Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza

Il demodulatore digitale (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'_m$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →) deve decidere quale simbolo è stato trasmesso a partire dalla forma d'onda ricevuta. Si assumono nessuna interferenza intersimbolica e canale AWGN; si studia un solo simbolo, trasmesso al tempo $0$:

$$r(t)=s_{a_0}(t)+w(t),\qquad a_0\in\{1,\dots,M\}.$$

Qui $s_1,\dots,s_M$ sono le forme d'onda come arrivano al ricevitore (cioè dopo il guadagno o l'attenuazione del canale). Per la versione di Ing. Elettronica si veda Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →.

Proiezione sulla base

Senza rumore il ricevitore vedrebbe una delle $M$ forme d'onda note: si costruisce quindi una base ortonormale $\{\phi_1,\dots,\phi_I\}$ del sottospazio da esse generato (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →) e si disegna la costellazione $\{\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M\}$.

Il demodulatore calcola le proiezioni del segnale ricevuto,

$$r_i=\langle r(t),\phi_i(t)\rangle=\int r(t)\phi_i(t)\,dt,\qquad i=1,\dots,I,\qquad\mathbf r=[r_1,\dots,r_I],$$

e per la linearità del prodotto interno

$$r_i=\underbrace{\langle s_{a_0},\phi_i\rangle}_{s_{a_0,i}}+\underbrace{\langle w,\phi_i\rangle}_{w_i}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w,\qquad\mathbf w=[w_1,\dots,w_I].}$$

Attenzione: $\mathbf r$ è il vettore che meglio approssima $r(t)$ nello spazio generato dalla base, ma $r(t)\ne\sum_ir_i\phi_i(t)$ in generale. La differenza è la parte di rumore che non cade nel sottospazio (vedi più avanti).

Il rumore dopo la proiezione

Il rumore $w(t)$ è un processo gaussiano, a media nulla e bianco: valori a istanti diversi sono scorrelati, e la sua autocorrelazione è $$E\left[w(t_1)w(t_2)\right]=\frac{N_0}2\,\delta(t_1-t_2),$$ con $\frac{N_0}2$ la densità spettrale di potenza (Processi stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo è stazionario in media, in potenza, nel primo ordine o in correlazione se la rispettiva grandezza non cambia traslando il tempo; stazionario in senso lato (sl) = media costante e r_x(t,s) = r_x(t-s); in senso stretto (ss) = tutte le densità invarianti. La densità spettrale di potenza R_x(f) = F[r_x(τ)] è non negativa e ha integrale = potenza statistica. Rumore bianco: R costante. Ciclostazionario: statistiche periodiche. Ergodico in media: la media temporale di una realizzazione converge a m_x.Processi stazionari e densità spettrale di potenza →). Si pone $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ (nel corso si trova anche scritto $\sigma_W^2$ per la "varianza" del rumore bianco). Ogni componente $w_i=\int w(t)\phi_i(t)\,dt$ è un integrale (operazione lineare) di un processo gaussiano:

1. è gaussiana;
2. ha media nulla: $E[w_i]=\int E[w(t)]\,\phi_i(t)\,dt=0$ (si scambiano valore atteso e integrale, e $\phi_i$ è deterministica);
3. correlazione: per qualsiasi coppia $i,j$ $$E[w_iw_j]=\iint\phi_i(t_1)\phi_j(t_2)\,E[w(t_1)w(t_2)]\,dt_1dt_2=\iint\phi_i(t_1)\phi_j(t_2)\,\frac{N_0}2\delta(t_1-t_2)\,dt_1dt_2=\frac{N_0}2\int\phi_i(t)\phi_j(t)\,dt.$$ L'ultimo integrale è il prodotto interno di due elementi di una base ortonormale: $$E[w_iw_j]=\begin{cases}0&i\ne j\\ \sigma_I^2=\frac{N_0}2&i=j\end{cases}$$

Quindi le $w_i$ hanno tutte varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e sono scorrelate; essendo congiuntamente gaussiane, la scorrelazione implica che sono indipendenti (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Il risultato non dipende dalla base scelta. Con le unità: $w_i$ si misura in V$\sqrt{\text{s}}$, la varianza in V$^2$s $=$ V$^2$/Hz, esattamente come $\frac{N_0}2$. (Un controllo numerico: discretizzando il rumore con un passo $\Delta t$, cioè campioni di varianza $\frac{N_0/2}{\Delta t}$, e proiettando su due funzioni ortonormali si ottengono due variabili con varianza $\frac{N_0}2$ e correlazione nulla.)

