Esercizio - onde quadre, segnali a gradini ed energia di impulsi rect e triangolari (esercizi del corso, cap. 2, es. 12-17)

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Teoria usata: Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

Gli strumenti sono due. Scrivere un segnale: il rettangolo $\operatorname{rect}\big(\frac{t-t_c}{W}\big)$ vale $1$ su un intervallo di larghezza $W$ centrato in $t_c$ (da $t_c-\frac W2$ a $t_c+\frac W2$); un segnale a gradini è una somma di rettangoli sovrapposti, un segnale periodico una somma infinita di rettangoli traslati. Calcolarne l'energia: $E=\int s^2(t)\,dt$, con le scorciatoie rettangolo $=$ altezza$^2\times$durata e triangolo $=\frac{\text{altezza}^2\times\text{base}}3$.

Esercizio 12: onde quadre

(1) Due tratti di durata $T=1$ s ($1$ per $t\in[0,T]$, $0$ per $t\in[T,2T]$), poi si ripete: periodo $2T$. Il tratto alto è un $\operatorname{rect}$ di larghezza $T$ centrato in $\frac T2$, il successivo è ritardato di $2T$ (un periodo): $$s_1(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\big(\frac T2+2nT\big)}{T}\Big).$$ Si verifica: per $n=0$ il rect è centrato in $\frac T2$ con larghezza $T$, quindi alto su $[0,T]$; per $n=1$ su $[2T,3T]$; per $n=-1$ su $[-2T,-T]$. Il fronte di salita in $t=0$ è garantito.

(2) Tratto alto di durata $T$ e tratto basso di $\frac T2$: periodo $T+\frac T2=\frac{3T}2$. Il rect alto centrato in $\frac T2$ si ripete con passo $\frac{3T}2$: $$s_2(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\big(\frac T2+\frac{3T}2n\big)}{T}\Big).$$

Esercizio 13: segnali a gradini e a rampa

(1) Gradini. Si scompone $s_1$ in rettangoli con la sovrapposizione: i due livelli $A$ e $\frac A2$ si ottengono sommando due rettangoli di altezza $\frac A2$ che partono entrambi in $t=0$ ma finiscono in $\frac35T$ e $\frac25T$.

• Primo rettangolo: altezza $\frac A2$ su $[0,\frac35T]$, centro $\frac{3}{10}T$, larghezza $\frac35T$: $\frac A2\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\frac3{10}T}{\frac35T}\Big)$.
• Secondo rettangolo: altezza $\frac A2$ su $[0,\frac25T]$, centro $\frac2{10}T$, larghezza $\frac25T$: $\frac A2\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\frac2{10}T}{\frac25T}\Big)$.

Somma: su $[0,\frac25T]$ valgono entrambi ($\frac A2+\frac A2=A$), su $[\frac25T,\frac35T]$ solo il primo ($\frac A2$), dopo nulla: è $s_1$. Quindi $$s_1(t)=\frac A2\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\frac3{10}T}{\frac35T}\Big)+\frac A2\operatorname{rect}\Big(\frac{t-\frac2{10}T}{\frac25T}\Big).$$ Il segnale $s_2$ è il riflesso nel tempo di $s_1$ attorno a $\frac T2$: $s_2(t)=s_1(-t+T)$ (per $t=0$ vale $s_1(T)=0$, per $t=T$ vale $s_1(0)=A$, ed è $A$ su $[\frac35T,T]$ come richiesto).

(2) Rampe. La rampa che scende da $A$ (in $t=0$) a $\frac A2$ (in $t=T$) è la retta $A-\frac{A}{2T}t=\frac{AT-At/2}{T}$, valida solo su $[0,T]$: si moltiplica per una finestra $\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}{T}\big)$ (alta su $[0,T]$): $$s_1(t)=\frac{AT-\frac{A}{2}t}{T}\operatorname{rect}\Big(\frac{t-T/2}{T}\Big),\qquad s_2(t)=-\frac{BT-\frac B2t}{T}\operatorname{rect}\Big(\frac{t-T/2}{T}\Big).$$ Controllo: $s_1(0)=A$, $s_1(T)=\frac{AT-AT/2}{T}=\frac A2$; $s_2(0)=-B$, $s_2(T)=-\frac B2$.

