Esercizio - quantizzatore per densità triangolare e 16-QAM con impulso a rampa (primo compitino del 21 novembre 2025, es. 194)

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Teoria usata: Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazioneUn quantizzatore uniforme a L = 2^b livelli e range [−v_sat, v_sat] ha passo Δ = 2v_sat/L. L'errore e = x − x^(q) è di saturazione fuori range (illimitato, da rendere raro con P_sat piccola) e granulare dentro (|e| ≤ Δ/2, uniforme con potenza Δ²/12). L'SNR di quantizzazione Λ_q = E[x²]/E[e²] vale in decibel 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77 + 6,02·b: ogni bit in più dà 6 dB. Per b minimo che garantisce una specifica: ⌈(specifica − c)/6,02⌉ con c = 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77.Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione →, Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-DIn un quantizzatore non uniforme gli intervalli I_i hanno larghezze diverse (stretti dove la densità è alta) e la potenza dell'errore è M_e = Σ M_{e_i} P(x ∈ I_i), con M_{e_i} = E[(x − a_qi)² | x ∈ I_i]. Si realizza con il companding (compressore μ(x), quantizzatore uniforme, espansore) o raggruppando gli intervalli di un quantizzatore uniforme fine. Nella conversione A-D con campionamento ogni T_s e b bit per campione, T_b = T_s/b e R_b = b/T_s bit/s. Esempio completo con densità esponenziale a due lati: v_sat, b, bit rate e periodo di simbolo della 16-QAM.Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →.

La densità. $p_a(u)=\frac15\big(1-\frac{|u|}5\big)$ per $|u|\le5$: un triangolo di base $10$ (da $-5$ a $5$) e altezza $\frac15$, area $\frac12\cdot10\cdot\frac15=1$. È simmetrica, quindi ha media nulla.

(1) $v_{sat}$ e bit per campione

Saturazione. I campioni stanno in $[-5,5]$ con certezza: scegliendo $v_{sat}=5$ la probabilità di saturazione è nulla, e un valore più grande aumenterebbe solo il passo. Quindi $v_{sat}=5$.

Varianza. A media nulla $\sigma_a^2=M_a=\int u^2p_a(u)\,du$. Per la simmetria si raddoppia l'integrale su $[0,5]$ dove $p_a=\frac15\big(1-\frac u5\big)$: $$\sigma_a^2=\frac25\int_0^5u^2\Big(1-\frac u5\Big)du=\frac25\Big[\frac{u^3}3-\frac{u^4}{20}\Big]_0^5=\frac25\Big(\frac{125}3-\frac{625}{20}\Big)=\frac25\cdot\frac{125}{12}=\frac{25}6=4{,}167.$$ (È il caso generale di un triangolo di semibase $T$: varianza $\frac{T^2}6$.) Quindi $\sigma_a=2{,}041$ e $\frac{\sigma_a}{v_{sat}}=\frac{1}{\sqrt6}=0{,}408$.

Bit. $\Lambda_q$ in decibel: $20\log_{10}0{,}408=-7{,}78$ dB, quindi $c=-7{,}78+4{,}77=-3{,}01$ e $$b\ge\frac{40-c}{6{,}02}=\frac{43{,}01}{6{,}02}=7{,}14\ \Longrightarrow\ b=8.$$ Controllo: con $b=7$ si ha $\Lambda_q=-3{,}01+42{,}14=39{,}13$ dB (non basta), con $b=8$ $45{,}15$ dB. Il quantizzatore ha $L=2^8=256$ livelli e passo $\Delta=\frac{2\cdot5}{256}=0{,}0391$.

(2) Probabilità dei valori meno probabili e bit rate

La densità è più alta al centro e va a zero ai bordi: i valori meno probabili sono i due livelli estremi (primo e ultimo), che corrispondono agli intervalli $[-5,-5+\Delta]$ e $[5-\Delta,5]$ (non c'è saturazione, quindi non c'è altra coda). Per l'ultimo, con $s=5-u$ la distanza dal bordo, $p_a=\frac15\cdot\frac s5=\frac s{25}$: $$P=\int_{5-\Delta}^5\frac15\Big(1-\frac u5\Big)du=\int_0^\Delta\frac{s}{25}\,ds=\frac{\Delta^2}{50}=\frac{0{,}0391^2}{50}=3{,}05\cdot10^{-5}.$$ La probabilità è la stessa per i due livelli estremi. (Il triangolo che si forma ha base $\Delta$ e altezza $\frac\Delta{25}$: area $\frac{\Delta^2}{50}$.)

