Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore

La PAM (pulse amplitude modulation) è la modulazione più semplice con $M>2$ segnali: i segnali sono tutti versioni scalate in ampiezza dello stesso impulso $h_{Tx}(t)$ (di energia finita e supporto di durata $T$, il periodo di simbolo). Ogni ampiezza porta $\log_2M$ bit. La costellazione sta su una retta, quindi basta un solo correlatore (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →).

Versione per Ing. Elettronica: PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →. Versione per Ing. delle Telecomunicazioni: Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →.

Segnali e costellazione

$$s_m(t)=\alpha_m\,h_{Tx}(t),\qquad\alpha_m=2m-1-M,\quad m=1,\dots,M.$$ Gli $\alpha_m$ sono i numeri dispari simmetrici attorno a $0$, a passo $2$:

• $M=2$: $\alpha_1=-1$, $\alpha_2=+1$ (cioè $s_1=-h_{Tx}$, $s_2=h_{Tx}$: antipodali, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →);
• $M=4$: $\alpha=-3,-1,+1,+3$;
• $M=64$: $\alpha=\underbrace{-63,\dots,-3,-1}_{32},\ \underbrace{1,3,\dots,63}_{32}$.

L'impulso $h_{Tx}$ può avere qualunque forma (rettangolare, triangolare, ...): contano solo la sua energia $E_h=\int\lvert h_{Tx}(t)\rvert^2dt$ e la durata.

Base. Poiché tutti i segnali sono multipli di $h_{Tx}$, lo spazio ha una sola dimensione (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →): $$\phi_1(t)=\frac{h_{Tx}(t)}{\sqrt{E_h}},\qquad s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)=\underbrace{\alpha_m\sqrt{E_h}}_{s_{m,1}}\ \phi_1(t).$$ I punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$: equidistanti, a passo $2\sqrt{E_h}$, quindi $$d_{\min,m}=2\sqrt{E_h}=d_{\min}\quad\text{per ogni }m.$$ Le soglie di decisione a minima distanza stanno a metà tra punti adiacenti, cioè in $0,\pm2\sqrt{E_h},\pm4\sqrt{E_h},\dots$ (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →).

Energia media

Con simboli equiprobabili e $E_{s_m}=\alpha_m^2E_h$: $$E_s=\frac1M\sum_{m=1}^M\alpha_m^2E_h=\frac{E_h}{M}\sum_{m=1}^M(2m-1-M)^2=\frac{E_h}{M}\sum_{m=1}^M\left[4m^2-4(M+1)m+(M+1)^2\right],$$ sviluppando il quadrato $(2m-(M+1))^2$. Con le somme notevoli $\sum_{m=1}^Mm=\frac{M(M+1)}{2}$ e $\sum_{m=1}^Mm^2=\frac{M(M+1)(2M+1)}{6}$: $$\sum_{m=1}^M[\dots]=\frac{4M(M+1)(2M+1)}{6}-\frac{4(M+1)M(M+1)}{2}+M(M+1)^2=\frac{M(M+1)}{3}\left[2(2M+1)-6(M+1)+3(M+1)\right]=\frac{M(M+1)(M-1)}{3},$$ da cui $$\boxed{E_s=\frac{M^2-1}{3}\,E_h,\qquad E_h=\frac{3}{M^2-1}\,E_s.}$$ Controllo con $M=4$: $\alpha^2=9,1,1,9$, media $5$, e $\frac{16-1}{3}=5$. ✓ L'energia media cresce come $M^2$ a parità di distanza: $E_s/E_h=1,\,5,\,21,\,85$ per $M=2,4,8,16$ (cioè $0$, $7{,}0$, $13{,}2$, $19{,}3$ dB).

Probabilità d'errore (decisione a minima distanza)

Canale AWGN, simboli equiprobabili, regioni MD. Con $a_0=m$, $\underline r=s_m+w$ con $w\sim\mathcal N(0,\sigma_I^2)$ (una sola dimensione). Si distinguono due tipi di regione (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →).

Regioni interne ($M-2$ simboli): la regione è l'intervallo $\left[s_m-\sqrt{E_h},\ s_m+\sqrt{E_h}\right]$. Si sbaglia se il rumore supera $\frac{d_{\min}}2=\sqrt{E_h}$ da una delle due parti: $$P[E\mid m]=P\left[w>\tfrac{d_{\min}}2\right]+P\left[w<-\tfrac{d_{\min}}2\right]=2\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right).$$ Regioni esterne (i $2$ simboli estremi): un solo lato è pericoloso (l'altro è una semiretta illimitata): $$P[E\mid m]=P\left[w<-\tfrac{d_{\min}}2\right]=Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right).$$

Si media su $M$ simboli equiprobabili, con $\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}$: $$P[E]=\frac1M\left[2\cdot Q\left(\tfrac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)+(M-2)\cdot2\,Q\left(\tfrac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\right]=\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}\right).$$ Con $E_h=\frac{3}{M^2-1}E_s$: $$\boxed{P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\cdot\frac{3}{M^2-1}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6}{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)}$$ (con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$). Per $M=2$ il fattore è $1$ e si ritrova $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$ degli antipodali.

Esempio ($M=4$). $\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}=2$ (cioè $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=5\cdot4=20$, $13$ dB): $P[E]=2\cdot\frac34\,Q(2)=1{,}5\cdot0{,}02275=0{,}0341$. Con la stessa $d_{\min}$ la 2-PAM avrebbe $Q(2)=0{,}0228$ e un bit per simbolo invece di due. Con $M=8$ e $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=100$: $P[E]=2\cdot\frac78Q\left(\sqrt{\frac{300}{63}}\right)=1{,}75\,Q(2{,}182)=0{,}0255$.