Esempio. Se $\frac{N_0}2=10^{-8}$ V$^2$/Hz, il rumore su ciascuna coordinata ha $\sigma_I^2=10^{-8}$ V$^2$s, cioè deviazione standard $\sigma_I=10^{-4}$ V$\sqrt{\text{s}}$, qualunque sia la base e qualunque sia il numero $I$ di dimensioni.

Densità del vettore ricevuto. Per l'indipendenza, la densità del rumore è il prodotto delle densità delle componenti. Condizionando al simbolo trasmesso $a_0=m$ (cioè $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$) si ottiene, per un punto $\boldsymbol\rho\in\mathbb R^I$,

$$\boxed{p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid m)=\prod_{i=1}^I\frac1{\sqrt{2\pi}\,\sigma_I}\,e^{-\frac12\left(\frac{\rho_i-s_{m,i}}{\sigma_I}\right)^2}=\frac{1}{\left(2\pi\sigma_I^2\right)^{I/2}}\,e^{-\frac{\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2}{2\sigma_I^2}}}$$

Dipende solo dalla distanza da $\mathbf s_m$: attorno a ogni punto della costellazione il vettore ricevuto forma una nuvola gaussiana circolare (uguale in tutte le direzioni). In una dimensione, con due punti $\pm1$ e $\sigma_I=0{,}5$, le densità sono due campane che si sovrappongono nella zona centrale: lì ogni decisione può sbagliare.

La parte di rumore che non conta

Il segnale $w(t)$ non è nel sottospazio generato da $\phi_1,\dots,\phi_I$: $w(t)\ne\sum_{i=1}^Iw_i\phi_i(t)$. Per capire che cosa si perde si completa la base fino a una base estesa $\{\bar\phi_i\}_{i=1}^\infty$, con $\bar\phi_i=\phi_i$ per $i\le I$, in modo che $w(t)=\sum_{i=1}^\infty w_i\bar\phi_i(t)$. Nel caso AWGN tutte le $w_i$ sono gaussiane indipendenti, con varianza $\sigma_I^2$. I segnali, però, stanno solo nel sottospazio, quindi hanno coordinate nulle su $\bar\phi_i$ con $i>I$, e il ricevitore ideale vedrebbe

$$\bar{\mathbf r}=[\underbrace{s_{a_0,1}+w_1,\dots,s_{a_0,I}+w_I}_{\mathbf r^{(I)}\ \text{(quelle che si calcolano)}},\ \underbrace{w_{I+1},\,w_{I+2},\dots}_{\mathbf r^{(II)}}].$$

Le componenti $w_{I+1},w_{I+2},\dots$ non portano informazione né sul simbolo trasmesso (non contengono $s_{a_0}$) né sul rumore che disturba le prime $I$ componenti (sono indipendenti da $w_1,\dots,w_I$): non servono a decidere e si possono ignorare. Proiettare su $\phi_1,\dots,\phi_I$ non è un'approssimazione che costa in prestazioni. Lo enuncia il teorema seguente.

Teorema di irrilevanza

Si consideri il criterio di decisione ottimo MAP per un canale generico (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →), $$\hat a_0=\arg\max_m\ p_{\mathbf r|a_0}(\mathbf r\mid m)\,P_{a_0}(m).$$ Si divide il vettore dei dati in due parti, $\mathbf r=\left[\mathbf r^{(I)},\mathbf r^{(II)}\right]$, con $\mathbf r^{(I)}$ le componenti nello spazio dei segnali (di dimensione $I$) e $\mathbf r^{(II)}$ le altre.

Teorema (irrilevanza). Se, dato il simbolo $m$, $\mathbf r^{(II)}$ è indipendente da $\mathbf r^{(I)}$, e inoltre la densità di $\mathbf r^{(II)}$ non dipende dal simbolo, $p_{\mathbf r^{(II)}|a_0}(\mathbf r^{(II)}\mid m)=p_{\mathbf r^{(II)}}(\mathbf r^{(II)})$ per ogni $m$, allora $$\hat a_0=\arg\max_m\ p_{\mathbf r^{(I)}|a_0}\left(\mathbf r^{(I)}\mid m\right)P_{a_0}(m):$$ la parte $\mathbf r^{(II)}$ è irrilevante e può essere scartata.

