Esercizio - rect e onda quadra ortogonali, attenuazione, amplificatore e costante aggiunta (compito dell'11 febbraio 2025, es. 191)

---

Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →.

Periodo di simbolo e segnali

La modulazione è binaria ($M=2$, un bit per simbolo): $T=T_b=\frac1{R_b}=\frac1{10^7}=10^{-7}$ s (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'_m$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →). I segnali, di ampiezza $\pm1$ V:

• $s_1=1$ su tutto $[0,T]$;
• $s_2=+1$ su $\left[0,\frac T2\right]$ e $-1$ su $\left[\frac T2,T\right]$ (un'onda quadra a periodo $T$).

(1) Base e costellazione

Energie: $E_1=\int_0^T1\,dt=T$ e $E_2=\int_0^T(\pm1)^2dt=T$: uguali, $E_s=T=10^{-7}$ V$^2$s. Prodotto scalare: $\langle s_1,s_2\rangle=\int_0^{T/2}1\,dt-\int_{T/2}^T1\,dt=\frac T2-\frac T2=0$: i segnali sono ortogonali ($\rho=0$). Una base ortonormale è data dai segnali normalizzati: $$\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt T},\qquad\phi_2=\frac{s_2}{\sqrt T},\qquad\mathbf s_1=[\sqrt T,0]=[3{,}16\cdot10^{-4},0],\quad\mathbf s_2=[0,\sqrt T]\ \ (\text{V}\sqrt{\text{s}}).$$ Alternativa: la base dei due mezzi periodi, $\phi_a=\sqrt{\frac2T}$ su $\left[0,\frac T2\right]$ e $\phi_b=\sqrt{\frac2T}$ su $\left[\frac T2,T\right]$, dà $\mathbf s_1=\sqrt{\frac T2}[1,1]$ e $\mathbf s_2=\sqrt{\frac T2}[1,-1]$ (stessa costellazione ruotata di $45^\circ$, stesse distanze). La distanza è $d=\sqrt{2T}=4{,}47\cdot10^{-4}$.

(2) Energia media e probabilità d'errore

I segnali hanno la stessa energia, quindi l'energia media è $E_s=T=10^{-7}$ V$^2$s. Per due segnali ortogonali equiprobabili: $$P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2T}{4\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{10^{-7}}{4\cdot10^{-9}}}\right)=Q(\sqrt{25})=Q(5)=2{,}87\cdot10^{-7}.$$

(3) Attenuazione di $6$ dB

$6$ dB in potenza significano un fattore $10^{0{,}6}=3{,}98\simeq4$ (nel testo si usa $4$): le energie si riducono a un quarto e le coordinate a metà ($\frac1{\sqrt4}$). $$E_s=\frac T4=2{,}5\cdot10^{-8}\ \text{V}^2\text{s},\qquad d\to\frac d2,\qquad P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\frac52\right)=Q(2{,}5)=6{,}2\cdot10^{-3}.$$ Il rumore è invariato (si assume che si aggiunga all'uscita del mezzo), quindi si dimezza l'argomento di $Q$. (Con $10^{0{,}6}$ esatto: $Q(2{,}506)=6{,}1\cdot10^{-3}$, la differenza è trascurabile.)

(4) Amplificatore con guadagno $4$ prima del ricevitore

Qui $r(t)=4\left[s_{a_0}(t)+w(t)\right]$: segnale e rumore sono moltiplicati per lo stesso fattore. Le coordinate diventano $4\mathbf s_m$ (distanza $4d$) e la deviazione standard del rumore diventa $4\sigma_I$: il rapporto $\frac{d}{2\sigma_I}$ non cambia ($\frac{4d}{2\cdot4\sigma_I}$). Quindi $$P[E]=Q(5)=2{,}87\cdot10^{-7}$$ (un amplificatore ideale non migliora l'SNR: amplifica anche il rumore). Questo è diverso dal caso in cui il rumore viene aggiunto dopo l'amplificatore.

(5) Segnale costante di valore $4$

I segnali diventano $s_1^{(1)}=s_1+4=5$ V su tutto $[0,T]$ e $s_2^{(1)}=s_2+4$: vale $5$ V su $\left[0,\frac T2\right]$ e $3$ V su $\left[\frac T2,T\right]$. Le energie sono $$E_1^{(1)}=5^2T=25T,\qquad E_2^{(1)}=\left(5^2+3^2\right)\frac T2=17T,$$ e l'energia media $E_s=\frac{25T+17T}2=21T=2{,}1\cdot10^{-6}$ V$^2$s (la soluzione del corso riporta $\frac{25T+18T}2=21{,}5T$: il secondo termine è $17T$ e non $18T$, perché $\frac{25+9}2=17$).

Per spiegare il risultato: il segnale costante $4$ su $[0,T]$ vale $4\sqrt T\,\phi_1$, quindi nello spazio è una traslazione di entrambi i punti del vettore $\mathbf t=\left[4\sqrt T,0\right]$ ($\langle4,\phi_2\rangle=\frac{4}{\sqrt T}\int s_2=0$): $\mathbf s_1^{(1)}=[5\sqrt T,0]$, $\mathbf s_2^{(1)}=[4\sqrt T,\sqrt T]$. L'energia media è $\frac{25T+(16+1)T}2=21T$ (oppure $E_s+\lVert\mathbf t\rVert^2+2\,\mathbf t\cdot\bar{\mathbf s}=T+16T+4T$ con $\bar{\mathbf s}=\left[\frac{\sqrt T}2,\frac{\sqrt T}2\right]$ la media dei punti).

Probabilità d'errore. La distanza tra i due segnali non cambia, perché la costante si sottrae: $s_1^{(1)}-s_2^{(1)}=s_1-s_2$, quindi $d=\sqrt{2T}$ e $$P[E]=Q(5)=2{,}87\cdot10^{-7}.$$ Il confine di decisione si sposta insieme ai punti (è sempre l'asse del segmento), per cui il ricevitore deve essere progettato sui segnali ricevuti con la costante: la soglia di un correlatore va adattata. In sintesi: l'energia media dipende dalla posizione della costellazione, la probabilità d'errore solo dalle distanze.