Esercizio - PAM a tre livelli con impulso triangolare, SNR di riferimento in dB e soglie simmetriche (esercizi del corso, cap. 3, es. 36)

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Teoria usata: Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →.

(1) Periodo di simbolo e causalità

La funzione $\operatorname{triangle}(x)=1-\lvert x\rvert$ per $\lvert x\rvert\le1$ ha base $[-1,1]$. Con $x=\frac{t-\tau_0}{5}$ la base va da $\tau_0-5$ a $\tau_0+5$ (durata $10$ s) e il picco, in $t=\tau_0$, vale $10$ V.

• Assenza di ISI. Gli impulsi $h(t-kT)$ non si devono sovrapporre: $T\ge$ durata dell'impulso, quindi $T_{\min}=10$ s (Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →).
• Causalità. L'impulso è nullo per $t<0$ se l'inizio $\tau_0-5\ge0$: $\tau_0\ge5$ s. Il valore minimo è $\tau_0=5$ s: l'impulso va da $0$ a $10$ s con il picco in $5$ s.

(2) Segnale modulato

Il segnale PAM è la somma degli impulsi traslati di $kT$ e pesati dal simbolo $a_k$: $s_{Tx}(t)=\sum_ka_kh(t-kT)$. Con $T=10$ s, $\tau_0=5$ s e la sequenza data (il simbolo $a_1=0$ non contribuisce): $$s_{Tx}(t)=2\,h(t)+0\cdot h(t-T)+2\,h(t-2T)-3\,h(t-3T)+2\,h(t-4T)=2h(t)+2h(t-20)-3h(t-30)+2h(t-40).$$ Esplicitamente: $s_{Tx}(t)=20\operatorname{tri}\left(\frac{t-5}5\right)+20\operatorname{tri}\left(\frac{t-25}{5}\right)-30\operatorname{tri}\left(\frac{t-35}{5}\right)+20\operatorname{tri}\left(\frac{t-45}{5}\right)$.

(3) Disegno

(4) Varianza del rumore nel punto di decisione

Energia dell'impulso. Triangolo di altezza $h_0=10$ e base $10$ s: $E_h=\frac{h_0^2\cdot\text{base}}{3}=\frac{100\cdot10}{3}=333{,}3$ V$^2$s.

Energia media in trasmissione. Con simboli non equiprobabili si pesano i quadrati con le probabilità: $$E[a^2]=\frac14\cdot9+\frac12\cdot0+\frac14\cdot4=3{,}25,\qquad E_{s,Tx}=3{,}25\,E_h=1083{,}3\ \text{V}^2\text{s}\ (30{,}35\ \text{dBV}^2\text{s}).$$ Energia in ricezione. Attenuazione $10$ dB $\Rightarrow$ fattore $10$ in energia: $E_s=\frac{E_{s,Tx}}{10}=108{,}33$ V$^2$s.

SNR di riferimento $\Gamma$. Si definisce $\Gamma=\frac{E_s/T}{N_0B_{\min}}$ come rapporto tra la potenza del segnale e la potenza di rumore nella banda minima (Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →). Per un segnale in banda base $B_{\min}=\frac1{2T}$, quindi $$\Gamma=\frac{E_s}{N_0T\cdot\frac1{2T}}=\frac{2E_s}{N_0}=\frac{E_s}{N_0/2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\qquad(\sigma_I^2=\sigma_w^2=\tfrac{N_0}2).$$ $(\Gamma)_{dB}=10$ dB significa $\Gamma=10$. Allora $$\sigma_w^2=\frac{E_s}{\Gamma}=\frac{108{,}33}{10}=10{,}83\ \text{V}^2\text{s}.$$ In decibel: $(\sigma_w^2)_{dB}=(E_{s,Tx})_{dB}-(\Gamma)_{dB}-(a_{ch})_{dB}=30{,}35-10-10=10{,}35$ dBV$^2$s. Nell'unità "dBm" (rapporto con $1$ mW; con il carico di riferimento da $1\,\Omega$ del corso $1$ V$^2$ corrisponde a $1$ W) si ottiene $10{,}35+30=40{,}35$ dBm. (La soluzione del corso scrive $10{,}3$ dBmV$^2$s, cioè il valore in dBV$^2$s $=10{,}35$; l'unità riferita a $1$ mW darebbe $40{,}35$.)

