Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN

Da bit a segnale e ritorno

La sorgente (o il codificatore di canale) produce una sequenza di bit $b_l\in\{0,1\}$, uno ogni $T_b$ secondi ($T_b$ è il tempo di bit, $R_b=\frac1{T_b}$ il bit-rate). Un cavo, una fibra o l'aria non trasportano bit: trasportano segnali, cioè funzioni del tempo a valori reali (tensioni). La modulazione digitale è il passaggio

$$\text{segnale digitale (bit)}\ \longrightarrow\ \text{segnale analogico}\ \longrightarrow\ \text{canale}\ \longrightarrow\ \text{segnale digitale (bit)}.$$

Il secondo passaggio (dal segnale analogico ricevuto ai bit) è la demodulazione. Nel mezzo c'è il canale: il mezzo di comunicazione, che porta con sé rumore e interferenze. La sorgente di bit può essere un convertitore A-D (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →), un codificatore di sorgente o un codificatore di canale, come nelle altre parti del corso.

Versione per Ing. Elettronica: Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →.

Il trasmettitore: bit map e modulatore

Il trasmettitore è fatto di due blocchi in cascata:

$$b_l\ \xrightarrow{\ T_b\ }\ \boxed{\text{BIT MAP}}\ \xrightarrow{\ a_m,\ T\ }\ \boxed{\text{MOD}}\ \xrightarrow{\ s_{Tx}(t)\ }\ \text{canale}.$$

1. Bit map. Raggruppa i bit in parole di $\log_2M$ bit e a ogni parola associa un numero intero, il simbolo $a_m\in\{1,\dots,M\}$, con $M$ potenza di $2$ (così tutte le $M=2^b$ parole da $b$ bit hanno un simbolo). Se i bit arrivano ogni $T_b$ e ogni simbolo ne raccoglie $\log_2M$, un simbolo esce ogni

$$\boxed{T=T_b\cdot\log_2M}$$

secondi: $T$ è il periodo di simbolo e $R=\frac1T$ il baud-rate (simboli al secondo), con $R=\frac{R_b}{\log_2M}$.

Esempio ($M=4$). La bit map è $00\to1$, $01\to2$, $10\to3$, $11\to4$. La sequenza di bit

$$01\,|\,11\,|\,00\,|\,01\,|\,11\,|\,01\ \longrightarrow\ a_m:\ 2\,|\,4\,|\,1\,|\,2\,|\,4\,|\,2$$

si divide in coppie perché $\log_2 4=2$, quindi $T=2T_b$. Con un bit-rate di $2$ Mbit/s si ha $T_b=0{,}5\ \mu$s, $T=1\ \mu$s e un baud-rate di $1$ Mbaud: ogni simbolo porta due bit. Con lo stesso bit-rate e $M=16$ ($4$ bit per simbolo) sarebbe $T=2\ \mu$s: più punti per simbolo significa meno simboli al secondo, quindi una banda più stretta, ma segnali più difficili da distinguere (si vedrà con la probabilità d'errore).

2. Modulatore. Associa a ciascun simbolo un segnale, detto anche forma d'onda:

$$a_m=k\ \longmapsto\ s_k(t),\qquad k=1,\dots,M.$$

L'insieme $\{s_1(t),\dots,s_M(t)\}$ si chiama segnalazione. Il segnale trasmesso è la successione delle forme d'onda scelte dai simboli, ciascuna spostata di un multiplo del periodo di simbolo:

$$\boxed{s_{Tx}(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}s_{a_m}(t-mT)}$$

All'istante $mT$ comincia la forma d'onda dell'$m$-esimo simbolo. Per questo $T$ è anche la durata massima di ogni $s_k(t)$, se non si vuole che si sovrappongano.

Esempio ($M=2$). $s_1(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ e $s_2(t)=-s_1(t)$, con $T=T_b$: nella notazione $\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_c}{L}\right)$ il numero $t_c$ è il centro dell'impulso e $L$ la sua larghezza, quindi $s_1$ vale $1$ tra $0$ e $T$ (Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →). I bit $1\,0\,1\,1\,0$ (con $1\to s_1$ e $0\to s_2$) danno $s_{Tx}(t)=s_1(t)+s_2(t-T)+s_1(t-2T)+s_1(t-3T)+s_2(t-4T)$, cioè un segnale a gradini $+1,-1,+1,+1,-1$.

Il canale

Il segnale $s_{Tx}(t)$ passa nel canale e in ricezione si ha il segnale ricevuto $r(t)$. Tre modelli:

• Canale ideale: $r(t)=s_{Tx}(t)$.
• Canale AWGN (additive white Gaussian noise): $r(t)=A\,s_{Tx}(t)+w(t)$. Il numero $A$ è il guadagno (o l'attenuazione, se $A<1$) del canale, e $w(t)$ è il rumore: bianco (campioni a tempi diversi non correlati), gaussiano e additivo. Il suo effetto sulla decisione è il tema di Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →. Un guadagno in potenza di $G_{dB}$ decibel corrisponde a $A=10^{G_{dB}/20}$ (e una perdita a $G_{dB}<0$): per esempio $5$ dB danno $A=10^{5/20}=1{,}78$ (Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →).
• Canale multipath (a cammini multipli, gli echi): $r(t)=\sum_{k=1}^KA_k\,s_{Tx}(t-\tau_k)+w(t)$. Arrivano $K$ copie del segnale, ciascuna con il proprio guadagno $A_k$ e il proprio ritardo $\tau_k$ (un'onda radio che rimbalza su edifici diversi).

