Esercizio - 4-PAM con rumore moltiplicativo, criterio ML e confini delle regioni (compito del 24 gennaio 2025, es. 187)

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Teoria usata: Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

(1) Costellazione al ricevitore

Con $w_k=0$ il campione è il punto della costellazione: $r_k=s_{a_k}$. Per la 4-PAM la base è $\phi_1=\frac{h}{\sqrt{E_h}}$ e i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ con $\alpha_m\in\{-3,-1,1,3\}$. Con $E_h=4$ V$^2$s, $\sqrt{E_h}=2$ V$\sqrt{\text{s}}$: $$s_1=-6,\quad s_2=-2,\quad s_3=+2,\quad s_4=+6.$$

(2) Criterio di decisione

I simboli sono equiprobabili, quindi MAP e ML coincidono (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Il criterio MD (minima distanza) è invece ottimo solo se il rumore è gaussiano con la stessa varianza per tutti i simboli (le curve di verosimiglianza sono campane uguali e il confine sta a metà): qui, come si vede al punto 3, la varianza dipende dal simbolo, quindi il criterio ottimo è il ML: si decide il simbolo $m$ che massimizza la densità $p(r\mid a_0=m)$, e i confini non stanno a metà tra i punti.

(3) Il rumore equivalente dipende dal simbolo

Si scrive $$r_k=s_{a_k}+s_{a_k}w_k=s_{a_k}+n_k,\qquad n_k=s_{a_k}\,w_k.$$ Questo è un PAM con rumore additivo $n_k$; dato il simbolo trasmesso ($s_{a_k}$ è una costante), $n_k$ è una gaussiana moltiplicata per una costante, quindi gaussiana a media nulla e con varianza $$\sigma_n^2(m)=s_m^2\,\sigma^2=s_m^2\cdot10^{-3}.$$ Per i quattro simboli:

• $s=\pm2$ ($s_2,s_3$): $\sigma_n^2=4\cdot10^{-3}=0{,}004$ ($\sigma_n=0{,}0632$);
• $s=\pm6$ ($s_1,s_4$): $\sigma_n^2=36\cdot10^{-3}=0{,}036$ ($\sigma_n=0{,}1897$).

Il rumore è maggiore per i simboli più lontani dall'origine (è un errore relativo del $\sqrt{\sigma^2}=3{,}16\%$ del valore del simbolo).

(4) Confini delle regioni di decisione (ML)

Date le densità $p(r\mid m)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma_m^2}}e^{-\frac{(r-s_m)^2}{2\sigma_m^2}}$ con $\sigma_m^2=0{,}036$ per $m=1,4$ e $0{,}004$ per $m=2,3$.

Confine tra $s_2$ e $s_3$ (stessa varianza): le due campane hanno la stessa forma, si incrociano a metà: $r=0$.

Confine tra $s_1=-6$ e $s_2=-2$. Si pone $p(r\mid1)=p(r\mid2)$ e si passa ai logaritmi: $$-\tfrac12\ln\sigma_1^2-\frac{(r-s_1)^2}{2\sigma_1^2}=-\tfrac12\ln\sigma_2^2-\frac{(r-s_2)^2}{2\sigma_2^2}.$$ Sviluppando i quadrati si ottiene un'equazione di secondo grado $\alpha r^2+\beta r+\gamma=0$ con $$\alpha=\frac1{2\sigma_2^2}-\frac1{2\sigma_1^2}=125-13{,}89=111{,}1,\quad\beta=\frac{s_1}{\sigma_1^2}-\frac{s_2}{\sigma_2^2}=-166{,}7+500=333{,}3,$$ $$\gamma=\frac12\ln\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}-\frac{s_1^2}{2\sigma_1^2}+\frac{s_2^2}{2\sigma_2^2}=\frac12\ln\frac19-500+500=-1{,}0986.$$ (I due termini grandi si annullano: $\frac{36}{2\cdot0{,}036}=\frac{4}{2\cdot0{,}004}=500$.) Le radici sono $r=-3{,}0033$ e $r=+0{,}0033$. La soluzione che cade tra $s_1$ e $s_2$ (cioè in $[-6,-2]$) è $$\theta_{12}=-3{,}0033.$$ L'altra radice non conta: a destra di $s_2$ sono più verosimili $s_2$ e $s_3$, che hanno una campana molto più alta. Per simmetria $\theta_{23}=0$ e $\theta_{34}=+3{,}0033$. Le regioni sono quindi $$\mathcal R_1=(-\infty,-3{,}003],\ \mathcal R_2=[-3{,}003,0],\ \mathcal R_3=[0,3{,}003],\ \mathcal R_4=[3{,}003,+\infty).$$ Perché non è $-4$. Con il criterio MD il confine sarebbe a metà tra $-6$ e $-2$, cioè $-4$. Con il ML si sposta verso $s_2$, il simbolo con meno rumore (campana stretta): il confine è circa $-3$, dove le distanze normalizzate $\frac{\lvert r-s_m\rvert}{\sigma_m}$ dai due simboli sono uguali: $\frac{3}{0{,}1897}=\frac{1}{0{,}0632}=15{,}8$. Poiché le deviazioni standard sono proporzionali ai simboli ($\sigma_m=\lvert s_m\rvert\sqrt{0{,}001}$), il punto di uguale distanza normalizzata è esattamente $r=\frac{s_1}{2}=-3$; il termine logaritmico di $\gamma$ lo sposta solo di $0{,}003$.

