Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound

Una modulazione $M$-aria ($M>2$) usa $M$ segnali $s_1(t),\dots,s_M(t)$ e ogni segnale rappresenta $\log_2M$ bit (con $M$ potenza di $2$). Rispetto al caso binario (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →) la probabilità d'errore esatta è di solito difficile da scrivere, perché le regioni di decisione (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →) hanno forma complicata. Si usano allora limiti superiori e inferiori che richiedono solo distanze tra punti, e si studiano due famiglie con struttura semplice, le modulazioni ortogonali e biortogonali.

Versione per Ing. Elettronica: Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →.

Un esempio con $M=4$

Quattro segnali su $[0,T]$, di ampiezza $\pm1$ V su mezzo periodo:

• $s_1=+1$ su $[0,\tfrac T2]$, $s_2=-1$ su $[0,\tfrac T2]$;
• $s_3=+1$ su $[\tfrac T2,T]$, $s_4=-1$ su $[\tfrac T2,T]$ (nulli altrove).

I segnali $s_1,s_2$ sono multipli di un impulso rettangolare su $[0,\frac T2]$, $s_3,s_4$ di uno su $[\frac T2,T]$: i due impulsi non si sovrappongono, quindi sono ortogonali. La base ortonormale è $\phi_1=\frac1{\sqrt{T/2}}$ su $[0,\frac T2]$ e $\phi_2=\frac1{\sqrt{T/2}}$ su $[\frac T2,T]$, e (energia di ogni segnale $E_s=1^2\cdot\frac T2=\frac T2$) $$\underline s_1=\left[\sqrt{\tfrac T2},0\right],\ \underline s_2=\left[-\sqrt{\tfrac T2},0\right],\ \underline s_3=\left[0,\sqrt{\tfrac T2}\right],\ \underline s_4=\left[0,-\sqrt{\tfrac T2}\right].$$ Sono quattro punti sugli assi, a distanza $\sqrt{E_s}$ dall'origine; le regioni MD sono i quattro settori delimitati dalle bisettrici $y=\pm x$ (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →). Ogni punto ha due vicini a distanza $\sqrt{2E_s}$ e uno opposto, a distanza $2\sqrt{E_s}$: una modulazione biortogonale (vedi sotto).

La union bound

Se si trasmette $m$ ($a_0=m$) il ricevitore sbaglia quando $\underline r$ cade in una regione diversa da $\mathcal R_m$, cioè quando $\underline r$ è più vicino a un qualsiasi altro punto $\underline s_{m'}$ che a $\underline s_m$. Per ogni $m'\ne m$ si definisce l'evento $$\mathcal E_{m',m}=\{\underline r\text{ è più vicino a }\underline s_{m'}\text{ che a }\underline s_m\}.$$ La probabilità d'errore condizionata e quella totale (simboli equiprobabili) sono $$P[E\mid m]=P\left[\bigcup_{m'\ne m}\mathcal E_{m',m}\ \Big|\ a_0=m\right],\qquad P[E]=\frac1M\sum_{m=1}^MP[E\mid m].$$ Gli eventi $\mathcal E_{m',m}$ non sono disgiunti (un punto $\underline r$ lontano può essere più vicino a più simboli di $\underline s_m$), quindi la probabilità dell'unione è al più la somma delle probabilità ($P[A\cup B]\le P[A]+P[B]$, Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →): $$P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}P\left[\mathcal E_{m',m}\mid a_0=m\right].$$ Il termine $P[\mathcal E_{m',m}\mid a_0=m]$ è esattamente la probabilità d'errore di una modulazione binaria con soli i due simboli $\underline s_m$ e $\underline s_{m'}$, già calcolata: $$P\left[\mathcal E_{m',m}\mid a_0=m\right]=Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right),\qquad d_{m',m}=\lVert\underline s_m-\underline s_{m'}\rVert.$$ Si ottiene il limite superiore (union bound) con tutte le distanze: $$P[E]\le\frac1M\sum_{m=1}^M\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right).$$