Dimostrazione. Per l'indipendenza la densità congiunta si spezza nel prodotto: $p\left(\mathbf r^{(I)},\mathbf r^{(II)}\mid m\right)=p\left(\mathbf r^{(I)}\mid m\right)p\left(\mathbf r^{(II)}\mid m\right)$. Il secondo fattore non dipende da $m$, quindi è una costante moltiplicativa positiva comune a tutti i termini del confronto, e non cambia quale $m$ massimizza. $\square$

Nel caso AWGN le condizioni valgono (le $w_i$ sono indipendenti tra loro e dal simbolo), quindi basta calcolare le $I$ proiezioni sulla base della segnalazione: $$\mathbf r^{(I)}=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w.$$

Esempio: quando il teorema non vale

Le condizioni sono necessarie. Sia $M=2$, con $s_1(t)=1$ per $0<t<\frac{2T}3$ e $s_2=-s_1$ (quindi $I=1$, $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{2T/3}}$), e supponiamo che il disturbo non sia AWGN ma assuma due soli valori, equiprobabili e indipendenti da $a_0$: $w_1(t)=1$ per $0<t<T$ oppure $w_2(t)=-w_1(t)$. Si introduce la seconda funzione $\phi_2=\frac1{\sqrt{T/3}}$ per $\frac{2T}3<t<T$ (ortogonale a $\phi_1$ e fuori dalla segnalazione). Le coordinate del disturbo sono $\pm\left[\sqrt{\tfrac{2T}3},\ \sqrt{\tfrac T3}\right]$. Le quattro possibili coppie (simbolo, disturbo) danno

(per $T=1$: $r_1=\pm1{,}633$ o $0$, $r_2=\pm0{,}577$; verificato numericamente con gli integrali). Con la sola $r_1$, quando $r_1=0$ (metà dei casi) i due simboli sono indistinguibili e si sbaglia una volta su due: $P[E]=\frac14$. Con anche $r_2$ le quattro coppie sono tutte distinte e la decisione è sempre esatta ($P[E]=0$): $r_2$ rivela il segno del disturbo, che si toglie da $r_1$. Qui $\mathbf r^{(II)}=r_2$ non è indipendente da $r_1$ (dipende dallo stesso disturbo), quindi non è irrilevante. Con il rumore bianco gaussiano questo non succede mai, perché ciascun $w_i$ è indipendente dagli altri.

Errori comuni

• Dire che il rumore "viene eliminato" dalla proiezione: viene eliminata solo la parte fuori dallo spazio dei segnali; resta la parte lungo le $\phi_i$, che disturba le coordinate.
• Dimenticare che $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ (e non $N_0$) è la varianza per dimensione, uguale per ogni base ortonormale.
• Credere che $\sum_ir_i\phi_i(t)$ sia uguale a $r(t)$.
• Applicare il teorema di irrilevanza senza controllare le due ipotesi (indipendenza da $\mathbf r^{(I)}$ e dal simbolo).

Domande d'esame

1. Quali proprietà statistiche hanno le componenti del rumore all'uscita del demodulatore? Gaussiane, media nulla, varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, indipendenti fra loro (scorrelate e gaussiane); la densità di $\mathbf r|m$ dipende solo da $\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$.
2. Perché basta proiettare su una base di dimensione $I$, anche se il rumore ha infinite componenti? Per il teorema di irrilevanza: le componenti fuori dallo spazio dei segnali sono indipendenti dal simbolo e dalle altre componenti, quindi non cambiano la decisione ottima.
3. Il rumore su un canale AWGN ha $\frac{N_0}2=2\cdot10^{-8}$ V$^2$/Hz. Quanto vale la varianza su ogni coordinata di una costellazione bidimensionale? $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=2\cdot10^{-8}$ V$^2$s su entrambe le coordinate, indipendenti.

Esercizi svolti

• Esercizio - costellazione rettangolare a quattro punti, ricevitore a due rami e probabilità di decisione corretta (esercizi del corso, cap. 3, es. 26): due componenti di rumore indipendenti e probabilità di decisione corretta.
• Esercizio - costellazione ortogonale, ricevitore a un filtro, quadrato traslato e QAM equivalente (compito del 13 febbraio 2026, es. 202): potenza del rumore dalla probabilità d'errore sul bit.
• Esercizio - rect e onda quadra ortogonali, attenuazione, amplificatore e costante aggiunta (compito dell'11 febbraio 2025, es. 191): effetto di un'attenuazione e di un amplificatore su segnale e rumore.