Codifica di Gray e probabilità sul bit

La bit map dice quale gruppo di $\log_2M$ bit va a ciascun simbolo. Con AWGN e SNR alto l'errore più probabile è finire nella regione adiacente. Se due simboli adiacenti hanno etichette che differiscono per un solo bit, un errore di simbolo causa quasi sempre un solo bit sbagliato. Con $M=4$:

• mappatura naturale $00,01,10,11$: da $01$ a $10$ (adiacenti) cambiano due bit;
• mappatura di Gray $00,01,11,10$ (dal punto più a sinistra a quello più a destra): adiacenti differiscono per un bit.

Costruzione del codice di Gray. Per $M=2$: $0,1$. Per passare da $2^b$ a $2^{b+1}$ simboli si scrivono le etichette di $2^b$ bit, si ribaltano (si riscrivono in ordine inverso sotto le prime) e si aggiunge un bit davanti, $0$ nelle prime e $1$ nelle ribaltate: $$M=4:\ 00,01,11,10;\qquad M=8:\ 000,001,011,010,\ 110,111,101,100.$$ Nelle due metà il primo bit è costante; al passaggio tra le metà gli ultimi bit sono uguali (simmetria della riflessione) e cambia solo il primo.

Se un errore di simbolo comporta un bit sbagliato su $\log_2M$: $$\boxed{P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}}$$ È un'approssimazione per SNR alto (i simboli non adiacenti hanno probabilità trascurabile). Per la 4-PAM con $\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}=a=2$ si può controllare con il calcolo esatto dei due bit: $P_{bit}=\frac34Q(a)+\frac12Q(3a)-\frac14Q(5a)=0{,}01706$, e l'approssimazione dà $\frac{0{,}0341}{2}=0{,}01706$ (uguale alla quarta cifra). Con la mappatura naturale lo stesso canale darebbe $P_{bit}\simeq0{,}023$ (simulazione): peggio, a parità di tutto il resto.

Costellazioni PAM non regolari

Se i punti non sono gli $\alpha_m\sqrt{E_h}$ regolari (per esempio $\{-5,-3,-1,1,3,6\}$ in unità di $\sqrt{E_h}$), la base resta $\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$ ma $P[E]$ si calcola regione per regione, con le soglie a metà tra punti adiacenti ($-4,-2,0,2,4{,}5$ nell'esempio). Per il simbolo con soglie $\theta_-<s_m<\theta_+$: $$P[C\mid m]=P[\theta_-<s_m+w<\theta_+]=1-Q\left(\frac{s_m-\theta_-}{\sigma_I}\right)-Q\left(\frac{\theta_+-s_m}{\sigma_I}\right),$$ con una sola coda per i simboli esterni. In unità di $\sqrt{E_h}$ e con $\sigma_I=0{,}5$ ($\sigma_I^2=0{,}25$): ogni coda è $Q\left(\frac{\text{distanza dalla soglia}}{\sigma_I}\right)$ con distanze $1$ per tutti i lati tranne l'ultimo a destra, dove la soglia $4{,}5$ dista $1{,}5$ da $6$ e $1{,}5$ da $3$:

• $-5$: una coda, $Q(2)$ (lato interno); $-3,-1,1$: due code da $Q(2)$ ciascuna;
• $3$: $Q(2)$ a sinistra e $Q(3)$ a destra (soglia $4{,}5$, distanza $1{,}5$); $6$: $Q(3)$.

$$P[E]=\frac16\left[Q(2)(1+2+2+2+1)+2Q(3)\right]=\frac{8\,Q(2)+2\,Q(3)}{6}=0{,}0308.$$ (Con $\sigma_I^2=10^{-2}$ si avrebbe $P[E]\simeq\frac{8Q(10)+2Q(15)}6\simeq1\cdot10^{-23}$: praticamente zero.) L'energia media è $\frac{25+9+1+1+9+36}{6}E_h=13{,}5\,E_h$. Con simboli non equiprobabili le soglie si spostano (criterio MAP, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →) e $P[E]=1-\sum_mP_mP[C\mid m]$.

Il canale attenua. Se $r(t)=\alpha\,s_{Tx}(t)+w(t)$ la base è la stessa ma le coordinate sono moltiplicate per $\alpha$: $E_h$ nelle formule è l'energia dell'impulso al ricevitore, $E_h=\alpha^2E_{h,Tx}$ (Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →).

Errori comuni

• Usare $\alpha_m=m$ (non simmetrico): i punti devono essere $\pm1,\pm3,\dots$ attorno a zero.
• Dimenticare il fattore $2\left(1-\frac1M\right)$: gli interni hanno due code, gli esterni una (con $M=2$ vale $1$).
• Confondere $E_h$ (energia dell'impulso) con $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$ (energia media): è l'errore più frequente nei temi d'esame.
• Applicare $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$ senza la mappatura di Gray.
• Usare l'energia in trasmissione, senza l'attenuazione del canale.

Domande d'esame

1. Si ricavi l'energia media e la probabilità d'errore di una $M$-PAM. Traccia: $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, $s_m=\alpha_m\sqrt{E_h}$; somme di $m$ e $m^2$ per $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$; $M-2$ regioni interne con $2Q$ e $2$ esterne con $Q$; sostituire $E_h=\frac{3E_s}{M^2-1}$.
2. Si definisca la codifica di Gray e si spieghi perché $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$. Traccia: adiacenti differiscono per un bit; a SNR alto l'errore più probabile è nella regione adiacente; un errore di simbolo $\to$ un bit su $\log_2M$.
3. Costellazione PAM non regolare: calcolare $P[E]$. Traccia: soglie a metà; per ogni simbolo $1-Q(\cdot)-Q(\cdot)$ con le distanze dalle soglie; media sui simboli.