Versioni più semplici. Si definisce $d_{\min,m}=\min_{m'\ne m}d_{m',m}$, distanza del punto più vicino a $\underline s_m$. Poiché $Q$ è decrescente, $d_{\min,m}\le d_{m',m}$ implica $Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)\le Q\left(\frac{d_{\min,m}}{2\sigma_I}\right)$ e quindi, con $M-1$ addendi uguali, $$P[E]\le\frac1M\sum_{m=1}^M(M-1)\,Q\left(\frac{d_{\min,m}}{2\sigma_I}\right)\quad(\text{servono solo }M\text{ distanze}).$$ Con $d_{\min}=\min_md_{\min,m}$ (distanza tra i due punti più vicini dell'intera costellazione) ogni termine è ancora maggiorato: $Q\left(\frac{d_{\min,m}}{2\sigma_I}\right)\le Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ e $$P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\quad(\text{una sola distanza}).$$

Limite inferiore. Dentro l'unione c'è in particolare l'evento relativo al punto $m^\circ$ più vicino a $\underline s_m$; una unione ha probabilità almeno pari a quella di uno dei suoi eventi: $$P[E\mid m]\ge P\left[\mathcal E_{m^\circ,m}\mid a_0=m\right]=Q\left(\frac{d_{\min,m}}{2\sigma_I}\right)\ \Rightarrow\ P[E]\ge\frac1M\sum_{m=1}^MQ\left(\frac{d_{\min,m}}{2\sigma_I}\right)\ge\frac{N_{\min}}{M}Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right),$$ dove $N_{\min}$ è il numero di punti $\underline s_m$ che hanno un vicino alla distanza minima assoluta $d_{\min}$ (i termini con $d_{\min,m}>d_{\min}$ sono non negativi e si scartano). Sempre $N_{\min}\ge2$: i due punti della coppia più vicina. In sintesi $$\boxed{\frac{N_{\min}}{M}\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)}$$ (il limite superiore più preciso, con tutte le distanze, è quello a doppia somma). A SNR alto dominano i termini con la distanza minima e i limiti sono molto vicini al valore esatto: la differenza sta solo nel fattore moltiplicativo davanti alla $Q$.

Per $M=2$ il limite è esatto: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$.

Modulazioni ortogonali

Tutti i segnali sono ortogonali tra loro, $\langle s_i,s_j\rangle=0$ per $i\ne j$, e non nulli. La base è $\phi_i=\frac{s_i}{\sqrt{E_{s_i}}}$: la dimensione dello spazio è $I=M$ e $$\underline s_m=\left[0,\dots,0,\underbrace{\sqrt{E_{s_m}}}_{\text{posto }m},0,\dots,0\right].$$ La distanza tra due segnali è $d_{m,m'}=\sqrt{E_{s_m}+E_{s_{m'}}}$ (Pitagora), cioè, se hanno tutti la stessa energia $E_s$, $$d_{m,m'}=\sqrt{2E_s}=d_{\min,m}=d_{\min}\quad\text{per ogni coppia},\qquad N_{\min}=M.$$ Tutte le distanze sono uguali: l'upper bound a doppia somma coincide con quello con $d_{\min}$ e, con $\sigma_I^2=\frac{N_0}{2}$, $$Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right).$$ Infatti $\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt{2E_s}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}$.

PPM (pulse position modulation): è l'esempio classico. Il periodo di simbolo $T$ si divide in $M$ intervalli uguali e il segnale $s_m(t)$ è un impulso rettangolare di ampiezza costante nel solo $m$-esimo intervallo, nullo altrove. Gli impulsi non si sovrappongono, quindi sono ortogonali, e hanno tutti la stessa energia $E_s$. Ogni simbolo porta $\log_2M$ bit; il prezzo è la banda: gli impulsi durano $\frac TM$ e la banda occupata cresce con $M$ (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →).

Probabilità d'errore sul bit. In una modulazione ortogonale, dato un errore di simbolo, il simbolo scelto è uno qualsiasi degli altri $M-1$ con la stessa probabilità. Un bit fissato differisce in $\frac M2$ di questi $M-1$ simboli (metà delle parole di $\log_2M$ bit ha quel bit diverso), quindi $$P_{bit}=\frac{M/2}{M-1}\,P[E].$$ Per $M=4$ vale $\frac23P[E]$; per $M$ grande tende a $\frac12P[E]$. Nessuna mappatura di Gray è possibile: tutti i simboli sono equidistanti.

