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Note per Studenti Esercizio - segnalazione binaria con due rettangoli, base, probabilità d'errore e scala ottima (esercizi del corso, cap. 3, es. 24)

Esercizio - segnalazione binaria con due rettangoli, base, probabilità d'errore e scala ottima (esercizi del corso, cap. 3, es. 24)

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Testo (esercizi del corso di Fondamenti di Telecomunicazioni, Ing. Informatica UniPD, cap. 3, es. 24). Una segnalazione binaria usa i segnali s1(t)=As_1(t)=A per 0<t<T20<t<\frac T2 e s2(t)=Bs_2(t)=B per 0<t<T0<t<T (nulli altrove), trasmessi con la stessa probabilità su canale AWGN. Sia B=A2B=\frac A2, con A=0,7A=0{,}7 V e T=1 μT=1\ \mus.

  1. Rappresentare la costellazione della segnalazione.
  2. Rappresentare lo schema a blocchi del ricevitore a minima distanza.
  3. Calcolare la probabilità d'errore assumendo rumore gaussiano bianco con N02=10−8\frac{N_0}2=10^{-8} V2^2/Hz.
  4. Considerando ora BB variabile e imponendo che s2(t)s_2(t) abbia la stessa energia di s1(t)s_1(t), determinare il valore di BB che minimizza la probabilità d'errore.

Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →.

(1) Base e costellazione

Energie: E1=∫0T/2A2dt=A2T2=0,49⋅10−62=2,45⋅10−7E_1=\int_0^{T/2}A^2dt=\frac{A^2T}2=\frac{0{,}49\cdot10^{-6}}2=2{,}45\cdot10^{-7} V2^2s e E2=B2T=0,352⋅10−6=1,225⋅10−7E_2=B^2T=0{,}35^2\cdot10^{-6}=1{,}225\cdot10^{-7} V2^2s.

Base. I due segnali hanno supporti nidificati (s1s_1 vive in [0,T2]\left[0,\frac T2\right], dentro il supporto di s2s_2), quindi non sono ortogonali. Una base molto naturale ha come funzioni i due rettangoli su metà intervallo: ϕ1(t)=2T 1[0,T/2](t),ϕ2(t)=2T 1[T/2,T](t)\phi_1(t)=\sqrt{\frac2T}\,\mathbf 1_{[0,T/2]}(t),\qquad\phi_2(t)=\sqrt{\frac2T}\,\mathbf 1_{[T/2,T]}(t) (ortogonali per supporti disgiunti; energia di ciascuna: 2T⋅T2=1\frac2T\cdot\frac T2=1). Si trova lo stesso con Gram-Schmidt: ϕ1=s1E1=AAT/21[0,T/2]\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}}=\frac{A}{A\sqrt{T/2}}\mathbf 1_{[0,T/2]}, che è ϕ1\phi_1; poi c=⟨s2,ϕ1⟩=∫0T/2B2Tdt=BT2c=\langle s_2,\phi_1\rangle=\int_0^{T/2}B\sqrt{\frac2T}dt=B\sqrt{\frac T2} e il resto s2−cϕ1=Bs_2-c\phi_1=B su [T2,T]\left[\frac T2,T\right] (zero prima), che normalizzato dà ϕ2\phi_2. Coordinate: s1=[AT2, 0]=[4,95⋅10−4, 0],s2=[BT2, BT2]=[2,47⋅10−4, 2,47⋅10−4]\mathbf s_1=\left[A\sqrt{\tfrac T2},\ 0\right]=[4{,}95\cdot10^{-4},\ 0],\qquad\mathbf s_2=\left[B\sqrt{\tfrac T2},\ B\sqrt{\tfrac T2}\right]=[2{,}47\cdot10^{-4},\ 2{,}47\cdot10^{-4}] (unità: Vs\sqrt{\text{s}}; con T/2=7,07⋅10−4\sqrt{T/2}=7{,}07\cdot10^{-4} s\sqrt{\text{s}}). Controllo: ∥s2∥2=2⋅(2,47⋅10−4)2=1,225⋅10−7=E2\lVert\mathbf s_2\rVert^2=2\cdot(2{,}47\cdot10^{-4})^2=1{,}225\cdot10^{-7}=E_2 ✓.

