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Note per Studenti Esercizio - segnali esponenziali antipodali con simboli non equiprobabili, soglia MAP e probabilità d'errore (primo compitino del 21 novembre 2025, es. 193)

Esercizio - segnali esponenziali antipodali con simboli non equiprobabili, soglia MAP e probabilità d'errore (primo compitino del 21 novembre 2025, es. 193)

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Testo (primo compitino del 21 novembre 2025, corso di Fondamenti di Telecomunicazioni, Ing. Informatica UniPD). Si consideri la modulazione binaria con la seguente segnalazione al ricevitore: s1(t)=e−t/TTrect⁡(t−T/2T),s2(t)=−s1(t),s_1(t)=\frac{e^{-t/T}}{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right),\qquad s_2(t)=-s_1(t), con periodo di simbolo T=1T=1 ms. Il segnale viene ricevuto su canale AWGN con potenza del rumore σw2=0,25\sigma_w^2=0{,}25.

  1. Calcolare l'energia dei segnali e disegnare la costellazione, specificando le coordinate dei punti. Dire se la modulazione è ortogonale, antipodale o nessuna delle due, giustificando la risposta.
  2. Assumendo che la probabilità di trasmettere il simbolo 1 sia e0,9e^{0{,}9} volte la probabilità di trasmettere il simbolo 2, specificare il criterio di decisione ottimo da adottare al ricevitore, giustificando la risposta.
  3. Nelle ipotesi del punto precedente, trovare il confine delle regioni di decisione.
  4. Nelle ipotesi del punto 2, calcolare la probabilità di errore sul bit.
  5. Assumendo ora che i simboli vengano trasmessi con la stessa probabilità, trovare la potenza del rumore che porta la probabilità di errore a 3⋅10−23\cdot10^{-2}.

Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Qui "potenza del rumore" σw2\sigma_w^2 è la varianza del rumore per dimensione, cioè σI2=N02\sigma_I^2=\frac{N_0}2 (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →); quindi σw=0,5\sigma_w=0{,}5.

(1) Energia, costellazione e tipo di modulazione

Il segnale è un esponenziale decrescente su [0,T][0,T] (in unità di 1T\frac1{\sqrt T}: e−t/Te^{-t/T}, da 11 a e−1=0,37e^{-1}=0{,}37), e s2s_2 ne è l'opposto.

Grafico interattivo: s₁(t) in unità di 1/√T, con T = 1: l'esponenziale e^{−t/T} decresce da 1 a 0,37 nell'intervallo di simbolo; s₂ è il suo opposto

Energia: Es=Es1=Es2=∫0Te−2t/TTdt=1T⋅T2(1−e−2)=1−e−22=0,4323 V2sE_s=E_{s_1}=E_{s_2}=\int_0^T\frac{e^{-2t/T}}Tdt=\frac1T\cdot\frac T2\left(1-e^{-2}\right)=\frac{1-e^{-2}}2=0{,}4323\ \text{V}^2\text{s} (il segno non conta per s2s_2). Con un solo segnale indipendente (s2=−s1s_2=-s_1) la base è unidimensionale: ϕ1=s1Es\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_s}} e le coordinate sono s1=+Es=+0,6575 Vs,s2=−Es=−0,6575 Vs.\mathbf s_1=+\sqrt{E_s}=+0{,}6575\ \text{V}\sqrt{\text{s}},\qquad\mathbf s_2=-\sqrt{E_s}=-0{,}6575\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. Tipo: i due segnali sono uno l'opposto dell'altro, ⟨s1,s2⟩=−Es\langle s_1,s_2\rangle=-E_s, cioè ρ=−1\rho=-1: la modulazione è antipodale (non ortogonale, che richiederebbe ρ=0\rho=0). La distanza è d=2Es=1,315d=2\sqrt{E_s}=1{,}315.

(2) Criterio di decisione ottimo

Dato che p1=P[a=1]p_1=P[a=1] e p2=P[a=2]p_2=P[a=2] non sono uguali (p1p2=e0,9\frac{p_1}{p_2}=e^{0{,}9}, quindi ln⁡p1p2=0,9\ln\frac{p_1}{p_2}=0{,}9), il criterio a minima distanza non è ottimo: serve il MAP (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Le probabilità si ricavano da p1+p2=1p_1+p_2=1 e p1=e0,9p2p_1=e^{0{,}9}p_2: p2=11+e0,9=0,289,p1=1−p2=0,711.p_2=\frac1{1+e^{0{,}9}}=0{,}289,\qquad p_1=1-p_2=0{,}711.