(5) Costellazione nel punto di decisione

Base $\phi_1=\frac{h}{\sqrt{E_h}}$, una dimensione. All'ingresso del decisore l'energia dell'impulso è $E_{h,rx}=\frac{E_h}{10}=33{,}33$ V$^2$s, $\sqrt{E_{h,rx}}=5{,}774$ V$\sqrt{\text{s}}$. I punti sono $\alpha\sqrt{E_{h,rx}}$: $$s_1=-3\cdot5{,}774=-17{,}32,\qquad s_2=0,\qquad s_3=2\cdot5{,}774=+11{,}55.$$

(6) Probabilità d'errore con soglie simmetriche

Le soglie sono $\pm\frac{11{,}547}{2}=\pm5{,}774$ (metà del segnale che mappa il simbolo $2$, quindi $\pm\sqrt{E_{h,rx}}$). Le regioni sono $\mathcal R_1=(-\infty,-5{,}774]$, $\mathcal R_2=[-5{,}774,5{,}774]$, $\mathcal R_3=[5{,}774,\infty)$. Il rumore ha $\sigma_w=\sqrt{10{,}83}=3{,}291$ V$\sqrt{\text{s}}$. Distanze dalle soglie, in unità di $\sigma_w$ (sia $a=\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_w}=\frac{5{,}774}{3{,}291}=1{,}754$):

• $s_3=+11{,}55$ (prob. $\frac14$): errore se $r<5{,}774$, cioè $w<-5{,}774$: $Q(a)=Q(1{,}754)=0{,}0397$;
• $s_2=0$ (prob. $\frac12$): errore se $\lvert w\rvert>5{,}774$: $2Q(a)=0{,}0794$;
• $s_1=-17{,}32$ (prob. $\frac14$): errore se $r>-5{,}774$, cioè $w>11{,}547=2\sqrt{E_{h,rx}}$: $Q(2a)=Q(3{,}508)=2{,}26\cdot10^{-4}$.

$$P[E]=\frac14Q(a)+\frac12\cdot2Q(a)+\frac14Q(2a)=\frac54Q(a)+\frac14Q(2a)=0{,}0497+0{,}00006=0{,}0497.$$ Confronto (stesso rumore): con le soglie a minima distanza ($-8{,}66$ e $+5{,}77$) $P[E]=0{,}0330$; con le soglie MAP ($-9{,}09$ e $+6{,}42$, spostate verso i simboli meno probabili) $P[E]=0{,}0307$. Le soglie simmetriche richieste dal testo sono quindi sub-ottime: il simbolo $0$, il più probabile, ha le due regioni di errore più vicine (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →).

(La soluzione del corso riporta $P_e=0{,}0369$ con la stessa espressione; con i dati del testo e $\sigma_w^2=\frac{E_s}{\Gamma}=10{,}83$, ricalcolata con Python, risulta $0{,}0497$. Il valore $0{,}0369$ richiederebbe $a=1{,}89$, cioè un rumore con varianza $9{,}3$ invece di $10{,}8$.)

Verifica con Python

$E_h=333{,}33$, $E_{s,Tx}=1083{,}33$ ($30{,}348$ dB), $E_s=108{,}33$, $\sigma_w^2=10{,}833$ ($10{,}348$ dB), $\sqrt{E_{h,rx}}=5{,}7735$, $a=1{,}7541$; $Q(a)=0{,}039705$, $Q(2a)=2{,}2555\cdot10^{-4}$, $P[E]=0{,}049688$; soglie MD: $0{,}03297$; soglie MAP: $-9{,}094$ e $6{,}424$, $P[E]=0{,}030678$.

Errori comuni

• Calcolare $E[a^2]=\frac{9+0+4}3$ come media semplice dei livelli: le probabilità sono diverse, va pesata ($3{,}25$).
• Prendere $T=5$ s (semi-base): il triangolo dura $10$ s, $T\ge10$ s.
• Usare $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$ anziché $\frac{2E_s}{N_0}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}$ per un segnale in banda base.
• Confondere dB (rapporti) con dBm (valori assoluti): i $10$ dB di attenuazione e di $\Gamma$ si sottraggono all'energia in dB.
• Usare il criterio MD con soglie a metà senza notare che i simboli non sono equiprobabili.