Esercizio 14: energia dei segnali di 12 e 13

• Es. 12: le onde quadre durano per sempre con valori $1$ e $0$ che si ripetono: l'integrale di $s^2$ cresce di una quantità fissa a ogni periodo, quindi $E_{s_1}=E_{s_2}=\infty$ (hanno potenza finita: sono segnali periodici).
• Es. 13, punto 1: $E_{s_1}=\int s_1^2=A^2\cdot\frac25T+\Big(\frac A2\Big)^2\cdot\frac15T=\frac25A^2T+\frac1{20}A^2T=\frac{9}{20}A^2T=0{,}45\,A^2T$ (livello $A$ per $\frac25T$, livello $\frac A2$ per $\frac35T-\frac25T=\frac15T$). Il segnale $s_2$ è il riflesso di $s_1$, quindi ha la stessa energia: $E_{s_2}=E_{s_1}$.
• Es. 13, punto 2: con $u=\frac tT$, $E_{s_1}=\int_0^TA^2\Big(1-\frac t{2T}\Big)^2dt=A^2T\int_0^1\Big(1-\frac u2\Big)^2du=A^2T\Big[1-\frac12+\frac1{12}\Big]=\frac7{12}A^2T$ (si sviluppa $\big(1-\frac u2\big)^2=1-u+\frac{u^2}4$ e si integra termine a termine: $1-\frac12+\frac1{12}$). Analogamente $E_{s_2}=\frac{7}{12}B^2T$ (il segno meno sparisce al quadrato).

Esercizio 15: energia di rect, triangoli e somme

(1) $x(t)=A\cos(2\pi f_0t)\operatorname{rect}\big(\frac tT\big)$. Il rect limita il segnale a $[-\frac T2,\frac T2]$. Si usa $\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$: $$E_x=\int_{-T/2}^{T/2}A^2\cos^2(2\pi f_0t)\,dt=\frac{A^2}2\Big[T+\frac{\sin(2\pi f_0T)}{2\pi f_0}\Big]=\frac{A^2T}2+\frac{A^2\sin(2\pi f_0T)}{4\pi f_0}.$$ Il secondo termine è una piccola correzione dovuta al fatto che il numero di periodi non è intero. Se $f_0T$ è intero ($T$ multiplo del periodo) $\sin(2\pi f_0T)=0$ e $E_x=\frac{A^2T}2$ (ampiezza al quadrato diviso $2$ per la durata: potenza della sinusoide per $T$). La soluzione del corso scrive la stessa cosa nella forma $\frac{A^2}{8}\big[\frac{2\sin(4\pi f_0T/2)}{\pi f_0}+4T\big]$.

(2) $x(t)=\operatorname{rect}\big(\frac{t-2{,}5}{2T}\big)$. Rettangolo di altezza $1$ e larghezza $2T$ (centro $2{,}5$, il centro non influisce): $E_x=1^2\cdot2T=2T$.

(3) $x(t)=\operatorname{triang}\big(\frac{t+1}{2T}\big)$. Triangolo di altezza $1$ e semibase $2T$ (base $B=4T$), centrato in $-1$: $E_x=\frac{1^2\cdot4T}{3}=\frac{4T}3$.

(4) $x(t)=\operatorname{rect}\big(\frac{t-5}{4}\big)+\operatorname{triang}\big(\frac{3t+1}2\big)$. Si studia dove sta ciascun termine (Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →).

