formule radio dove compare $d^2$.
• Dimenticare che l'attenuazione è positiva in dB e che va sottratta dall'energia in dB: $(E_s)_{dB}=(E_{Tx})_{dB}-(a^2)_{dB}$.
• Sommare i guadagni di antenna alla attenuazione invece di sottrarli.
• Mettere la frequenza in Hz e la distanza in metri nella formula con $32{,}4$: valgono solo $d$ in km e $f$ in MHz.
• Pensare che il rumore sia attenuato dal canale: nasce al ricevitore.

Domande d'esame

1. Si ricavi l'attenuazione in dB di un cavo di lunghezza $l$ e quella di un collegamento radio in spazio libero. Traccia: cascata di tratte, $A^l$, $(a^2_{tot})_{dB}=l\cdot\tilde a$; radio: $\Phi_0=\frac{P_{Tx}}{4\pi d^2}$, $g=\frac{4\pi A\eta}{\lambda^2}$, Friis, $32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx}-g_{Rx}$.
2. Una fibra attenua $0{,}2$ dB/km: quanta potenza arriva dopo $150$ km se se ne trasmettono $10$ W? Traccia: $30$ dB $\to$ fattore $10^{-3}$, $10$ mW.
3. Come si calcola la lunghezza massima di un cavo per una data $P[E]$? Traccia: $Q^{-1}$ $\to$ $\frac{E_s}{\sigma_I^2}$ $\to$ $E_s$ $\to$ $a^2=\frac{E_{Tx}}{E_s}$ in dB, diviso i dB/km.