Bit rate. Un campione ogni $T_s=1$ ms, $8$ bit per campione: $$R_b=\frac b{T_s}=\frac{8}{10^{-3}}=8\ \text{kbit/s}.$$

(3) Cardinalità della QAM

Con lo stesso range e $L=32=2^5$ livelli il quantizzatore produce $5$ bit per campione, quindi $R_b=\frac{5}{10^{-3}}=5$ kbit/s. Il periodo di simbolo è $T=8\cdot10^{-4}$ s, cioè $1250$ simboli/s. Ogni simbolo di una $M$-QAM porta $\log_2M$ bit, e perché i bit non si accumulino $\frac{\log_2M}{T}=R_b$: $$\log_2M=R_b\,T=5000\cdot8\cdot10^{-4}=4\ \Longrightarrow\ M=2^4=16.$$ La modulazione è una 16-QAM.

(4) Ampiezza $A$ dell'impulso

L'energia dell'impulso $h_{Tx}(t)=A\frac tT$ su $[0,T]$ è $$E_{h_{Tx}}=\int_0^TA^2\frac{t^2}{T^2}\,dt=\frac{A^2}{T^2}\cdot\frac{T^3}{3}=\frac{A^2T}{3}.$$ (È la rampa che parte da $0$ e sale a $A$: un "mezzo triangolo", vedi Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.) Imponendo $E_{h_{Tx}}=10^{-3}$ con $T=8\cdot10^{-4}$: $$A^2=\frac{3\cdot10^{-3}}{8\cdot10^{-4}}=3{,}75\ \Longrightarrow\ A=\sqrt{3{,}75}=\frac{\sqrt{15}}{2}=1{,}94.$$

(5) Distanza massima del collegamento

Per una $16$-QAM a codifica di Gray, la probabilità d'errore sul bit in funzione dell'energia $E_h$ dell'impulso in ricezione e della varianza del rumore per dimensione $\sigma_I^2$ è, con le formule del corso (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →), $$P_{bit}\simeq\frac34\,Q\Big(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\Big).$$ (Ricavo: la $16$-QAM è la coppia di due $4$-PAM con livelli $\pm1,\pm3$, ciascuna con mezza distanza minima $\sqrt{E_h/2}$ sull'asse di segnale; la probabilità d'errore di una $4$-PAM è $2\big(1-\frac14\big)Q\big(\sqrt{E_h/(2\sigma_I^2)}\big)=\frac32Q(\cdot)$, quella di un simbolo QAM è circa il doppio, $3Q(\cdot)$, e con la codifica di Gray ogni errore di simbolo tocca in genere un solo bit su $4$: $\frac34Q(\cdot)$.)

Si impone $P_{bit}=10^{-7}$: $Q(x)=\frac43\cdot10^{-7}=1{,}333\cdot10^{-7}$, quindi $x=Q^{-1}(1{,}333\cdot10^{-7})=5{,}146$. Allora l'energia che deve arrivare al ricevitore è $$E_h^{rx}=2\sigma_I^2x^2=2\cdot10^{-6}\cdot26{,}48=5{,}30\cdot10^{-5}.$$ L'impulso trasmesso ha energia $10^{-3}$: l'attenuazione (in energia) massima è $$a=\frac{E_h^{tx}}{E_h^{rx}}=\frac{10^{-3}}{5{,}30\cdot10^{-5}}=18{,}9,\qquad a_{dB}=10\log_{10}18{,}9=12{,}76\ \text{dB}.$$ Con attenuazione specifica $0{,}4$ dB/km la distanza massima è $$d_{max}=\frac{12{,}76}{0{,}4}=31{,}9\ \text{km}.$$ La soluzione del corso riporta $31{,}67$ km: usa $x=5{,}2$ (valore arrotondato di $Q^{-1}$) invece di $5{,}146$. Con l'arrotondamento $E_h^{rx}=5{,}41\cdot10^{-5}$, $a_{dB}=12{,}67$ dB e $d=31{,}67$ km; il valore esatto è $31{,}9$ km.

(Tutti i risultati ricalcolati con Python: $\sigma_a^2=4{,}1667$, $b=7{,}14\to8$, $\Delta^2/50=3{,}05\cdot10^{-5}$, $M=16$, $A=1{,}936$, $x=5{,}1456$, $d=31{,}90$ km.)

Errori comuni

• Dare $v_{sat}$ maggiore di $5$: oltre il supporto non serve (aumenta solo $\Delta$).
• Calcolare la varianza del triangolo come $\frac{T^2}{2}$ o senza il raddoppio per la simmetria; è $\frac{T^2}6=\frac{25}6$.
• Prendere come livello meno probabile uno intermedio: sono i due estremi, ai bordi del triangolo.
• Confondere bit rate del quantizzatore ($\frac{b}{T_s}$) e symbol rate ($\frac1T$): da $R_bT=\log_2M$.
• Usare l'attenuazione in ampiezza invece che in energia: $a_{dB}=10\log_{10}\frac{E^{tx}}{E^{rx}}$.