Esercizio - 8-QAM a due anelli, regioni di decisione, lower bound e costellazione migliore (esercizi del corso, cap. 3, es. 23)

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Teoria usata: Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Energie dei punti: $E_0=\dots=E_3=1$ e $E_4=\dots=E_7=9$; energia media (simboli equiprobabili) $E_s=\frac{4\cdot1+4\cdot9}8=5$. Deviazione standard del rumore: $\sigma_I=\sqrt{2{,}5\cdot10^{-3}}=0{,}05$.

(1) Regioni di decisione

Simboli equiprobabili e rumore AWGN: il criterio ottimo è la minima distanza, e il confine tra due punti è l'asse del segmento che li unisce (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Si trovano i confini con i vicini di $\mathbf s_0$:

• con $\mathbf s_1=(1,0)$: i punti $(x,y)$ con $x^2+(y-1)^2=(x-1)^2+y^2$, cioè $-2y+1=-2x+1$, la retta $y=x$;
• con $\mathbf s_3=(-1,0)$: la retta $y=-x$;
• con $\mathbf s_4=(0,3)$: $x^2+(y-1)^2=x^2+(y-3)^2\Rightarrow-2y+1=-6y+9\Rightarrow y=2$ (punto medio dei due punti sullo stesso asse);
• con $\mathbf s_2=(0,-1)$: $y=0$, ma è nascosta dalle altre (i punti con $y>|x|$ sono già più vicini a $\mathbf s_0$ che a $\mathbf s_2$).

Quindi $\mathcal R_0=\{y>|x|,\ y<2\}$: un triangolo con vertici $(0,0)$, $(-2,2)$, $(2,2)$. Il confine con $\mathbf s_4$ è la retta $y=2$, e per $\mathbf s_4$ il confine con $\mathbf s_5=(3,0)$ è ancora $y=x$ (stessa distanza: $\mathbf s_4$ e $\mathbf s_5$ sono simmetrici rispetto a $y=x$). Dunque $\mathcal R_4=\{y>|x|,\ y>2\}$. Per simmetria:

La frontiera è formata da:

• il quadrato di lato $4$: i segmenti $y=2$ e $y=-2$ con $|x|\le2$, e $x=2$ e $x=-2$ con $|y|\le2$;
• i quattro segmenti diagonali interni: da $(0,0)$ a $(\pm2,\pm2)$ (separano i punti dell'anello interno);
• le quattro semirette diagonali esterne: da $(\pm2,\pm2)$ verso l'infinito lungo $y=\pm x$ (separano i punti dell'anello esterno).

(Il controllo numerico confronta queste disuguaglianze con la classificazione al punto più vicino su $4\cdot10^5$ punti casuali: coincidono.)

(2) Quale errore è minore

Si confrontano le regioni rispetto al punto trasmesso: se si trasmette $\mathbf s_m$, il rumore ha la stessa densità gaussiana circolare attorno a $\mathbf s_m$, quindi $P[C|\mathbf s_m]=P[\mathbf w\in\mathcal R_m-\mathbf s_m]$ (la regione traslata in modo che $\mathbf s_m$ sia nell'origine). Con $\mathbf s_0$ e $\mathbf s_4$ traslati nell'origine:

• $\mathcal R_0-\mathbf s_0=\{(u,v):\ |u|<v+1,\ v<1\}$,
• $\mathcal R_4-\mathbf s_4=\{(u,v):\ |u|<v+3,\ v>-1\}$.

Ogni punto della prima soddisfa le condizioni della seconda (se $|u|<v+1$ allora anche $|u|<v+3$, e $v>|u|-1\ge-1$): $\mathcal R_0-\mathbf s_0\subset\mathcal R_4-\mathbf s_4$. Una regione più grande, con lo stesso rumore, ha probabilità più alta di contenere $\mathbf w$: $P[C|\mathbf s_4]\ge P[C|\mathbf s_0]$, quindi $P[E|\mathbf s_4]$ è minore: il punto esterno ha più spazio (nessun vicino oltre).

(3) Errore più probabile partendo da $\mathbf s_0$

Il ricevitore decide per il punto più vicino a $\mathbf r$. Se si è trasmesso $\mathbf s_0$ e si sbaglia, è più probabile che $\mathbf r$ superi il confine più vicino. Le distanze da $\mathbf s_0$ sono: $\sqrt2$ da $\mathbf s_1$ e da $\mathbf s_3$; $2$ da $\mathbf s_2$ e da $\mathbf s_4$; più lontani gli altri. Quindi $\mathbf s_1$ oppure $\mathbf s_3$ (a pari merito), perché la probabilità di superare un confine decresce con la distanza di $\mathbf s_0$ dal confine: $\frac{\sqrt2}2=0{,}71$ contro $1$.

(4) Lower bound

Dalla union bound inferiore (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): $$P[E]\ge\frac1M\sum_{n=1}^MQ\left(\frac{d_{min,n}}{2\sigma_I}\right),$$ con $d_{min,n}$ la distanza dal punto $n$ al vicino più prossimo.

• Per i quattro punti interni il vicino più vicino è un altro interno: $d_{min}=\sqrt2$, quindi $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=\frac{1{,}414}{0{,}1}=14{,}14$.
• Per i quattro esterni il vicino più vicino è il punto interno sullo stesso asse ($\mathbf s_4$ e $\mathbf s_0$: distanza $2$): $\frac{2}{0{,}1}=20$.

$$P[E]\ge\frac18\left[4\,Q(14{,}14)+4\,Q(20)\right]=\frac12Q(14{,}14)+\frac12Q(20)\simeq0{,}5\cdot1{,}0\cdot10^{-45}=5\cdot10^{-46},$$ dominata dall'anello interno ($Q(20)\simeq2{,}8\cdot10^{-89}$ è trascurabile). Valore numerico enormemente piccolo perché $\sigma_I$ è molto minore delle distanze (rapporto segnale-rumore altissimo); la formula conta per il metodo.

(5) Costellazione migliore con la stessa energia media

Il lower bound dice che per ridurre la probabilità d'errore conviene allontanare i punti esterni dai loro vicini, senza spostarli dall'anello: l'energia di ogni punto è la distanza dall'origine al quadrato, quindi spostarsi su una circonferenza di raggio $3$ non cambia l'energia media ($5$). Si ruotano di $45^\circ$ i quattro punti esterni, ottenendo $$\mathbf s_4,\dots,\mathbf s_7=\left(\pm\tfrac3{\sqrt2},\pm\tfrac3{\sqrt2}\right)=(\pm2{,}12,\ \pm2{,}12).$$ La distanza di ciascuno dal punto interno più vicino (per esempio $\left(\frac3{\sqrt2},\frac3{\sqrt2}\right)$ e $\mathbf s_1=(1,0)$) è $$\sqrt{\left(\tfrac3{\sqrt2}-1\right)^2+\tfrac92}=\sqrt{\tfrac92+\tfrac92+1-\tfrac{6}{\sqrt2}}=\sqrt{10-3\sqrt2}=2{,}40>2,$$ mentre la distanza tra due esterni adiacenti è $3\sqrt2=4{,}24$. L'energia media non cambia ($E_s=\frac{4+36}8=5$) e la distanza minima dei punti esterni passa da $2$ a $2{,}40$: $Q(20)$ diventa $Q(24)$. Il miglioramento sul numero finale è irrilevante (i due termini sono già piccolissimi), ma è la scelta corretta; il termine dominante resta quello dei punti interni, che non si possono muovere.