Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza

Il demodulatore ha calcolato il vettore $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$ (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →) e deve dire quale dei simboli $1,\dots,M$ è stato trasmesso. Si tratta di dividere lo spazio in zone, una per simbolo, in modo da sbagliare il meno possibile. Versioni per Ing. Elettronica e Ing. delle Telecomunicazioni: Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD → e Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →.

Regioni di decisione

Le regioni di decisione sono $M$ sottoinsiemi $\mathcal R_m\subseteq\mathbb R^I$, $m=1,\dots,M$, che formano una partizione dello spazio:

$$\bigcup_{m=1}^M\mathcal R_m=\mathbb R^I\ \ (\text{coprono tutto lo spazio}),\qquad\mathcal R_i\cap\mathcal R_j=\emptyset\ \ (i\ne j)\ \ (\text{sono disgiunte}).$$

Ogni vettore $\mathbf r$ cade in una e una sola regione, e se $\mathbf r\in\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. Le regioni non coincidono in genere con "il punto della costellazione più vicino": dipendono dal rumore e dalle probabilità dei simboli. Obiettivo: scegliere le regioni per massimizzare la probabilità di decisione corretta

$$P[C]=P\left[\hat a_0=a_0\right].$$

Si assume di conoscere:

• la densità del vettore ricevuto dato il simbolo, $p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid m)$, cioè "$P[\mathbf r=\boldsymbol\rho\mid a_0=m]$" (è un vettore di variabili continue, quindi una densità). Dipende dal canale: per l'AWGN è la nuvola gaussiana centrata su $\mathbf s_m$;
• le probabilità a priori $P_{a_0}(m)=P[a_0=m]$ (variabile discreta), che dipendono dal trasmettitore.

La probabilità di decisione corretta

Per il teorema delle probabilità totali (Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →),

$$P[C]=\sum_{m=1}^MP\left[\hat a_0=a_0\mid a_0=m\right]P_{a_0}(m).$$

Se è stato trasmesso $m$, decidere bene significa $\hat a_0=m$, cioè $\mathbf r\in\mathcal R_m$; e dato $a_0=m$ la densità di $\mathbf r$ è $p_{\mathbf r|a_0}(\cdot\mid m)$:

$$P[\hat a_0=a_0\mid a_0=m]=P[\mathbf r\in\mathcal R_m\mid a_0=m]=\int_{\mathcal R_m}p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid m)\,d\boldsymbol\rho.$$

L'integrando dipende dal canale, la regione di integrazione dal ricevitore. Mettendo insieme,

$$\boxed{P[C]=\sum_{m=1}^M\int_{\mathcal R_m}\underbrace{P_{a_0}(m)\,p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid m)}_{D(\boldsymbol\rho;m)}\,d\boldsymbol\rho}$$

Ogni regione $\mathcal R_m$ "raccoglie" il valore $D(\boldsymbol\rho;m)$ dei punti che contiene. Per massimizzare la somma, un punto $\boldsymbol\rho$ va assegnato alla regione il cui $D$ è il più grande, perché ogni punto va in una sola regione e conta una volta sola. Quindi

$$\mathcal R_m=\left\{\boldsymbol\rho\in\mathbb R^I\ :\ D(\boldsymbol\rho;m)\ge D(\boldsymbol\rho;k)\ \ \forall k\right\}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\hat a_0=\arg\max_mD(\mathbf r;m).$$

Il simbolo $\arg\max_m f(m)$ è il valore di $m$ in cui $f$ è massima: se $f=(3{,}5;\ 2{,}9;\ 8{,}4;\ 1{,}2;\ 2{,}3)$ per $m=1,\dots,5$ allora $\arg\max=3$; e moltiplicando tutti i valori per una costante positiva (per esempio $6$) il massimo resta nel posto $3$. Il confine tra due regioni è dove le due curve $D(\cdot\,;m)$ si incontrano.