Distanza tra i due punti: d=(A−B)2T2+B2T2=A24⋅T2⋅2=A2T=0,35⋅10−3 Vsd=\sqrt{\left(A-B\right)^2\tfrac T2+B^2\tfrac T2}=\sqrt{\tfrac{A^2}4\cdot\tfrac T2\cdot2}=\frac A2\sqrt T=0{,}35\cdot10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}} (con A−B=B=A2A-B=B=\frac A2).

(2) Ricevitore a minima distanza

Simboli equiprobabili e AWGN: il criterio ottimo è la minima distanza. Nella forma con M=2M=2 filtri adattati ai segnali (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →), poiché M=I=2M=I=2 non serve la base: due rami con risposte impulsive s1(T−t)s_1(T-t) e s2(T−t)s_2(T-t), campionati in t0=Tt_0=T, dai quali si sottrae En2\frac{E_n}2 (E1≠E2E_1\ne E_2) prima del blocco ARGMAX: a^=arg⁡max⁡n[⟨r,sn⟩−En2],a^=1  ⟺  ⟨r,s1−s2⟩>E1−E22.\hat a=\arg\max_n\left[\langle r,s_n\rangle-\frac{E_n}2\right],\qquad\hat a=1\iff\langle r,s_1-s_2\rangle>\frac{E_1-E_2}2. Equivalentemente, in forma con la base (I=2I=2 rami ϕi(T−t)\phi_i(T-t), campionati in TT) le regioni sono i due semipiani separati dall'asse del segmento: con le coordinate in unità 10−410^{-4} Vs\sqrt{\text{s}}, 2r⋅(s2−s1)>E2−E1  ⟺  2(−2,475 x+2,475 y)>12,25−24,52\mathbf r\cdot(\mathbf s_2-\mathbf s_1)>E_2-E_1\iff2(-2{,}475\,x+2{,}475\,y)>12{,}25-24{,}5, cioè si decide s1s_1 se y<x−2,475y<x-2{,}475 (la retta x−y=2,475x-y=2{,}475 passa per il punto medio (3,71; 1,24)(3{,}71;\ 1{,}24)).

Grafico interattivo: Costellazione dell'esercizio 24 in unità 10⁻⁴ V·√s: s₁ = (4,95; 0), s₂ = (2,47; 2,47). Il confine di decisione è l'asse del segmento, la retta x − y = 2,475 (passa per il punto medio); d = 3,5

(3) Probabilità d'errore

Segnalazione binaria con simboli equiprobabili: P[E]=Q(d2σI)P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right) (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →). Il rumore per dimensione è σI2=N02=10−8\sigma_I^2=\frac{N_0}2=10^{-8} V2^2s, quindi σI=10−4\sigma_I=10^{-4} Vs\sqrt{\text{s}}: P[E]=Q(0,35⋅10−32⋅10−4)=Q(1,75)=0,0401.P[E]=Q\left(\frac{0{,}35\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-4}}\right)=Q(1{,}75)=0{,}0401.

(4) Scala ottima a energia uguale

Con BB variabile, le coordinate di s2s_2 sono [BT2,BT2]\left[B\sqrt{\frac T2},B\sqrt{\frac T2}\right] ed E2=B2TE_2=B^2T. Imporre E2=E1=A2T2E_2=E_1=\frac{A^2T}2 dà B~2=A22\tilde B^2=\frac{A^2}2, B~=±A2=±0,495\tilde B=\pm\frac A{\sqrt2}=\pm0{,}495 V. La probabilità d'errore è minima dove la distanza è massima; con energie uguali d2=2E−2⟨s1,s2⟩d^2=2E-2\langle s_1,s_2\rangle e ⟨s1,s2⟩=B~ A T2\langle s_1,s_2\rangle=\tilde B\,A\,\frac T2, quindi dd cresce al diminuire del prodotto scalare: si sceglie il segno negativo, B~=−A2=−0,495 V.\tilde B=-\frac A{\sqrt2}=-0{,}495\ \text{V}. La distanza diventa d2=T2[(A−B~)2+B~2]=T2A2(2+2)d^2=\frac T2\left[(A-\tilde B)^2+\tilde B^2\right]=\frac T2A^2\left(2+\sqrt2\right), cioè d=1,307 AT=9,15⋅10−4d=1{,}307\,A\sqrt T=9{,}15\cdot10^{-4} Vs\sqrt{\text{s}}, e P[E]=Q(9,15⋅10−42⋅10−4)=Q(4,57)=2,4⋅10−6,P[E]=Q\left(\frac{9{,}15\cdot10^{-4}}{2\cdot10^{-4}}\right)=Q(4{,}57)=2{,}4\cdot10^{-6}, contro 0,04010{,}0401 della scelta iniziale: invertire il segno costa la stessa energia e riduce l'errore di quattro ordini di grandezza. (Con ρ=⟨s1,s2⟩E=−12\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{E}=-\frac1{\sqrt2} in luogo di +12+\frac1{\sqrt2}.)