Modulazioni biortogonali

$M$ segnali ($M$ pari): $\frac M2$ sono ortogonali tra loro ($\langle s_i,s_j\rangle=0$ per $i\ne j$, $i,j\le\frac M2$) e gli altri $\frac M2$ sono i loro antipodali, $s_{i+M/2}=-s_i$. La dimensione è $I=\frac M2$: la metà di quella delle ortogonali con lo stesso $M$. Con energia uguale $E_s$ per tutti i segnali, ogni punto ha

• $M-2$ punti ortogonali a distanza $\sqrt{2E_s}$,
• $1$ punto antipodale a distanza $2\sqrt{E_s}$.

Per $M\ge4$ la distanza minima è $\sqrt{2E_s}$ e la union bound con tutte le distanze dà $$P[E]\le(M-2)\,Q\left(\frac{\sqrt{2E_s}}{2\sigma_I}\right)+Q\left(\frac{2\sqrt{E_s}}{2\sigma_I}\right)=(M-2)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right).$$ A parità di $M$ e $E_s$ ci sono $M-2$ vicini invece di $M-1$ (limite migliore), e lo spazio ha metà dimensioni (metà banda con PPM).

Esempio numerico (la costellazione di apertura è biortogonale con $M=4$): $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=20$ (cioè $13$ dB).

• $\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{20}{2}}=\sqrt{10}=3{,}162$ e $Q(3{,}162)=7{,}83\cdot10^{-4}$; la distanza opposta dà $Q\left(\sqrt{20}\right)=Q(4{,}472)=3{,}87\cdot10^{-6}$.
• Union bound: $2\cdot7{,}83\cdot10^{-4}+3{,}87\cdot10^{-6}=1{,}569\cdot10^{-3}$. Con la sola $d_{\min}$: $(M-1)Q=3\cdot7{,}83\cdot10^{-4}=2{,}35\cdot10^{-3}$. Limite inferiore ($N_{\min}=4$): $\frac44Q=7{,}83\cdot10^{-4}$.
• Valore esatto: ruotando gli assi di $45^\circ$ i quattro settori diventano i quattro quadranti e ogni punto dista $\sqrt{E_s/2}$ da entrambi i bordi; le due componenti del rumore ruotate sono ancora indipendenti, quindi $P[C\mid m]=\left(1-Q\left(\frac{\sqrt{E_s/2}}{\sigma_I}\right)\right)^2=\left(1-Q(3{,}162)\right)^2$ (come per la QAM, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →), cioè $P[E]=2Q-Q^2=1{,}565\cdot10^{-3}$. Un controllo Monte Carlo ($4\cdot10^6$ prove) dà $1{,}59\cdot10^{-3}$.

L'union bound completa ($1{,}569\cdot10^{-3}$) è vicinissima al valore esatto ($1{,}565\cdot10^{-3}$); quella con la sola $d_{\min}$ ($2{,}35\cdot10^{-3}$) è meno precisa ma sempre un limite superiore.

Errori comuni

• Usare il fattore $M-1$ nel caso biortogonale: i vicini a distanza $\sqrt{2E_s}$ sono $M-2$; il $(M-1)$-esimo è l'antipodale, molto più lontano (distanza $2\sqrt{E_s}$).
• Dimenticare che la union bound è un limite, non un'uguaglianza: può superare $1$ per SNR bassi e allora non dice nulla.
• Confondere $d_{\min}$ (una distanza) con $d_{\min,m}$ (una per ogni punto) e $N_{\min}$ (un numero di punti).
• Usare $E_s$ al trasmettitore invece che al ricevitore se il canale attenua.

Domande d'esame

1. Si ricavi la union bound sulla probabilità d'errore di una modulazione $M$-aria. Traccia: $P[E\mid m]$ come probabilità di un'unione di eventi $\mathcal E_{m',m}$; eventi non disgiunti, somma; ogni termine è l'errore binario $Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$; poi $d_{\min,m}$ e $d_{\min}$; limite inferiore con il vicino più prossimo e $N_{\min}$.
2. Distanze e limite superiore per una modulazione ortogonale di $M$ segnali di energia $E_s$. Traccia: $\underline s_m$ con un solo elemento non nullo; $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia; $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$.
3. Confrontare modulazioni ortogonali e biortogonali. Traccia: biortogonale con $M/2$ dimensioni invece di $M$; vicini $M-2$ a $\sqrt{2E_s}$ più un antipodale a $2\sqrt{E_s}$; bound più basso e metà banda.