Criterio MAP

Poiché $D(\boldsymbol\rho;m)=p_{\mathbf r,a_0}(\boldsymbol\rho,m)=p_{a_0|\mathbf r}(m\mid\boldsymbol\rho)\,p_{\mathbf r}(\boldsymbol\rho)$ (formula di Bayes) e $p_{\mathbf r}(\boldsymbol\rho)$ non dipende da $m$ (è la stessa costante positiva per tutti),

$$\boxed{\hat a_0=\arg\max_mP_{a_0}(m)\,p_{\mathbf r|a_0}(\mathbf r\mid m)=\arg\max_m\,p_{a_0|\mathbf r}(m\mid\mathbf r)}\qquad\text{criterio MAP.}$$

Maximum A Posteriori: si sceglie il simbolo più probabile dopo aver osservato $\mathbf r$. È il criterio ottimo, perché massimizza $P[C]$.

Criterio ML e simboli equiprobabili

Se i simboli sono equiprobabili, $P_{a_0}(m)=\frac1M$ non dipende da $m$ e si può eliminare dal confronto:

$$\hat a_0=\arg\max_m\,p_{\mathbf r|a_0}(\mathbf r\mid m)\qquad\text{criterio ML (maximum likelihood).}$$

Quindi con simboli equiprobabili MAP $=$ ML. Il ML si può usare anche quando le probabilità a priori non sono note, ma allora non è più ottimo.

Minima distanza (canale AWGN)

Per l'AWGN, con $\mathbf r|_{a_0=m}=\mathbf s_m+\mathbf w$ e $w_i\sim\mathcal N(0,\sigma_I^2)$ indipendenti,

$$p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid m)=\prod_{i=1}^I\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_I}e^{-\frac12\left(\frac{\rho_i-s_{m,i}}{\sigma_I}\right)^2}=\frac{1}{(2\pi\sigma_I^2)^{I/2}}\,e^{-\frac{1}{2\sigma_I^2}\sum_i(\rho_i-s_{m,i})^2}.$$

Il ML sceglie il $m$ che massimizza questa quantità. Il fattore davanti all'esponenziale non dipende da $m$ e si elimina; l'esponenziale è massimo quando l'esponente $-\frac{1}{2\sigma_I^2}\sum_i(\rho_i-s_{m,i})^2$ è massimo, cioè quando la somma è minima (il fattore $\frac1{2\sigma_I^2}$ è positivo):

$$\boxed{\hat a_0=\arg\min_m\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2=\arg\min_m d^2(\mathbf r,\mathbf s_m)}\qquad\text{criterio a minima distanza (MD).}$$

Riassunto.

La domanda d'esame tipica è "che criterio si usa e perché è ottimo": risposta, con simboli equiprobabili e rumore AWGN il criterio a minima distanza è ottimo, perché coincide con il ML che a sua volta coincide con il MAP.

Come sono fatte le regioni a minima distanza

Le regioni MD sono le celle di Voronoi della costellazione: $\mathcal R_m$ contiene i punti più vicini a $\mathbf s_m$ che a ogni altro. Il confine tra $\mathbf s_i$ e $\mathbf s_j$ è l'asse del segmento che li unisce (la retta, o il piano, perpendicolare a metà). In formule, si decide $j$ rispetto a $i$ se $\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert^2<\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_i\rVert^2$. Sviluppando i quadrati ($\lVert\boldsymbol\rho\rVert^2$ si cancella): $$-2\boldsymbol\rho\cdot\mathbf s_j+E_j<-2\boldsymbol\rho\cdot\mathbf s_i+E_i\iff2\,\boldsymbol\rho\cdot(\mathbf s_j-\mathbf s_i)>E_j-E_i,$$ una disequazione lineare in $\boldsymbol\rho$: il confine è un iperpiano perpendicolare a $\mathbf s_j-\mathbf s_i$ passante per il punto medio. Una regione è l'intersezione di semipiani, quindi è un poligono (convesso).

Esempio 1 (quattro punti nei quadranti). $\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_4$ ai vertici di un quadrato centrato nell'origine, per esempio $(\pm a,\pm a)$: gli assi dei segmenti sono gli assi coordinati, le regioni sono i quattro quadranti, e se è stato trasmesso $\mathbf s_1=(a,a)$ si sbaglia se il rumore sposta il punto oltre un asse.