(3) Confine delle regioni di decisione

Si decide il simbolo 1 se p1 N(ρ;Es,σw2)>p2 N(ρ;−Es,σw2)p_1\,\mathcal N(\rho;\sqrt{E_s},\sigma_w^2)>p_2\,\mathcal N(\rho;-\sqrt{E_s},\sigma_w^2). Con il logaritmo (le costanti 12πσw\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_w} si semplificano): ln⁡p1p2−(ρ−Es)22σw2>−(ρ+Es)22σw2  ⟺  ln⁡p1p2+(ρ+Es)2−(ρ−Es)22σw2>0.\ln\frac{p_1}{p_2}-\frac{(\rho-\sqrt{E_s})^2}{2\sigma_w^2}>-\frac{(\rho+\sqrt{E_s})^2}{2\sigma_w^2}\iff\ln\frac{p_1}{p_2}+\frac{(\rho+\sqrt{E_s})^2-(\rho-\sqrt{E_s})^2}{2\sigma_w^2}>0. La differenza dei quadrati vale 4ρEs4\rho\sqrt{E_s}, dunque ln⁡p1p2+2ρEsσw2>0  ⟺  ρ>x∗=−σw22Esln⁡p1p2=−0,252⋅0,6575⋅0,9=−0,171.\ln\frac{p_1}{p_2}+\frac{2\rho\sqrt{E_s}}{\sigma_w^2}>0\iff\rho>x^*=-\frac{\sigma_w^2}{2\sqrt{E_s}}\ln\frac{p_1}{p_2}=-\frac{0{,}25}{2\cdot0{,}6575}\cdot0{,}9=-0{,}171. R1={ρ>−0,171},R2={ρ<−0,171}.\mathcal R_1=\{\rho>-0{,}171\},\qquad\mathcal R_2=\{\rho<-0{,}171\}. Il confine è spostato verso il punto meno probabile (s2=−0,6575\mathbf s_2=-0{,}6575): la regione del simbolo più probabile si allarga. (Formula generale in ρ∗=si+sj2+σI2ln⁡(Pi/Pj)sj−si\rho^*=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\frac{\ln(P_i/P_j)}{s_j-s_i}, con si=−Es<sj=+Ess_i=-\sqrt{E_s}<s_j=+\sqrt{E_s}: è la stessa.)

Grafico interattivo: D(ρ; m) = p_m·densità: la curva del simbolo 1 (più probabile) è più alta; il confine MAP ρ* = −0,171 è dove le due curve si incontrano, spostato a sinistra rispetto al punto medio (0, minima distanza)

(4) Probabilità di errore sul bit

Per una modulazione binaria un errore di simbolo è un errore sul bit: Pbit=P[E]P_{bit}=P[E]. Con r=±Es+w\mathbf r=\pm\sqrt{E_s}+w e soglia x∗x^*: Pbit=p1 P[ρ<x∗∣s1]+p2 P[ρ>x∗∣s2]=p1 Q(Es−x∗σw)+p2 Q(Es+x∗σw).P_{bit}=p_1\,P[\rho<x^*\mid s_1]+p_2\,P[\rho>x^*\mid s_2]=p_1\,Q\left(\frac{\sqrt{E_s}-x^*}{\sigma_w}\right)+p_2\,Q\left(\frac{\sqrt{E_s}+x^*}{\sigma_w}\right). Gli argomenti: 0,6575+0,1710,5=1,657\frac{0{,}6575+0{,}171}{0{,}5}=1{,}657 e 0,6575−0,1710,5=0,973\frac{0{,}6575-0{,}171}{0{,}5}=0{,}973. Allora Pbit=0,711⋅Q(1,657)+0,289⋅Q(0,973)=0,711⋅0,0487+0,289⋅0,1653=0,0347+0,0478=0,0824.P_{bit}=0{,}711\cdot Q(1{,}657)+0{,}289\cdot Q(0{,}973)=0{,}711\cdot0{,}0487+0{,}289\cdot0{,}1653=0{,}0347+0{,}0478=0{,}0824. Un confronto: con la soglia a metà (00, minima distanza) si avrebbe Pbit=Q(Esσw)=Q(1,315)=0,0942P_{bit}=Q\left(\frac{\sqrt{E_s}}{\sigma_w}\right)=Q(1{,}315)=0{,}0942, quindi il MAP riduce l'errore di circa il 12%12\% (verificato con una simulazione di 2⋅1062\cdot10^6 simboli: 0,08230{,}0823 e 0,09410{,}0941).

