Esercizio - quantizzatore con densità a tratti, 4-QAM di Gray e quantizzatore non uniforme (primo compitino del 29 novembre 2024, es. 184)

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Teoria usata: Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazioneUn quantizzatore uniforme a L = 2^b livelli e range [−v_sat, v_sat] ha passo Δ = 2v_sat/L. L'errore e = x − x^(q) è di saturazione fuori range (illimitato, da rendere raro con P_sat piccola) e granulare dentro (|e| ≤ Δ/2, uniforme con potenza Δ²/12). L'SNR di quantizzazione Λ_q = E[x²]/E[e²] vale in decibel 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77 + 6,02·b: ogni bit in più dà 6 dB. Per b minimo che garantisce una specifica: ⌈(specifica − c)/6,02⌉ con c = 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77.Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione →, Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-DIn un quantizzatore non uniforme gli intervalli I_i hanno larghezze diverse (stretti dove la densità è alta) e la potenza dell'errore è M_e = Σ M_{e_i} P(x ∈ I_i), con M_{e_i} = E[(x − a_qi)² | x ∈ I_i]. Si realizza con il companding (compressore μ(x), quantizzatore uniforme, espansore) o raggruppando gli intervalli di un quantizzatore uniforme fine. Nella conversione A-D con campionamento ogni T_s e b bit per campione, T_b = T_s/b e R_b = b/T_s bit/s. Esempio completo con densità esponenziale a due lati: v_sat, b, bit rate e periodo di simbolo della 16-QAM.Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

La densità. Sul tratto crescente-costante $[-1{,}625,-0{,}125]$ vale $\frac13$ (area $\frac13\cdot1{,}5=\frac12$); sul tratto discendente $[-0{,}125,2{,}875]$ è la retta che passa per $(-0{,}125,\frac13)$ e $(2{,}875,0)$, di pendenza $-\frac{1/3}{3}=-\frac19$, cioè $p_x(a)=\frac{2{,}875-a}{9}$ (area del triangolo $\frac12\cdot3\cdot\frac13=\frac12$). Totale $1$.

(1) Valore di saturazione

I campioni stanno in $[-1{,}625,\,2{,}875]$ con certezza. Il quantizzatore uniforme ha range simmetrico $[-v_{sat},v_{sat}]$: per non avere mai saturazione serve $v_{sat}\ge\max|a|=2{,}875$. Valori più grandi non diminuiscono più la probabilità di saturazione (già nulla) ma aumentano $\Delta=\frac{2v_{sat}}L$, quindi il valore ottimo è il minimo: $$v_{sat}=2{,}875.$$ (La parte negativa $[-2{,}875,-1{,}625]$ del range resta inutilizzata: è il prezzo di un range simmetrico con densità asimmetrica.)

(2) SNR di quantizzazione con $8$ bit

A media nulla $\sigma_x^2=\int a^2p_x(a)\,da$, somma di due integrali: $$\int_{-1{,}625}^{-0{,}125}\frac{a^2}3\,da=\frac19\Big[a^3\Big]_{-1{,}625}^{-0{,}125}=\frac{-0{,}00195+4{,}2910}{9}=0{,}4766,$$ $$\int_{-0{,}125}^{2{,}875}a^2\,\frac{2{,}875-a}{9}\,da=0{,}6328.$$ Quindi $\sigma_x^2=0{,}4766+0{,}6328=1{,}1094$ (esattamente $\frac{71}{64}$) e $\sigma_x=1{,}053$. Con $b=8$: $$(\Lambda_q)_{dB}=20\log_{10}\frac{\sigma_x}{v_{sat}}+4{,}77+6{,}02\cdot8=20\log_{10}\frac{1{,}053}{2{,}875}+4{,}77+48{,}16=-8{,}72+4{,}77+48{,}16=44{,}21\ \text{dB}.$$ La soluzione del corso riporta $44{,}67$ dB, ma il calcolo dà $44{,}21$ dB: la stessa varianza $1{,}11$ e gli stessi dati portano a $20\log_{10}\frac{\sqrt{1{,}11}}{2{,}875}=-8{,}72$ e non a $-8{,}26$; la formula esatta $10\log_{10}\Big(3\frac{\sigma_x^2}{v_{sat}^2}2^{16}\Big)$ conferma $44{,}21$ dB (controllato con Python).

(3) Funzione caratteristica con $2$ bit

$L=2^2=4$ livelli e passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}L=\frac{5{,}75}4=1{,}4375$.

• Soglie: $-\Delta,\ 0,\ \Delta=-1{,}4375,\ 0,\ 1{,}4375$ (con le saturazioni a $\pm v_{sat}=\pm2{,}875$).
• Livelli (centri degli intervalli): $-\frac{3\Delta}2=-2{,}156$, $-\frac\Delta2=-0{,}719$, $\frac\Delta2=0{,}719$, $\frac{3\Delta}2=2{,}156$.
• Mappatura modulo e segno: bit di segno $0$ per i positivi e $1$ per i negativi, poi il modulo: $+0{,}719\to00$, $+2{,}156\to01$, $-0{,}719\to10$, $-2{,}156\to11$.

(4) Probabilità di ricostruire l'altro livello

I due ingressi: $x=2{,}5$ sta nell'intervallo $[\Delta,\,2\Delta]=[1{,}4375,\,2{,}875]$, livello $+2{,}156$ e parola $01$; $x=-1{,}5$ sta in $[-2{,}875,-1{,}4375]$ (perché $1{,}5>1{,}4375$), livello $-2{,}156$ e parola $11$. Le due parole differiscono solo nel primo bit (il segno). Con la mappatura di Gray della $4$-QAM i due bit stanno su assi diversi: il primo bit decide il segno della componente su un asse, il secondo bit quello sull'altro; le parole $01$ e $11$ corrispondono quindi a due simboli adiacenti (stesso segno sul secondo asse, segno opposto sul primo).

