Esercizio - segnalazione ternaria con due segnali ortogonali e un opposto, regioni, union bound e QPSK (esercizi del corso, cap. 3, es. 34)

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Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →.

Base e costellazione

$s_1$ vale $2A=10$ V nella seconda metà $\left[\frac T2,T\right]$ (rect centrato in $0{,}75T$, larghezza $0{,}5T$), $s_2$ vale $10$ V nella prima metà $\left[0,\frac T2\right]$, $s_3=-s_1$. Supporti disgiunti: $s_1\perp s_2$; $s_3$ è sulla stessa retta di $s_1$. Le energie sono uguali: $$E_s=E_1=E_2=E_3=(2A)^2\cdot\frac T2=100\cdot0{,}5=50\ \text{V}^2\text{s},\qquad\sqrt{E_s}=7{,}07\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ La base ha dimensione $I=2$: $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_s}}=\sqrt2$ su $\left[\frac T2,T\right]$ e $\phi_2=\frac{s_2}{\sqrt{E_s}}=\sqrt2$ su $\left[0,\frac T2\right]$ (energia $2\cdot0{,}5=1$ ✓). Punti: $$\mathbf s_1=[\sqrt{E_s},0]=[7{,}07,0],\qquad\mathbf s_2=[0,\sqrt{E_s}]=[0,7{,}07],\qquad\mathbf s_3=[-\sqrt{E_s},0]=[-7{,}07,0].$$ Distanze: $d_{1,2}=d_{2,3}=\sqrt{2E_s}=10$ e $d_{1,3}=2\sqrt{E_s}=14{,}14$.

(1) Ricevitore più efficiente

Con $M=3$ e $I=2$ conviene lo schema a due rami, uno per funzione di base (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →): filtri adattati a $\phi_1$ e $\phi_2$ con risposte impulsive $$\psi_1(t)=\phi_1(T-t)=\sqrt2\ \text{su}\ \left[0,\tfrac T2\right],\qquad\psi_2(t)=\phi_2(T-t)=\sqrt2\ \text{su}\ \left[\tfrac T2,T\right]$$ (si possono anche scrivere $\psi_i(t)=\frac{s_i(T-t)}{\sqrt{E_s}}$), campionati in $t_0=T$; i due campioni $[x,y]=[r_1,r_2]$ entrano nel blocco di decisione a minima distanza. Lo schema alternativo con $M=3$ filtri sui segnali, che sottrae $\frac{E_m}2=25$ in ogni ramo (tutte uguali: si omette) e prende il massimo, richiede un ramo in più.

(2) Regioni di decisione

Simboli equiprobabili e AWGN: minima distanza. Per $\mathbf s_1=(a,0)$, $\mathbf s_2=(0,a)$, $\mathbf s_3=(-a,0)$, $a=\sqrt{E_s}$, confini = assi dei segmenti:

• $\mathbf s_1$-$\mathbf s_2$: la retta $y=x$ (bisettrice, per simmetria rispetto agli assi);
• $\mathbf s_2$-$\mathbf s_3$: la retta $y=-x$;
• $\mathbf s_1$-$\mathbf s_3$: la retta $x=0$ (con $y<0$; per $y>0$ è coperta dal punto $\mathbf s_2$).

$$\mathcal R_1=\{x>0,\ x>y\},\qquad\mathcal R_2=\{y>|x|\},\qquad\mathcal R_3=\{x<0,\ y<-x\}.$$ Sono tre regioni a spicchio che si incontrano nell'origine; $\mathcal R_2$ è l'angolo di $90^\circ$ sopra le due bisettrici, $\mathcal R_1$ e $\mathcal R_3$ coprono ciascuna $135^\circ$. (Verificato numericamente contro il criterio del punto più vicino.)

(3) Upper bound

La più stretta tra le maggiorazioni studiate è la union bound con tutte le distanze (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →); con $\sigma_I=1$ il rapporto $\frac d{2\sigma_I}$ vale $5$ per le coppie a distanza $10$ e $7{,}07$ per quella a $14{,}14$: $$P_e\le\frac13\sum_{m}\sum_{n\ne m}Q\left(\frac{d_{n,m}}{2\sigma_I}\right)=\frac13\left[4\,Q(5)+2\,Q(5\sqrt2)\right]=\frac13\left[4\cdot2{,}87\cdot10^{-7}+2\cdot7{,}7\cdot10^{-13}\right]=3{,}8\cdot10^{-7}.$$ (Il bound grezzo $(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=2Q(5)=5{,}7\cdot10^{-7}$ è meno stretto.)

(4) Costellazione con quattro segnali

Con $s_4=-s_2$ si aggiunge il punto $\mathbf s_4=(0,-\sqrt{E_s})=(0,-7{,}07)$: quattro punti sugli assi, a distanza $\sqrt{E_s}$ dall'origine, uno per semiasse. Sono due coppie di segnali opposti, ciascuna ortogonale all'altra: una modulazione biortogonale con $M=4$ ($M/2=2$ segnali ortogonali più gli opposti). Geometricamente è un quadrato ruotato di $45^\circ$: coincide con una 4-QAM (QPSK) con energia media $E_s=50$ (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →). Le regioni sono i quadranti delimitati dalle bisettrici $y=\pm x$.

(5) $P_{bit}$ del sistema a quattro segnali

Si ruota il riferimento di $45^\circ$: $u=\frac{x+y}{\sqrt2}$ e $v=\frac{y-x}{\sqrt2}$ (stesso rumore, ancora indipendente con $\sigma_I^2=1$ per la rotazione ortogonale). Nelle nuove coordinate i punti sono $\left(\pm\frac{\sqrt{E_s}}{\sqrt2},\pm\frac{\sqrt{E_s}}{\sqrt2}\right)=(\pm5,\pm5)$ e le regioni sono i quadranti. Con la mappatura di Gray $\mathbf s_2\to00$, $\mathbf s_3\to10$, $\mathbf s_4\to11$, $\mathbf s_1\to01$ (due punti adiacenti differiscono in un solo bit), un bit è il segno di $u$ e l'altro il segno di $v$, e ciascuno è sbagliato con probabilità $Q\left(\frac5{\sigma_I}\right)=Q(5)$: $$P_{bit}=Q(5)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)=2{,}87\cdot10^{-7},$$ con $N_0=2\sigma_I^2=2$ e $\frac{E_s}{N_0}=25$. La probabilità d'errore di simbolo è $P_e=1-[1-Q(5)]^2=2Q(5)-Q(5)^2\simeq5{,}7\cdot10^{-7}$, ed è il doppio di $P_{bit}$ (con $\log_2M=2$ bit per simbolo e un solo bit sbagliato per errore, $P_{bit}=\frac{P_e}2$ a meno di $Q(5)^2$). La soluzione del corso riporta $2{,}85\cdot10^{-7}$, vicino ma non uguale a $Q(5)=2{,}87\cdot10^{-7}$. Rispetto al sistema ternario l'aggiunta di $s_4$ non cambia la distanza minima ($10$) ma aggiunge un bit per simbolo.