Esercizio - 16-QAM con impulso rettangolare, filtro di ricezione causale e probabilità d'errore dopo 50 dB (esercizi del corso, cap. 3, es. 33)

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Teoria usata: Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →, Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →.

(1) Potenza statistica del segnale trasmesso

La potenza statistica (media) è l'energia media per simbolo divisa per il periodo di simbolo, $M_{s,Tx}=\frac{E_{s,Tx}}{T}$.

Energia dell'impulso. $\operatorname{rect}\left(\frac{2t}T\right)$ vale $1$ per $\lvert t\rvert<\frac T4$ (il rettangolo ha larghezza $\frac T2$, centrato in $0$): $E_h=\int V_0^2\,dt=V_0^2\cdot\frac T2=\frac{10^{-6}}{2}=0{,}5\cdot10^{-6}$ V$^2$s.

Energia media della 16-QAM. $E_s=\frac{M-1}{3}E_h=\frac{15}{3}E_h=5E_h=2{,}5\cdot10^{-6}$ V$^2$s (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →). Allora $$M_{s,Tx}=\frac{E_{s,Tx}}{T}=\frac{2{,}5\cdot10^{-6}}{10^{-6}}=2{,}5\ \text{V}^2.$$

(2) Filtro di ricezione causale e fase di campionamento

Il ricevitore ottimo usa filtri adattati alla base (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →): per ogni funzione di base $\phi(t)$ il filtro ha risposta impulsiva $\phi(t_0-t)$ e si campiona all'istante $t_0$. Qui la forma dell'impulso è un rettangolo, che il canale attenua soltanto (la forma non cambia, l'ampiezza sì), quindi il filtro ha la forma di $\operatorname{rect}\left(\frac{2t}{T}\right)$ ribaltato, cioè ancora lo stesso rettangolo (è pari): $$h_{Rc}(t)=\frac{1}{\sqrt{T/2}}\operatorname{rect}\left(\frac{2(t-t_0)}{T}\right),$$ normalizzato per avere energia $1$ ($\int h_{Rc}^2=\frac{1}{T/2}\cdot\frac T2=1$).

Causalità. Un filtro reale deve avere $h_{Rc}(t)=0$ per $t<0$. Il rettangolo occupa $\left[t_0-\frac T4,\ t_0+\frac T4\right]$: è causale se $t_0-\frac T4\ge0$. La fase di campionamento ottima (a parità di condizioni, la più breve) è $$t_0=\frac T4=0{,}25\ \mu\text{s}.$$ Il filtro è quindi un rettangolo su $[0,\frac T2]$, di ampiezza $\frac1{\sqrt{T/2}}=1{,}414\cdot10^3\ \text{s}^{-1/2}$, e si campiona a $t_0+kT=\frac T4+kT$. (Per la 16-QAM vi sono due rami, uno con la portante coseno e uno con la portante seno; la forma dell'impulso è la stessa, qui sono stati scritti i soli rettangoli.)

(3) Varianza del campione di rumore per dimensione

Il filtro adattato ha energia unitaria, quindi il campione di rumore ha varianza pari alla densità spettrale di potenza del rumore bianco a due lati: proiettando $w(t)$ su una funzione di base di energia $1$ si ottiene $$\sigma_I^2=\frac{N_0}2=2\cdot10^{-12}\ \text{V}^2\ (\text{V}^2\text{s}).$$ È la stessa per entrambe le dimensioni (I e Q) (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →). (La soluzione del corso scrive $2\cdot10^{-11}$; è un refuso di cifre: il testo dà $\frac{N_0}2=2\cdot10^{-12}$ e con questo valore, $\frac{E_s}{N_0}=6{,}25$, si ottiene il $\sqrt{1{,}25}$ che la stessa soluzione usa nel punto 4.)

(4) Probabilità d'errore di simbolo

Energia in ricezione. $50$ dB sull'energia sono un fattore $10^5$: $$E_s=\frac{E_{s,Tx}}{10^5}=\frac{2{,}5\cdot10^{-6}}{10^5}=2{,}5\cdot10^{-11}\ \text{V}^2\text{s},\qquad\frac{E_s}{\sigma_I^2}=\frac{2{,}5\cdot10^{-11}}{2\cdot10^{-12}}=12{,}5\ (10{,}97\ \text{dB}).$$ Formula 16-QAM. Con $M=16$, $\sqrt M=4$: $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\cdot\frac{3}{2(M-1)}}\right)=Q\left(\sqrt{12{,}5\cdot\frac{3}{30}}\right)=Q\left(\sqrt{1{,}25}\right)=Q(1{,}118)=0{,}1318$. Allora $$P[E]=4\left(1-\frac14\right)q-4\left(1-\frac14\right)^2q^2=3q-2{,}25q^2=0{,}3953-0{,}0391=0{,}356.$$ Con la sola $3q$ (trascurando il termine quadratico) si avrebbe $0{,}395\simeq0{,}4$, che è il valore della soluzione del corso: qui $q$ non è piccolo, quindi il termine $-2{,}25q^2$ conta ($0{,}04$).

Commento. Una probabilità d'errore del $36\%$ rende il collegamento inutilizzabile. Per ottenere per esempio $P[E]=10^{-3}$ servirebbe $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=116$ ($20{,}6$ dB), cioè $9{,}7$ dB in più: l'attenuazione del canale dovrebbe essere al più $50-9{,}7=40{,}3$ dB (verificato con Python).

Verifica con Python

$E_h=0{,}5\cdot10^{-6}$, $M_{s,Tx}=2{,}5$ V$^2$, $E_s=2{,}5\cdot10^{-11}$, $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=12{,}5$, $q=0{,}13178$, $P[E]=0{,}35626$ (con $3q$: $0{,}39533$); SNR necessario per $10^{-3}$: $115{,}8$ ($20{,}64$ dB).

Errori comuni

• Calcolare $E_h=V_0^2T$ (rettangolo di larghezza $T$): qui l'impulso dura $\frac T2$, $E_h=V_0^2\frac T2$.
• Scambiare la potenza statistica $M_s=\frac{E_s}{T}$ con l'energia $E_s$.
• Scegliere $t_0=0$ per il filtro adattato a un impulso che comincia prima di $0$: il filtro non sarebbe causale, serve $t_0\ge\frac T4$.
• Usare $50$ dB come fattore $50$ o $5\cdot10^4$: è $10^{50/10}=10^5$.
• Dimenticare il termine $-2{,}25q^2$ quando $q$ non è piccolo.