Per la $4$-QAM con energia media per simbolo $E_s$ le coordinate sono $\big(\pm\sqrt{E_s/2},\pm\sqrt{E_s/2}\big)$ e il rumore ha varianza $\sigma_I^2$ per dimensione. Per ricostruire l'altro livello il ricevitore deve sbagliare il segno sul primo asse (probabilità $Q\big(\frac{\sqrt{E_s/2}}{\sigma_I}\big)$) e non sbagliarlo sul secondo asse: $$P=Q\Big(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\Big)\Big[1-Q\Big(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\Big)\Big]=Q\big(\sqrt5\big)\big[1-Q(\sqrt5)\big]=0{,}01267\cdot0{,}98733=0{,}0125.$$ (con $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=10$; coincide con la soluzione del corso, $1{,}25\cdot10^{-2}$).

(5) $16$-QAM con la stessa energia

Ogni simbolo della $16$-QAM porta $\log_216=4$ bit; ogni campione quantizzato ne ha $2$: con un simbolo si trasmettono $2$ campioni quantizzati. A parità di energia media $E_s$, i $16$ punti sono più fitti dei $4$ della $4$-QAM: le coordinate su ogni asse sono $\pm a,\pm3a$ con $a=\sqrt{E_s/10}$ (energia media $2\cdot5a^2=10a^2$) invece di $\pm\sqrt{E_s/2}$, quindi la distanza fra punti vicini scende di un fattore $\sqrt5$ ($2a$ contro $2\sqrt{E_s/2}$). L'argomento della $Q$ per l'errore su una soglia passa da $\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}=\sqrt5$ a $\sqrt{\frac{E_s}{10\sigma_I^2}}=1$: da $Q(\sqrt5)=0{,}0127$ a $Q(1)=0{,}159$. Quindi la probabilità del punto precedente aumenta (rumore uguale, punti più vicini).

(6) Quantizzatore non uniforme a $3$ livelli equiprobabili

Le soglie $A<0$ e $B>0$ dividono l'asse in $(-\infty,A]$, $[A,B]$, $[B,\infty)$ e si vogliono tre probabilità uguali a $\frac13$ (Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-DIn un quantizzatore non uniforme gli intervalli I_i hanno larghezze diverse (stretti dove la densità è alta) e la potenza dell'errore è M_e = Σ M_{e_i} P(x ∈ I_i), con M_{e_i} = E[(x − a_qi)² | x ∈ I_i]. Si realizza con il companding (compressore μ(x), quantizzatore uniforme, espansore) o raggruppando gli intervalli di un quantizzatore uniforme fine. Nella conversione A-D con campionamento ogni T_s e b bit per campione, T_b = T_s/b e R_b = b/T_s bit/s. Esempio completo con densità esponenziale a due lati: v_sat, b, bit rate e periodo di simbolo della 16-QAM.Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D →: intervalli equiprobabili).

• Intervallo di sinistra: la densità è $\frac13$ costante fino a $-0{,}125$, e a sinistra di $-1{,}625$ è nulla: $$P(x\le A)=\frac13\,(A+1{,}625)=\frac13\ \Longrightarrow\ A+1{,}625=1\ \Longrightarrow\ A=-0{,}625.$$
• Intervallo di destra: la coda $[B,2{,}875]$ è un triangolo (a destra di $-0{,}125$ la densità è $\frac{2{,}875-a}{9}$): area $=\frac12\cdot(2{,}875-B)\cdot\frac{2{,}875-B}{9}=\frac{(2{,}875-B)^2}{18}$. Imponendo $\frac13$: $$\frac{(2{,}875-B)^2}{18}=\frac13\ \Longrightarrow\ (2{,}875-B)^2=6\ \Longrightarrow\ B=2{,}875-\sqrt6=0{,}4255.$$ (Si sceglie il segno con $B<2{,}875$; $B=0{,}4255>-0{,}125$ conferma che è nel tratto lineare. Sviluppando il quadrato si ritrova la forma $0{,}0556B^2-0{,}319B+0{,}459=\frac13$ della soluzione del corso.) L'intervallo centrale $[-0{,}625,\,0{,}4255]$ ha probabilità $1-\frac13-\frac13=\frac13$. I livelli sono $A-0{,}5=-1{,}125$, $\frac{A+B}2=-0{,}100$, $B+0{,}5=0{,}926$.

(Tutti i valori sono stati verificati con Python: $\sigma_x^2=1{,}1094$, $44{,}21$ dB, $\Delta=1{,}4375$, $0{,}01251$, $A=-0{,}625$, $B=0{,}42551$ con probabilità $0{,}3333$ per ciascun livello.)

Errori comuni

• Scegliere $v_{sat}=1{,}625$ (il lato negativo) o la semiampiezza $\frac{2{,}875+1{,}625}{2}$: con il range simmetrico serve il valore massimo in modulo, $2{,}875$.
• Applicare la formula dell'SNR con la deviazione standard sbagliata ($\sigma_x$, non $\sigma_x^2$, dentro $20\log_{10}$).
• Pensare che per sbagliare livello basti sbagliare un bit qualsiasi: serve sbagliare solo quello che distingue i due livelli e non l'altro, quindi il fattore $\big[1-Q(\cdot)\big]$.
• Usare il passo e i livelli della $16$-QAM del punto 5 senza ricalcolare l'energia per simbolo.
• Per le soglie equiprobabili imporre $\frac13$ sul solo intervallo di sinistra e dimenticare quello di destra, che è un triangolo (area quadratica in $2{,}875-B$).