Che cosa fa il multipath

Sostituendo la definizione di $s_{Tx}$ nella formula e scambiando le due somme:

$$r(t)=\sum_{k=1}^KA_k\left[\sum_{m}s_{a_m}(t-\tau_k-mT)\right]=\sum_m\underbrace{\left[\sum_{k=1}^KA_k\,s_{a_m}(t-\tau_k-mT)\right]}_{s'_{a_m}(t-mT)}.$$

Ponendo

$$s'_j(t)=\sum_{k=1}^KA_k\,s_j(t-\tau_k)\qquad j=1,\dots,M,$$

cioè la risposta del canale a una sola forma d'onda $s_j$ trasmessa da sola (senza rumore), il ricevitore vede una trasmissione con le forme d'onda $s'_1,\dots,s'_M$ al posto delle $s_1,\dots,s_M$, ancora su un canale AWGN. I due effetti sono dunque:

1. le singole forme d'onda vengono deformate (si passa da $s_j$ a $s'_j$): per il ricevitore tutto va come se la segnalazione fosse quella nuova;
2. interferenza intersimbolica (ISI): la forma $s'_j$ dura più di $T$ (lo spostamento più lungo $\tau_k$ la allunga) e si sovrappone a quella dei simboli vicini.

Esempio. Canale con due cammini, $A_1=A_2=1$, $\tau_1=0$, $\tau_2=\frac T2$, e $s_1=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$, $s_2=-s_1$. Allora $s'_1(t)=s_1(t)+s_1\left(t-\frac T2\right)$ vale $1$ per $0<t<\frac T2$, $2$ per $\frac T2<t<T$ (dove i due impulsi si sommano), $1$ per $T<t<\frac{3T}2$: dura $\frac{3T}2$, cioè sconfina di mezzo periodo nel simbolo seguente.

Se si trasmettono i bit $1,0$ (cioè $s_1(t)+s_2(t-T)$), il ricevitore vede $s'_1(t)-s'_1(t-T)$, che tra $T$ e $\frac{3T}2$ vale $1-1=0$ e tra $\frac{3T}2$ e $2T$ vale $-1-1=-2$ (la coda del primo simbolo si sovrappone all'inizio del secondo). Il secondo simbolo, preso da solo, darebbe $-1$ tra $T$ e $\frac{3T}2$: la coda del primo lo ha cancellato, ed è questa la ISI.

Nel resto di questa parte si trascura l'ISI (si considera la trasmissione di un solo simbolo) e si assume un canale AWGN: $r(t)=s_{a_0}(t)+w(t)$ con $a_0$ il simbolo trasmesso nell'intervallo $[0,T]$. Il caso multipath si riporta a questo con le forme $s'_j$.

Il ricevitore

Il ricevitore ha due blocchi:

$$r(t)\ \longrightarrow\ \boxed{\text{DEM DIG}}\ \xrightarrow{\ \hat a_m,\ T\ }\ \boxed{\text{BIT DEMAP}}\ \xrightarrow{\ \hat b_l,\ T_b\ }.$$

Il demodulatore digitale decide, ogni $T$, quale forma d'onda (quale simbolo $\hat a_m\in\{1,\dots,M\}$) è stata trasmessa guardando $r(t)$; la bit demap inverte la tabella della bit map ($1\to00$, $2\to01$, ...) e restituisce i bit $\hat b_l$. Il demodulatore è il blocco difficile: con rumore la decisione può sbagliare, e il progetto del modulatore e del demodulatore ha lo scopo di rendere piccola la probabilità d'errore.

I passi successivi, nelle note seguenti:

1. come rappresentare le forme d'onda come vettori (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →);
2. come il demodulatore proietta $r(t)$ su questa rappresentazione (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →);
3. quali regioni di decisione massimizzano la probabilità di decidere bene (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →);
4. come realizzare il ricevitore (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →).

Errori comuni

• Dire che $T=T_b$ in generale: vale solo per $M=2$; per $M$ qualsiasi è $T=T_b\log_2M$.
• Confondere bit-rate (bit/s) e baud-rate (simboli/s): coincidono solo con $M=2$.
• Dimenticare che il multipath ha due effetti, la deformazione delle forme d'onda e l'ISI.
• Scrivere $r(t)=s_{Tx}(t)+w(t)$ per un canale che attenua o amplifica: serve il fattore $A$.

Domande d'esame

1. Si descrivano il trasmettitore e il ricevitore di un sistema di comunicazione digitale. Bit map ($\log_2M$ bit per simbolo), modulatore ($s_{Tx}=\sum s_{a_m}(t-mT)$), canale, demodulatore digitale e bit demap; relazione $T=T_b\log_2M$.
2. Che effetti ha un canale a cammini multipli? Deforma le forme d'onda ($s'_j=\sum_kA_ks_j(t-\tau_k)$) e crea interferenza tra simboli vicini perché le forme si allungano oltre $T$.
3. Un sistema con bit-rate $R_b=8$ Mbit/s usa $M=16$. Quanto vale $T$? $T=T_b\log_216=4T_b=4\cdot0{,}125\ \mu\text{s}=0{,}5\ \mu\text{s}$ (baud-rate $2$ Mbaud).

Esercizi svolti

• Esercizio - rect e onda quadra ortogonali, attenuazione, amplificatore e costante aggiunta (compito dell'11 febbraio 2025, es. 191): periodo di simbolo ricavato dal bit-rate, attenuazione e amplificatore sul canale AWGN.
• Esercizio - segnali esponenziali antipodali con p1 = 0,2, soglia MAP, canale simmetrico, entropia e informazione mutua (compito del 13 febbraio 2026, es. 200): periodo di simbolo ricavato dalla frequenza dei simboli e attenuazione in dB.