Versione ripasso

Dati. s1=As_1=A su [0,T2]\left[0,\frac T2\right], s2=B=A2s_2=B=\frac A2 su [0,T][0,T], A=0,7A=0{,}7 V, T=1 μT=1\ \mus, N02=10−8\frac{N_0}2=10^{-8} V2^2/Hz.

(1) Costellazione (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →)

  • E1=A2T2=2,45⋅10−7E_1=\frac{A^2T}2=2{,}45\cdot10^{-7}, E2=B2T=1,225⋅10−7E_2=B^2T=1{,}225\cdot10^{-7} V2^2s.
  • Base: ϕ1,2=2T\phi_{1,2}=\sqrt{\frac2T} sulle due metà di [0,T][0,T] (Gram-Schmidt: c=BT/2c=B\sqrt{T/2}).
  • s1=[AT/2,0]=[4,95,0]⋅10−4\mathbf s_1=\left[A\sqrt{T/2},0\right]=[4{,}95,0]\cdot10^{-4}, s2=[BT/2,BT/2]=[2,47,2,47]⋅10−4\mathbf s_2=\left[B\sqrt{T/2},B\sqrt{T/2}\right]=[2{,}47,2{,}47]\cdot10^{-4}; d=A2T=0,35⋅10−3d=\frac A2\sqrt T=0{,}35\cdot10^{-3}.

(2) Ricevitore (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →)

  • MD (equiprobabili, AWGN): a^=1  ⟺  ⟨r,s1−s2⟩>E1−E22\hat a=1\iff\langle r,s_1-s_2\rangle>\frac{E_1-E_2}2, ovvero M=2M=2 filtri sn(T−t)s_n(T-t) campionati in TT con sottrazione di En2\frac{E_n}2, e ARGMAX.
  • Nelle coordinate: si decide s1s_1 se y<x−2,475y<x-2{,}475 (unità 10−410^{-4}).

(3) σI=N0/2=10−4\sigma_I=\sqrt{N_0/2}=10^{-4}: P[E]=Q(d2σI)=Q(1,75)=0,0401P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)=Q(1{,}75)=0{,}0401 (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →).

(4) E2=E1⇒B~=±A2E_2=E_1\Rightarrow\tilde B=\pm\frac A{\sqrt2}; d2=2E−2⟨s1,s2⟩d^2=2E-2\langle s_1,s_2\rangle con ⟨s1,s2⟩=B~AT2\langle s_1,s_2\rangle=\tilde BA\frac T2: massimo con segno negativo. B~=−A2=−0,495\tilde B=-\frac A{\sqrt2}=-0{,}495 V, d=1,307AT=9,15⋅10−4d=1{,}307A\sqrt T=9{,}15\cdot10^{-4}, P[E]=Q(4,57)=2,4⋅10−6P[E]=Q(4{,}57)=2{,}4\cdot10^{-6}.

Errori tipici

  • Trattare s1,s2s_1,s_2 come ortogonali: i supporti sono nidificati.
  • Usare N0N_0 al posto di σI2=N02\sigma_I^2=\frac{N_0}2.
  • Scegliere B~>0\tilde B>0 a energia uguale: la distanza è massima con segno opposto.

Teoria collegata