Esempio 2 (tre punti in 2D). $\mathbf s_1=(1,1)$, $\mathbf s_2=(-1,1)$, $\mathbf s_3=(0,-2)$, energie $E_1=E_2=2$, $E_3=4$, simboli equiprobabili e AWGN. Con la disequazione precedente:

• $\mathbf s_1$ contro $\mathbf s_2$: $2(-2x)>E_2-E_1=0\iff x<0$ sceglie $2$, quindi $x>0$ sceglie $1$;
• $\mathbf s_3$ contro $\mathbf s_1$: $2\,\boldsymbol\rho\cdot(-1,-3)>4-2\iff-x-3y>1$, cioè si sceglie $3$ se $x+3y<-1$;
• $\mathbf s_3$ contro $\mathbf s_2$: $2\boldsymbol\rho\cdot(1,-3)>2\iff x-3y>1$. Le regioni sono $\mathcal R_1=\{x>0,\ x+3y>-1\}$, $\mathcal R_2=\{x<0,\ x-3y<1\}$, $\mathcal R_3=\{x+3y<-1,\ x-3y>1\}$; i tre confini si incontrano nel punto $\left(0,-\frac13\right)$ (equidistante dai tre punti).

Quando MD non è ottimo: il MAP con probabilità diverse

Se i simboli non sono equiprobabili, il MAP con AWGN confronta $P_j\,e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert^2/2\sigma_I^2}$ con $P_i\,e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_i\rVert^2/2\sigma_I^2}$. Passando al logaritmo (crescente), si decide $j$ rispetto a $i$ se $$\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_i\rVert^2-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert^2>2\sigma_I^2\ln\frac{P_i}{P_j}\iff\boxed{2\,\boldsymbol\rho\cdot(\mathbf s_j-\mathbf s_i)>E_j-E_i+2\sigma_I^2\ln\frac{P_i}{P_j}.}$$ Il confine è ancora un iperpiano perpendicolare al segmento $\mathbf s_i\mathbf s_j$, ma traslato: si sposta verso il simbolo meno probabile (se $P_i>P_j$ il termine a destra cresce e per scegliere $j$ serve $\boldsymbol\rho$ più verso $\mathbf s_j$). In una dimensione, con $s_i<s_j$, la soglia è $$\rho^*=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\,\frac{\ln\left(P_i/P_j\right)}{s_j-s_i}\qquad(\text{si decide }j\text{ se }\rho>\rho^*).$$ Se $P_i=P_j$ il logaritmo è zero e la soglia è a metà (MD). Lo spostamento è tanto maggiore quanto più è grande $\sigma_I^2$ (rumore forte: ci si fida di più dell'informazione a priori) e quanto più i punti sono vicini.

Esempio 3 (numerico). Due segnali antipodali $s_1=-2$ (probabilità $0{,}8$) e $s_2=+2$ (probabilità $0{,}2$), $\sigma_I=1$ (V$\sqrt{\text{s}}$).

• MD (soglia $0$): se $s_1$ è trasmesso si sbaglia se $r>0$, cioè $w>2$, con probabilità $Q(2)=0{,}0228$; se $s_2$ è trasmesso se $w<-2$, ancora $Q(2)$. $P[E]=0{,}8\,Q(2)+0{,}2\,Q(2)=0{,}0228$.
• MAP: $\rho^*=0+1\cdot\frac{\ln(0{,}8/0{,}2)}{4}=\frac{\ln4}4=0{,}347$. Con $s_1$ si sbaglia se $r>0{,}347$, cioè $w>2{,}347$: $Q(2{,}347)=0{,}0095$; con $s_2$ se $w<0{,}347-2=-1{,}653$: $Q(1{,}653)=0{,}0491$. $P[E]=0{,}8\cdot0{,}0095+0{,}2\cdot0{,}0491=0{,}0174$.