(5) Potenza del rumore per Pe=3⋅10−2P_e=3\cdot10^{-2} con simboli equiprobabili

Con simboli equiprobabili la soglia è in 00 e Pe=Q(Esσw)P_e=Q\left(\frac{\sqrt{E_s}}{\sigma_w}\right) (modulazione antipodale, d2σw=Esσw\frac d{2\sigma_w}=\frac{\sqrt{E_s}}{\sigma_w}). Da Q(a)=3⋅10−2Q(a)=3\cdot10^{-2} si ha a=1,881a=1{,}881, quindi σw=Esa=0,65751,881=0,350,σw2=0,122.\sigma_w=\frac{\sqrt{E_s}}{a}=\frac{0{,}6575}{1{,}881}=0{,}350,\qquad\sigma_w^2=0{,}122. Il rumore deve quindi essere circa la metà (in potenza: da 0,250{,}25 a 0,1220{,}122) rispetto al valore di partenza, per scendere da Q(1,315)=0,094Q(1{,}315)=0{,}094 a 0,030{,}03.

Versione ripasso

Dati. s1=e−t/TTs_1=\frac{e^{-t/T}}{\sqrt T} su [0,T][0,T], s2=−s1s_2=-s_1, T=1T=1 ms, σw2=0,25\sigma_w^2=0{,}25 (σw=0,5\sigma_w=0{,}5), p1p2=e0,9\frac{p_1}{p_2}=e^{0{,}9}.

(1) Energia e costellazione (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →)

  • Es=∫0Te−2t/TTdt=1−e−22=0,4323E_s=\int_0^T\frac{e^{-2t/T}}Tdt=\frac{1-e^{-2}}2=0{,}4323, Es=0,6575\sqrt{E_s}=0{,}6575.
  • s1,2=±0,6575\mathbf s_{1,2}=\pm0{,}6575 (una dimensione, ϕ1=s1Es\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_s}}). s2=−s1s_2=-s_1: ρ=−1\rho=-1, antipodale.

(2) Criterio

  • p1≠p2p_1\ne p_2: MD non ottimo, serve il MAP. p2=11+e0,9=0,289p_2=\frac1{1+e^{0{,}9}}=0{,}289, p1=0,711p_1=0{,}711.

(3) Confine (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →)

  • p1N(ρ;Es)>p2N(ρ;−Es)p_1\mathcal N(\rho;\sqrt{E_s})>p_2\mathcal N(\rho;-\sqrt{E_s}) ⇒\Rightarrow ln⁡p1p2+2ρEsσw2>0\ln\frac{p_1}{p_2}+\frac{2\rho\sqrt{E_s}}{\sigma_w^2}>0.
  • x∗=−σw22Esln⁡p1p2=−0,171\boxed{x^*=-\frac{\sigma_w^2}{2\sqrt{E_s}}\ln\frac{p_1}{p_2}=-0{,}171}; R1={ρ>−0,171}\mathcal R_1=\{\rho>-0{,}171\}: spostato verso il punto meno probabile.

(4) PbitP_{bit} (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →)

  • Pbit=p1Q(Es−x∗σw)+p2Q(Es+x∗σw)=0,711 Q(1,657)+0,289 Q(0,973)=0,0824P_{bit}=p_1Q\left(\frac{\sqrt{E_s}-x^*}{\sigma_w}\right)+p_2Q\left(\frac{\sqrt{E_s}+x^*}{\sigma_w}\right)=0{,}711\,Q(1{,}657)+0{,}289\,Q(0{,}973)=0{,}0824.
  • Con soglia 00: Q(1,315)=0,0942Q(1{,}315)=0{,}0942.

(5) Equiprobabili: Pe=Q(Esσw)=3⋅10−2⇒a=1,881P_e=Q\left(\frac{\sqrt{E_s}}{\sigma_w}\right)=3\cdot10^{-2}\Rightarrow a=1{,}881, σw=0,350\sigma_w=0{,}350, σw2=0,122\sigma_w^2=0{,}122 (Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →).

Errori tipici

  • Leggere "ee 0,9 volte" come 0,90{,}9: è e0,9e^{0{,}9}.
  • Spostare la soglia verso il simbolo più probabile.
  • Usare σw\sigma_w nel confine al posto di σw2\sigma_w^2 (nella formula compare la varianza).

Teoria collegata