Esercizio - segnalazione binaria su canale con eco, periodo di simbolo minimo e probabilità d'errore (esercizi del corso, cap. 3, es. 37)

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Teoria usata: Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →.

(1) Forme d'onda all'uscita del canale

Il canale ha risposta impulsiva con due impulsi di Dirac: un percorso diretto con guadagno $\frac12$ e un'eco ritardata di $1{,}2$ s con guadagno $-\frac12$. L'uscita è la convoluzione di ciascun segnale con $g_{Ch}$, e la convoluzione con una delta traslata sposta il segnale (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →): $$s_k(t)=(s_{Tx,k}*g_{Ch})(t)=\frac12\,s_{Tx,k}(t)-\frac12\,s_{Tx,k}(t-1{,}2).$$ Poiché $\operatorname{rect}(t-0{,}5)=1$ per $t\in[0,1]$ e $\operatorname{rect}(t-1{,}7)=1$ per $t\in[1{,}2,2{,}2]$ (è lo stesso rettangolo traslato di $1{,}2$): $$s_1(t)=\frac14\operatorname{rect}(t-0{,}5)-\frac14\operatorname{rect}(t-1{,}7),\qquad s_2(t)=-\frac12\operatorname{rect}(t-0{,}5)+\frac12\operatorname{rect}(t-1{,}7).$$ Quindi $s_2(t)=-2\,s_1(t)$: i due segnali sono proporzionali (collineari) con rapporto $-2$.

(2) Periodo di simbolo minimo

Le forme d'onda all'uscita durano da $t=0$ a $t=2{,}2$ s (il segnale trasmesso dura $1$ s, più il ritardo dell'eco di $1{,}2$ s). Per non avere interferenza intersimbolica le uscite relative a simboli successivi (traslate di $T$) non devono sovrapporsi, quindi $$T_{\min}=2{,}2\ \text{s}.$$ (Il periodo è fissato dal canale, non dal segnale trasmesso: con $T=1$ s senza canale non ci sarebbe ISI.)

(3) Ricevitore ottimo

Energie e base. $E_1=\int s_1^2dt=\left(\frac14\right)^2\cdot1+\left(\frac14\right)^2\cdot1=\frac18=0{,}125$ V$^2$s ($\frac1{16}$ per ciascun rettangolo di durata $1$ s). $E_2=4E_1=\frac12=0{,}5$ V$^2$s. Il coefficiente di correlazione è $$\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}=\frac{-2E_1}{\sqrt{E_1\cdot4E_1}}=\frac{-2E_1}{2E_1}=-1.$$ La base ha una dimensione: $\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}=\sqrt8\,s_1(t)$ e le coordinate sono $\underline s_1=+\sqrt{E_1}=+0{,}3536$, $\underline s_2=-\sqrt{E_2}=-0{,}7071$ V$\sqrt{\text{s}}$ (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →).

Filtro di ricezione e campionamento. Basta un filtro adattato a $\phi_1$: $h_{Rc}(t)=\phi_1(t_0-t)$ (risposta impulsiva: $\sqrt8\cdot\frac14=0{,}7071$ in $t\in[t_0-1,t_0]$ e $-0{,}7071$ in $[t_0-2{,}2,t_0-1{,}2]$, il ribaltamento temporale di $\phi_1$), campionato a $t_0=T=2{,}2$ s: fase ottima di campionamento $t_0=2{,}2$ s, la fine dell'ultimo impulso utile, istante in cui l'uscita del filtro adattato raggiunge il massimo (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). (Equivalentemente, un filtro con risposta $s_1(t_0-t)-s_2(t_0-t)=3s_1(t_0-t)$ e confronto con una soglia $\frac{E_1-E_2}2$.)

Regola di decisione. Il campione è $r_1=\underline s_m+w$, $w\sim\mathcal N\left(0,\frac{N_0}{2}\right)$. Con simboli equiprobabili si decide a minima distanza: la soglia sta a metà tra i due punti, non nell'origine perché le energie sono diverse: $$s^*=\frac{0{,}3536-0{,}7071}{2}=-0{,}1768,\qquad\hat a=\begin{cases}1&r_1\ge-0{,}1768\\2&r_1<-0{,}1768.\end{cases}$$

(4) Probabilità d'errore

Segnalazione binaria: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert=\sqrt{E_1}+\sqrt{E_2}$ (punti da parti opposte) e $\sigma_I^2=\frac{N_0}{2}=0{,}14$: $$d^2=E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}=0{,}125+0{,}5+2\cdot0{,}25=1{,}125\ \Rightarrow\ d=1{,}0607,\qquad\sigma_I=\sqrt{0{,}14}=0{,}3742.$$ $$P_{bit}=P[E]=Q\left(\frac{1{,}0607}{2\cdot0{,}3742}\right)=Q(1{,}417)=0{,}0782.$$ (Equivalente: $Q\left(\sqrt{\frac{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}{2N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{1{,}125}{0{,}56}}\right)=Q\left(\sqrt{2{,}009}\right)$.)

La soluzione del corso riporta $P_{bit}=Q(6{,}33)=7{,}7\cdot10^{-11}$ con la stessa formula: con $\frac{N_0}{2}=1{,}4\cdot10^{-1}$ come nel testo l'argomento della $Q$ è $1{,}417$, non $6{,}33$ (quest'ultimo corrisponderebbe a una densità di rumore venti volte più piccola, $\frac{N_0}2\simeq0{,}007$). Ricontrollato due volte: si riporta $0{,}078$ per i dati del testo. Il risultato ha senso: l'energia media è $E_s=\frac{0{,}125+0{,}5}2=0{,}3125$ e $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=2{,}2$ è un SNR molto basso.

Verifica con Python

$E_1=0{,}125$, $E_2=0{,}5$, $d^2=1{,}125$, $d=1{,}06066$, $\frac{d}{2\sigma_I}=1{,}41737$, $Q=0{,}078188$; soglia $-0{,}17678$.

Errori comuni

• Dire che il periodo minimo è $1$ s (durata del segnale trasmesso): il canale con eco allunga i segnali a $2{,}2$ s.
• Mettere la soglia in $0$: le energie sono diverse ($E_1\ne E_2$), la soglia a minima distanza è a metà tra i punti.
• Usare $\rho=0$ o $\rho=1$: qui $s_2=-2s_1$, quindi $\rho=-1$ (segnali opposti, anche se non della stessa energia).
• Dimenticare di trattare il segnale dopo il canale: energie e correlazione vanno calcolate sulle forme d'onda in uscita, $s_k=s_{Tx,k}*g_{Ch}$.
• Cercare due dimensioni (Gram-Schmidt) per due segnali collineari.