(La soluzione del corso scrive $\theta_{12}=-3{,}34$ con $A=80{,}9$, $B=101{,}44$, $C=-565{,}89$: questi coefficienti non corrispondono alle varianze $0{,}036$ e $0{,}004$ che la stessa soluzione ricava al punto 3 (con esse $\alpha=111{,}1$, $\beta=333{,}3$, $\gamma=-1{,}0986$), e la densità gaussiana vi è scritta senza il fattore $2$ a denominatore dell'esponente. Il valore corretto è $-3{,}003$; lo si è verificato cercando il massimo delle tre verosimiglianze su una griglia di $2\cdot10^6$ punti.)

Probabilità d'errore del canale moltiplicativo (non richiesta). Con i confini ML, ogni simbolo è a distanza $\frac{3{,}003}{0{,}1897}=15{,}8$ o $\frac{0{,}9967}{0{,}0632}=15{,}8$ deviazioni standard dal confine più vicino: $P[E]\simeq Q(15{,}8)\simeq10^{-56}$, trascurabile. Il disturbo moltiplicativo con $\sigma^2=0{,}001$ è piccolo (il $3\%$ del valore).

(5) Probabilità d'errore con rumore AWGN

Con guadagno unitario il punto di decisione ha la costellazione del punto 1 e il rumore AWGN di varianza $\sigma_I^2=0{,}2$ per dimensione, uguale per tutti i simboli: ora il criterio ottimo è la minima distanza (soglie in $-4,0,4$) e si applica la formula della PAM (Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →): $$P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}\right)=2\cdot\frac34\,Q\left(\frac{2}{\sqrt{0{,}2}}\right)=1{,}5\,Q(4{,}472)=1{,}5\cdot3{,}87\cdot10^{-6}=5{,}81\cdot10^{-6}.$$ (Metà distanza tra punti adiacenti: $\frac{d_{\min}}{2}=\sqrt{E_h}=2$; $\sigma_I=\sqrt{0{,}2}=0{,}4472$; verificato con Python: $Q(4{,}4721)=3{,}872\cdot10^{-6}$.) Energia media per simbolo $E_s=5E_h=20$, quindi $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=100$, cioè $20$ dB.

Errori comuni

• Usare il criterio MD con rumore a varianza diversa: i confini vanno cercati uguagliando le verosimiglianze, non a metà tra i punti.
• Dimenticare che $\sigma_n^2(m)=s_m^2\sigma^2$ è la varianza del rumore equivalente; la varianza di $w_k$ resta $\sigma^2=0{,}001$.
• Scrivere la densità gaussiana senza il $2$ nell'esponente $e^{-(r-s)^2/(2\sigma^2)}$ (è l'errore che porta al confine sbagliato $-3{,}34$).
• Tenere la radice dell'equazione di secondo grado fuori dall'intervallo tra i due simboli.