• Il rect ha centro $5$ e larghezza $4$: supporto $[3,7]$, energia $4$.
• $\operatorname{triang}\big(\frac{3t+1}{2}\big)=\operatorname{triang}\Big(\frac{t+\frac13}{\frac23}\Big)$ (si mette in evidenza il coefficiente di $t$: $\frac{3t+1}{2}=\frac{3}{2}\big(t+\frac13\big)$): centro $-\frac13$, semibase $\frac23$ e supporto $[-1,\frac13]$; base $\frac43$ e altezza $1$: energia $\frac{4/3}{3}=\frac49$.

I due supporti non si sovrappongono ($[3,7]$ e $[-1,\frac13]$), quindi il prodotto incrociato $2\int x_1x_2$ è nullo e le energie si sommano: $E_x=4+\frac49=4{,}444$. (Se i supporti si sovrapponessero, bisognerebbe aggiungere il termine misto.)

Esercizio 16: energia media con un segnale a due forme

Il segnale trasmesso è $x_1(t)$ con probabilità $p$ e $x_2(t)$ con probabilità $1-p$. Le due energie:

• $x_1=2\operatorname{rect}(t-0{,}25)$: rettangolo di altezza $2$ e larghezza $1$, $E_1=2^2\cdot1=4$;
• $x_2=\operatorname{triang}\big(\frac{t-1}2\big)$: triangolo di altezza $1$, semibase $2$, base $4$, $E_2=\frac{4}{3}$.

L'energia media è il valore atteso rispetto alla variabile $y$ (Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →): $$E[E_x]=pE_1+(1-p)E_2=4p+\frac43(1-p)=\frac43+\frac83p.$$ Per $p=\frac12$ (valore scelto per un controllo numerico): $\frac43+\frac43=\frac83=2{,}67$.

Esercizio 17: energia media con ampiezza aleatoria

Per un'ampiezza $A$ fissata, $A\operatorname{triang}(t+0{,}5)$ è un triangolo di altezza $A$ e base $2$ (semibase $1$): energia $\frac{A^2\cdot2}{3}=\frac{2A^2}3$ (non dipende dal segno di $A$ né dal ritardo). Con $A\in\{-3,-1,1,3\}$ equiprobabile ($\frac14$ ciascuno) l'energia media è $$E[E_x]=\frac14\Big[\frac{2\cdot9}3+\frac{2\cdot1}3+\frac{2\cdot1}3+\frac{2\cdot9}3\Big]=\frac14\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}3=3{,}33.$$ Equivalentemente $E[E_x]=\frac23E[A^2]$ con $E[A^2]=\frac{9+1+1+9}{4}=5$, quindi $\frac{10}{3}$. (La soluzione del corso scrive $\frac12\big(2\cdot3+\frac23\big)$, che dà lo stesso valore.)

Tutte le energie sono state verificate numericamente con Python (integrazione con parametri $A=T=1$, $f_0=3$ e $3{,}3$): $0{,}45$, $0{,}5833$, $0{,}5$ e $0{,}5229$ (con $f_0T=3{,}3$), $2$, $\frac43$, $4{,}444$, $4$ e $\frac43$, $3{,}333$. Coincidono con le soluzioni del corso.

Errori comuni

• Nel centro del rect: $\operatorname{rect}\big(\frac{t-t_c}{W}\big)$ ha larghezza $W$, non $2W$; il centro non influisce sull'energia.
• Confondere semibase e base del triangolo: $\frac{A^2B}3$ con $B$ la base ($\operatorname{triang}\big(\frac{t}{2T}\big)$ ha base $4T$).
• Dimenticare di mettere in evidenza il coefficiente di $t$: $\operatorname{triang}\big(\frac{3t+1}2\big)$ ha centro $-\frac13$ e semibase $\frac23$, non $-1$ e $2$.
• Sommare le energie di segnali sovrapposti senza il termine misto.
• Calcolare l'energia di un'onda periodica: è infinita (serve la potenza).