Il MAP riduce l'errore da $0{,}0228$ a $0{,}0174$ (verificato anche con una simulazione). I valori di $Q$ si trovano come in Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →; con simboli equiprobabili si ricade nelle formule di Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →.

Più punti in una dimensione. Con $M$ punti su una retta (per esempio $-5,-3,-1,1,3,5$ equiprobabili) le soglie MD sono i punti medi ($-4,-2,0,2,4$). Se le probabilità sono diverse, la soglia tra due vicini si sposta verso il meno probabile, e un simbolo molto probabile "mangia" regione ai vicini (fino a ingrandire molto la sua zona).

Altre considerazioni

• Un guadagno del canale ($r=G\,s+w$) ingrandisce la costellazione e non il rumore: con MD le regioni a minima distanza non cambiano forma (se i punti sono antipodali il confine resta per l'origine); con MAP la soglia $\rho^*$ cambia, perché cambiano $s_j-s_i$ e $E_j-E_i$.
• Le regioni sono definite nello spazio delle coordinate: ruotare o riflettere la base cambia le coordinate dei punti ma anche le regioni, e il risultato (probabilità d'errore) è lo stesso.
• Per calcolare $P[E]$ si integra la densità gaussiana sulle regioni sbagliate: per due punti vale $Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\mathbf s_1-\mathbf s_2\rVert$ (si veda la Parte C del corso e Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati → per realizzare la decisione).

Errori comuni

• Usare MD con probabilità diverse e dire che è ottimo.
• Spostare la soglia MAP verso il punto più probabile: va verso il meno probabile.
• Confondere $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ con $N_0$ nella formula della soglia.
• Dimenticare che MD, ML e MAP coincidono solo con simboli equiprobabili e canale AWGN.
• Disegnare i confini non perpendicolari al segmento che congiunge due punti.

Domande d'esame

1. Che criterio di decisione si usa con simboli equiprobabili su canale AWGN? È ottimo? Minima distanza; è ottimo perché per AWGN coincide con il ML e per simboli equiprobabili il ML coincide con il MAP, che massimizza $P[C]$.
2. Come cambiano le regioni se un simbolo viene trasmesso con probabilità maggiore? Il confine tra quel simbolo e un vicino resta perpendicolare al segmento ma si sposta verso il vicino, allargando la regione del simbolo più probabile; la probabilità d'errore condizionata a quel simbolo diminuisce e quella dell'altro aumenta.
3. Disegnare le regioni di decisione per tre punti dati. Si traccia l'asse di ciascun segmento ($2\boldsymbol\rho\cdot(\mathbf s_j-\mathbf s_i)=E_j-E_i$) e ogni regione è l'intersezione dei semipiani dalla parte del proprio punto.

Esercizi svolti

• Esercizio - 8-QAM a due anelli, regioni di decisione, lower bound e costellazione migliore (esercizi del corso, cap. 3, es. 23): regioni a minima distanza di un'8-QAM a due anelli.
• Esercizio - tre punti a L, regioni di decisione, union bound e costellazione ridotta a due punti (esercizi del corso, cap. 3, es. 28): tre punti a L e regioni con confini nell'origine.
• Esercizio - segnalazione ternaria con due segnali ortogonali e un opposto, regioni, union bound e QPSK (esercizi del corso, cap. 3, es. 34): costellazione ternaria e QPSK ruotata.
• Esercizio - quattro segnali su due assi con energie diverse, upper bound e MAP con simbolo più probabile (esame del 14 luglio 2023, es. 161): regioni con punti di energie diverse e MAP con un simbolo più probabile.
• Esercizio - segnali esponenziali antipodali con simboli non equiprobabili, soglia MAP e probabilità d'errore (primo compitino del 21 novembre 2025, es. 193): soglia MAP per segnali antipodali con probabilità $e^{0{,}9}$.
• Esercizio - segnali esponenziali antipodali con p1 = 0,2, soglia MAP, canale simmetrico, entropia e informazione mutua (compito del 13 febbraio 2026, es. 200): soglia MAP, canale simmetrico e informazione mutua.